माना C सम्मिश्र तल में मूल बिंदु पर केंद्रित इकाई वृत्त और सम्मिश्र चर, z = x + iy को निरुपित करता है। समोच्च समाकल का मान (जहाँ समाकलन वामावर्त दिशा में लिया जाता है) है

Question

Question

This question was previously asked in

GATE ME 2021 Official Paper: Shift 1

Attempt Online

Answer 1

संकल्पना:

कॉची समाकल सूत्र:

सरल ध्रुव के लिए:

यदि f(z) बंद वक्र c के अंतर्गत और उस पर विश्लेषणात्मक है और यदि a (सरल ध्रुव) c के अंतर्गत कोई बिंदु है, तो

$\oint_{c}^{} \frac{f (z)}{z - a} d z = 2 π i . f (a)$

$\cosh z = \frac{e^{z} + e^{- z}}{2}$

गणना:

दिया गया है:

$\oint_{C}^{} \frac{\cosh 3 z}{2 z} d z$ जहाँ C इकाई वृत्त को निरुपित करता है अर्थात त्रिज्या इकाई है।

उपरोक्त समीकरण को मानक रूप में लिखा जा सकता है अर्थात $\oint_{C}^{} \frac{\frac{\cosh 3 z}{2}}{z - 0} d z$

इसलिए $f (z) = \frac{\cosh 3 z}{2}$ और a = 0

दिए गए फलन का ध्रुव z = 0 पर है, और वृत्त के अंदर स्थित है।

$f (z) = \frac{\cosh 3 z}{2} = \frac{e^{3 z} + e^{- 3 z}}{2 \times 2} = \frac{e^{3 z} + e^{- 3 z}}{4}$

z = 0 पर,

$f (0) = \frac{e^{0} + e^{- 0}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

कॉची समाकल सूत्र:

$\oint_{c}^{} \frac{f (z)}{z - a} d z = 2 π i . f (a)$

$\oint_{C}^{} \frac{\frac{\cosh 3 z}{2}}{z - 0} d z = 2 π i \times f (0)$

$\oint_{C}^{} \frac{\frac{\cosh 3 z}{2}}{z - 0} d z = 2 π i \times \frac{1}{2} = π i$