Question
Download Solution PDFमाना C सम्मिश्र तल में मूल बिंदु पर केंद्रित इकाई वृत्त और सम्मिश्र चर, z = x + iy को निरुपित करता है। समोच्च समाकल का मान (जहाँ समाकलन वामावर्त दिशा में लिया जाता है) है
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
कॉची समाकल सूत्र:
सरल ध्रुव के लिए:
यदि f(z) बंद वक्र c के अंतर्गत और उस पर विश्लेषणात्मक है और यदि a (सरल ध्रुव) c के अंतर्गत कोई बिंदु है, तो
\(\oint_{c}^{}\frac{f(z)}{z-a}dz=2\pi i.f(a)\)
\(\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\)
गणना:
दिया गया है:
\(\mathop \oint \nolimits_C^{} \frac{{\cosh 3z}}{{2z}}dz\) जहाँ C इकाई वृत्त को निरुपित करता है अर्थात त्रिज्या इकाई है।
उपरोक्त समीकरण को मानक रूप में लिखा जा सकता है अर्थात \(\mathop \oint \nolimits_C^{} \frac{\frac{\cosh 3z}{2}}{{z-0}}dz\)
इसलिए \(f(z)=\frac{\cosh3z}{2}\) और a = 0
दिए गए फलन का ध्रुव z = 0 पर है, और वृत्त के अंदर स्थित है।
\(f(z)=\frac{\cosh3z}{2}=\frac{e^{3z}+e^{-3z}}{2\times2}=\frac{e^{3z}+e^{-3z}}{4}\)
z = 0 पर,
\(f(0)=\frac{e^{0}+e^{-0}}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
कॉची समाकल सूत्र:
\(\oint_{c}^{}\frac{f(z)}{z-a}dz=2\pi i.f(a)\)
\(\mathop \oint \nolimits_C^{} \frac{\frac{\cosh 3z}{2}}{{z-0}}dz=2\pi i\times f(0)\)
\(\mathop \oint \nolimits_C^{} \frac{\frac{\cosh 3z}{2}}{{z-0}}dz=2\pi i\times \frac{1}{2}=\pi i\)
Last updated on Feb 19, 2024
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