यदि A और B, n × n आकार के वर्ग आव्यूह हैं, तो निम्न में से कौन सा सत्य नहीं है?

स्पष्टीकरण:

det (A + B) = det(A) + det(B) सही नहीं है।

एक उदाहरण लेने पर:

 A = I को ध्यान में रखते हुए (I क्रम 2 × 2 का एक तत्समक आव्यूह है)

माना B = -A

इसलिए, B  = -I

∴ det(A + B)  = 0

लेकिन, det(A) + det(B) = 2

Additional Information सारणिकों के गुण:

• पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलने पर एक सारणिक का मान नहीं बदलता है। अर्थात \(\left|A^T \right|~=~\left|A \right|\)
• यदि आव्यूह A की कोई पंक्ति या स्तंभ पूर्ण रूप से शून्य है, तो \(\left|A \right|~=~0\), ऐसी पंक्ति या स्तंभ को शून्य पंक्तियाँ या स्तंभ कहा जाता है।
• साथ ही यदि आव्यूह A की दो पंक्तियाँ या स्तंभ समान हों तब\(\left|A \right|~=~0\)
• यदि सारणिक की किन्हीं दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदल दिया जाता है, तो सारणिक का मान -1 से गुणा हो जाता है।
• यदि सारणिक की एक पंक्ति (या एक स्तंभ) के सभी अवयवों को एक ही संख्या k से गुणा किया जाता है, तो सारणिक का मान दिए गए सारणिक के मान का k गुना होता है।
• यदि A एक n-पंक्ति वाला वर्ग पंक्ति आव्यूह है, और k कोई अदिश राशि है, तब \(\left|kA \right|~=~k^n\left|A \right|\)
• एक सारणिक में, किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों के गुणनफलों का योग किसी भी पंक्ति या स्तंभ के संगत अवयवों के सहखंडों के साथ, सारणिक मान के बराबर होता है।
• एक सारणिक में, किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों के गुणनफलों का योग किसी अन्य पंक्ति या स्तंभ के सहखंडों के साथ शून्य होता है।

उदाहरण:

Δ = \(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 &c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 &c_3 \\ \end{vmatrix}\)

तब,

\(a_1 A_1~+~b_1 B_1~+~c_1 C_1~=~\Delta\)

\(a_1 A_2~+~b_1 B_2~+~c_1 C_2~=~0\)

\(a_1 A_3~+~b_1 B_3~+~c_1 C_3~=~0\)

\(a_2 A_2~+~b_2 B_2~+~c_2 C_2~=~\Delta\)

\(a_2 A_1~+~b_2 B_1~+~c_2 C_1~=~0\)

जहां A₁, B₁,और C₁, D में अवयवों a1, b1, और c1 के सहखण्ड हैं। 

• यदि एक सारणिक की पंक्ति या स्तंभ के अवयवों को दूसरी पंक्ति या स्तंभ के संगत अवयवों से m बार जोड़ा जाता है, तो इस प्रकार प्राप्त सारणिक का मान मूल सारणिक के मान के बराबर होता है:

अर्थात \(A~\xrightarrow[]{R_i ~+~mR_j}~B~then~\left|A \right|~=~\left|B \right|\)

और \(A~\xrightarrow[]{C_i ~+~mC_j}~B~then~\left|A \right|~=~\left|B \right|\)

• \(\left|AB \right|~=~\left|A \right|~×~\left|B \right|\) और इसके आधार पर हम निम्नलिखित को सिद्ध कर सकते हैं:

(a). \(\left|A^n \right|~=~(\left|A \right|)^n\)

(b). \(\left|A^{-1} \right|~=~\frac{1}{\left|A \right|}\)

• इस तथ्य का उपयोग करने पर, कि \(A.Adj~A~=~\left|A \right|~.I\) ,  An × n के लिए निम्नलिखित प्राप्त किया जा सकता है। 

(a). \(\left|Adj~A \right|~=~{\left|A \right|}^{n~-~1}\)

(b). \(\left|Adj~(Adj~(A)) \right|~=~{\left|A \right|}^{(n~-~1)^2}\)