System of Linear Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for System of Linear Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही उत्तर औसत (x1, x2 ... x9, m) = m और औसत (x2, x3 ... x9) > m है

स्पष्टीकरण:

आइये इसका उदाहरण लेते हैं

नौ संख्याएँ x 1 , x 2 , x 3 ... x 9 , आरोही क्रम में हैं
मान लें नौवीं संख्या 1,1,1,1,1,1,1,1,10 है
उनका औसत होगा = 18/9 = 2

इसके अलावा, इससे यह भी सन्तुष्ट होता है कि उनका औसत m सभी प्रथम आठ संख्याओं से अधिक है।

अब सत्यापन हो रहा है

औसत (x1, x2 ... x9, m) = m
औसत[1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,2] 20/10 = 2 होगा
जो दिए गए कथन को संतुष्ट करता है

अब औसत (x 2 , x 3 ... x 9 ) > m की जाँच करें

औसत (1,1,1,1,1,1,1,10 ) 17/8 = 2.12 होगा
2 से बड़ा कौन है

अतः यह भी संतुष्ट है कि औसत (x 2 , x 3 ... x 9 ) > m

निष्कर्ष:-

अतः, औसत (x1, x2 ... x9, m) = m तथा औसत (x2, x3 ... x9) > m सत्य कथन है।

व्याख्या:

मान लीजिए z = x + iy और w = u + iv. अब,

\(\rm w=\frac{1}{z}\)

⇒ u + iv = \(1\over x+iy\)

⇒ x + iy = \(1\over u+iv\)

⇒ x + iy = \(u-iv\over (u+iv)(u-iv)\)

⇒ x + iy = \(u-iv\over u^2+v^2\)

⇒ x + iy = \({u\over u^2+v^2}-i{v\over u^2+v^2}\)

वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,

x = \(u\over u^2+v^2\)

\(\rm x=\frac{1}{2}\) रखने पर हम पाते हैं,

\({u\over u^2+v^2}=\frac12\)

⇒ u² + v² = 2u

⇒ u2 - 2u + v2 = 0

⇒ (u - 1)2 + v2 = 1 जो कि w-समतल में \(\rm x=\frac{1}{2}\) का प्रतिबिम्ब है।

विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

यदि Δ = 0, तथा Δ _x ≠ 0 या Δ y ≠ 0 या Δ z ≠ 0 हो, तो समीकरणों का निकाय असंगत है तथा इसका कोई हल नहीं है।

गणना:

∴ \(\Delta=\left|\begin{array}{ccc} 3 & -2 & -k \\ 2 & -4 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right|=0\)

⇒ 3(4 + 4) + 2(–2 + 2) -k(4 + 4) = 0

⇒ k = 3 

\(\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc} 10 & -2 & -3 \\ 6 & -4 & -2 \\ 5 m & 2 & -1 \end{array}\right| \neq 0\)

⇒ 10(4 + 4) +2(-6 + 10m) -3(12 + 20m) ≠ 0

⇒ m ≠ 4/5

\(\Delta_y=\left|\begin{array}{ccc} 3 & 10 & -3 \\ 2 & 6 & -2 \\ 1 & 5 m & -1 \end{array}\right| \neq 0\)

⇒ 3(-6 + 10m) – 10(- 2 + 2) – 3(10m – 6) ≠ 0

⇒ 0

\(\Delta_z=\left|\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 10 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & 2 & 5 m \end{array}\right| \neq 0\)

⇒3(-20m – 12) +2(10m – 6) +10(4 + 4) ≠ 0

⇒ m ≠ 4/5

∴ यदि k = 3, m ≠ 4/5 है तो रैखिक समीकरणों का निकाय असंगत है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

अवधारणा:

(i) यदि Δ ≠ 0 और Δ_x, Δ_y, Δ_z ≠ 0 में से कम से कम एक है, तो दिए गए समीकरणों के निकाय संगत हैं और इसका अद्वितीय गैर-तुच्छ हल है।

(ii) यदि Δ ≠ 0 & Δx = Δy = Δz = 0, तो दिए गए समीकरणों के निकाय संगत हैं और इसका केवल तुच्छ हल है।

(iii) यदि Δ = Δx = Δy = Δz = 0, तो दिए गए समीकरणों के निकाय संगत हैं और इसके अनंत हल हैं।

गणना:

दिया गया है,

x - 2y + 0.z = 1

x - y + kz = - 2

0.x + ky + 4z = 6

\( Δ= \left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & k \\ 0 & k & 4 \end{array}\right|\)

= 4 - k2

अद्वितीय हल के लिए, 4 - k2 ≠ 0

⇒ k ≠ ±2

k = 2 के लिए,

x - 2y + 0.z = 1

x - y + 2z = -2

0.x + 2y + 4z = 6

\(Δ_{\rm {x}}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 4 \end{array}\right|\)

= -8 + 2 (-20)

⇒Δx = -48 ≠ 0

k = 2 के लिए,Δx ≠ 0

⇒ k = 2 के लिए, निकाय का कोई हल नहीं है।

∴ (A) यदि k ≠ 2,k ≠ −2 तो निकाय का अद्वितीय हल होगा और (D) यदि k = 2 तो निकाय का कोई हल नहीं होगा।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

3(sin 3θ) x - y + z = 2

3(cos 2θ) x + 4y + 3z = 3

6x + 7y + 7z = 9

∴ \(\Delta=\left|\begin{array}{ccc} 3 \sin 3 \theta & -1 & 1 \\ 3 \cos 2 \theta & 4 & 3 \\ 6 & 7 & 7 \end{array}\right|\)

= 3sin3θ(7) + 1(21cos2θ - 18) + 1(21cos2θ - 24)

⇒ Δ = 21sin3θ + 42cos2θ - 42

कोई हल नहीं होने के लिए, Δ = 0

⇒ sin3θ + 2cos2θ = 2

⇒ sin3θ = 2 - 2cos2θ = 2(1 - cos2θ)

⇒ sin3θ = 2⋅2sin2θ

⇒ 3sinθ - 4sin3θ = 4sin2θ

⇒ sinθ(3 - 4sinθ - 4sin2θ) = 0

⇒ sinθ = 0 या sinθ = \(\frac{1}{2}\)

⇒ θ = \(\pi, 2 \pi, 3 \pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6}\)

∴ θ की संख्या 7 है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0

…

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1, x2,…, xn हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं हमें निम्नलिखित आव्यूह की रैंक खोजने की आवश्यकता है।

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right]\)

A समीकरणों की दी गई प्रणाली का गुणांक आव्यूह है।

सजातीय समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान (नगण्य समाधान) है यदि और केवल यदि A का सारणिक गैर-शून्य है।

विश्लेषण:

x + 2y – 3z = 0

2x + y + z = 0

x – y + kz = 0

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}\\ 2&1&1\\ 1&{ - 1}&k \end{array}} \right]\)

सारणिक है:

1(k + 1) – 2(2k - 1) – 3(-2 - 1) = 0

k + 1 – 4k + 2 + 9 = 0

12 = 3k

k = 4

अवधारणा :

AX = B प्रकार के गैर-सजातीय समीकरण के अनंत हल हैं यदि ρ(A : B) = ρ(A) < अज्ञातों की संख्या

गणना:

समीकरणों का दिया गया समुच्चय

x + y + z = 1

ax – ay + 3z = 5

5x – 3y + az = 6

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1& \vdots &1\\ a&{ - a}&3& \vdots &5\\ 5&{ - 3}&a& \vdots &6 \end{array}} \right]\)

R2 → R2 – aR1 और R3 → R3 – 5R1

~ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1& \vdots &1\\ 0&{ - 2a}&{3 - a}& \vdots &{5 - a}\\ 0&{ - 8}&{a - 5}& \vdots &1 \end{array}} \right]\)

\({R_2} \to \frac{{{R_2}}}{{ - 2a}}\)

~ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1& \vdots &1\\ 0&1&{\frac{1}{2} - \frac{3}{{2a}}}& \vdots &{\frac{1}{2} - \frac{5}{{2a}}}\\ 0&{ - 8}&{a - 5}& \vdots &1 \end{array}} \right]\)

R3 → R3 + 8R2

~ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1& \vdots &1\\ 0&1&{\frac{1}{2} - \frac{3}{{2a}}}& \vdots &{\frac{1}{2} - \frac{5}{{2a}}}\\ 0&0&{a - 1 - \frac{{12}}{a}}& \vdots &{5 - \frac{{20}}{a}} \end{array}} \right]\) ~ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1& \vdots &1\\ 0&1&{\frac{1}{2} - \frac{3}{{2a}}}& \vdots &{\frac{1}{2} - \frac{5}{{2a}}}\\ 0&0&{\frac{{{a^2} - a - 12}}{a}}& \vdots &{\frac{{5a - 20}}{a}} \end{array}} \right]\)

a2 – a – 12 = 0

a2 – 4a + 3a – 12 = 0

a(a - 4) + 3(a - 4) = 0

(a - 4)(a + 3) = 0

A = 4, -3

जब a = 4, तब ρ(A : B) = ρ(A) = 2 < 3

अत: दिए गए समीकरणों की प्रणाली के अनंत हल होते हैं, जब a = 4 होता है।

नोट: यहाँ a = -3 पर हम विचार नहीं कर सकते क्योंकि a = -3 के लिए ρ(A : B) ≠  ρ(A)

प्रमुख बिंदु:

समीकरणों की प्रणाली को याद रखें

AX = B का

1) अद्वितीय हल होता है, यदि ρ(A : B) = ρ(A) = अज्ञातों की संख्या

2) अनंत अनेक हल होते हैं, यदि ρ(A : B) = ρ(A) < हलों की संख्या

अवधारणा :

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

…

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x ₁ , x ₂ , …, x _n हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं, हमें निम्नलिखित मैट्रिसेस की रैंक ज्ञात करने की आवश्यकता है।

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right]\) और

\(\left[ {A{\rm{|}}B} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}&{{b_1}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}&{{b_2}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}}&{{b_m}} \end{array}} \right]\)

A गुणांक मैट्रिक्स है और [A|B] को दी गई समीकरण प्रणाली का संवर्धित मैट्रिक्स कहा जाता है।

हम निम्न प्रकार से समीकरणों की दी गई प्रणाली की संगति ज्ञात कर सकते हैं:

• यदि मैट्रिक्स A की रैंक संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है और यह अज्ञात की संख्या के बराबर है, तो प्रणाली सुसंगत है और एक अद्वितीय समाधान है, अर्थात

A की रैंक = संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक = n

• यदि मैट्रिक्स A की रैंक संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है और यह अज्ञात की संख्या से कम है, तो प्रणाली सुसंगत है और समाधानों की संख्या अनंत है।

A की रैंक = संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक < n

• यदि मैट्रिक्स A की रैंक संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर नहीं है, तो प्रणाली असंगत है, और इसका कोई हल नहीं है।

A की रैंक ≠ संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक

गणना :

दी गई रैखिक प्रणाली है

2x – y + 3z = 2

x + y + 2z = 2

5x – y + az = b

फिर संवर्धित मैट्रिक्स फॉर्म नीचे लिखा गया है;

\(\left[ {A{\rm{|}}B} \right] \equiv \left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 1&1&2\\ 5&{ - 1}&a \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 2\\ b \end{array}} \right]\)

R2 → R2 + 2R1

\(= \left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 5&{ - 1}&8\\ 5&{ - 1}&a \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 6\\ b \end{array}} \right]\)

R3 → R3 – R2

\(= \left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3\\ 5&{ - 1}&8\\ 0&0&{a - 8} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 6\\ {b - 6} \end{array}} \right]\)

रैंक (A) < n = 3 के लिए

'a' = 8 होना चाहिए

रैंक [A|B] < 3 के लिए, b = 6

संकल्पना:

केली-हैमिल्टन प्रमेय​:

कथन: प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपनी विशेषता समीकरण को संतुष्ट करता है।

केली-हैमिल्टन प्रमेय में कहा गया है कि बहुपद में x के लिए आव्यूह A को प्रतिस्थापित करना, p(x) = det(xIn – A), शून्य आव्यूह में परिणाम देता है, जैसे:

p(A) = 0

इसमें कहा गया है कि एक 'n x n' आव्यूह A को उसके विशिष्ट बहुपद det (tI - A) द्वारा ध्वस्त कर दिया जाता है, जो कि डिग्री n का मोनिक बहुपद है।

केली-हैमिल्टन प्रमेय के उपयोग:
(1) A की धनात्मक समाकल घातों की गणना करने के लिए
(2) एक वर्ग आव्यूह A के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए

गणना:

\({P^3} = P\)

कौली हैमिल्टन प्रमेय से \({\lambda ^3} = \lambda\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \lambda \;\left( {{\lambda ^2}-1} \right) = 0\\ \lambda = 0,\; + 1,\; - 1 \end{array}\)

स्पष्टीकरण:

समीकरणों के निकाय

x + (√2 sin α)y + (√2 cos α)z = 0

x + (cos α)y + (sin α)z = 0

x + (sin α)y - (cos α)z = 0 का एक गैर-शून्य हल होगा, यदि

\(\begin{vmatrix} 1 & √{2} \sin α & √{2} \cos α \\\ 1 & \sin α & -\cos α \\\ 1 & \cos α & \sin α \end{vmatrix}=0\)

⇒ 1(sin2α + cos2α) - √2 sin α (sin α + cos α) + √2 cos α (cos α - sin α) = 0

⇒ 1 - √2 sin α (sin α + cos α) + √2 cos α (cos α - sin α) = 0

⇒ 1 + √2 cos 2α - √2 sin 2α = 0

⇒ \(\cos 2α - \sin 2α = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)

⇒ \(\cos \left(2α + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\)

⇒ \(2α + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}\)

⇒ \(α + \frac{\pi}{8} = n\pi \pm \frac{\pi}{3}\)

n = 0,

α = \(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{8} = \frac{5\pi}{24}\)

विकल्प (3) सही है।

धारणा:

• \(\frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}\)

जहां, 'x' एक बीजगणितीय फलन है

• वक्र (y = mx + C) की ढलान को निम्न द्वारा दिया जाता है

\(m = \frac{{dy}}{{dx}}\)

गणना:

दिया हुआ-

Y = x³

अब वक्र की ढलान है

\(m = \frac{{dy}}{{dx}} = 3{x^2}\)

इसलिए (1, 1) पर वक्र y = x3 की ढलान है

m = 3 × (1)²

m = 3

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ { - 1}&1 \end{array}} \right]\)

(A – 2I)(A – 3I)

= A² – 3A – 2A + 6I

= A² – 5A + 6        ---(1)

\(\left| {A - \lambda I} \right| = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - \lambda }&2\\ { - 1}&{1 - \lambda } \end{array}} \right]\)

(4 - λ)(1 - λ) + 2 = 0

4 – 5λ + λ² + 2 = 0

λ² – 5λ + 6 = 0

अब,

के ले-हैमिल्टन प्रमेय कहता है कि एक आव्यूह A इसे विशेषता समीकरण को संतुष्ट करता है:

∴ A² – 5A + 6 = 0

संकल्पना:

संगत और असंगत समीकरण/प्रणाली:​

यदि समीकरण में एक या एक से अधिक हल होते हैं, तो समीकरण को संगत कहा जाता है अन्यथा यदि इसमें कोई हल मौजूद नहीं होते हैं, तो समीकरण को असंगत कहा जाता है। 

संवर्धित आव्यूह K को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

\({\rm{K\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{A}}&{\rm{B}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}&{{{\rm{a}}_{13{\rm{\;}}}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}}&{{{\rm{a}}_{23}}}\\ {{{\rm{a}}_{31}}}&{{{\rm{a}}_{32}}}&{{{\rm{a}}_{33}}} \end{array}{\rm{\;}}\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{b}}_1}}\\ {{{\rm{b}}_2}}\\ {{{\rm{b}}_3}} \end{array}} \right]\)

संगत और असंगत के लिए स्थिति:

स्थिति 1 (संगत समीकरण)। 

यदि A का रैंक = K का रैंक है, तो केवल समीकरणों की प्रणाली संगत होती है। 

फिर से, यदि A का रैंक = K का रैंक = n (n प्रणाली में अज्ञात चरों की संख्या है) होता है, तो प्रणाली में एक विशिष्ट हल होता है, और यदि A का रैंक = K का रैंक < n है, तो प्रणाली में अनंत हल होते हैं। 

स्थिति 2 (असंगत समीकरण)। 

यदि A का रैंक ≠ K का रैंक है, तो प्रणाली में कोई हल नहीं होता है। 

गणना​:

समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

x - 2y - 3z = 1,

(p + 2)z = 3

(2p + 1)y + z = 2

संवर्धित आव्यूह

\([A|B] = \left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&-3\\ 0&0&{ p\ +\ 2}\\ 0&2p\ +\ 1&{ 1} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {{1}}\\ {{3}}\\ {{2}} \end{array}} \right]\)

R2 और R3 को बदलने पर

\([A|B] = \left[ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&-3\\ 0&2p\ +\ 1&{1}\\ 0&0&{ p\ +\ 2} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {{1}}\\ {{2}}\\ {{3}} \end{array}} \right]\)

दी गई प्रणाली केवल तभी असंगत होगी जब 

p + 2 = 0 ⇒ p = - 2

इसलिए, विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

गणना:

दिया गया है:

a2 + b2 = 41 और ab = 20

(a + b)2 = 41 + (2 × 20) = 81

\((a + b) = \sqrt {81}\)

(a + b) = 9

(a - b)2 = 41 - (2 × 20) = 1

(a - b) = 1

\((a + b) ÷ (a – b) = \frac{(a+b)}{(a-b)}=\frac{9}{1}=9\)

स्पष्टीकरण -

जब एक साथ समीकरणों की निकाय में अनंत हल होते हैं, तो इसे समीकरणों की "आश्रित" निकाय कहा जाता है।

ऐसे परिदृश्य में, समीकरण एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व कर रहे हैं या एक दूसरे के गुणज हैं, जिससे अनंत संख्या में हल प्राप्त होते हैं जहां समीकरण पूरी तरह से अधिव्यापन होते हैं।

अतः अनंत हल वाले निकाय के लिए सही शब्द "आश्रित" है।