Complex Variables MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Variables - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है -

माना γ, {z ∈ ℂ: |z – 1|= 1} द्वारा दिए गए सम्मिश्र तल में धनात्मक रूप से उन्मुख वृत्त है।

तब ${\displaystyle \frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{dz}{z^3-1}}$ 

संकल्पना - 

कॉची समाकल सूत्र - 

माना क्षेत्र D में f(z) विश्लेषणात्मक है और माना कि C, D में एक बंद वक्र है। यदि A, D में कोई बिंदु है, तब 

${\displaystyle {\int }_C\frac{f(z)}{z-a}dz=2\pi i.f(a).\eta (\gamma :a)}$

यहाँ $\eta (\gamma :a)$ एक वक्र संख्या है। वक्र संख्या एक बिंदु के चारों ओर पथ (वामावर्त) वक्र संख्याओं को मापती है।

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त हैं, γ = {z ∈ ℂ: |z – 1| = 1}

अब ${\displaystyle \frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{dz}{z^3-1}}$

= ${\displaystyle \frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{dz}{(z-1)(z^2+z+1)}}$

= ${\displaystyle \frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{1/(z^2+z+1)}{(z-1)}dz}$

अब कॉची समाकल सूत्र का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है -

= ${\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\times 2\pi i\times f(1)={\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\times 2\pi i\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}}}$

अतः, विकल्प (ii) सही है।

संकल्पना:

किसी समिश्र फलन के विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु फलन की एक अवियुक्‍त अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है।

स्पष्टीकरण:

f(z) = cot$\frac{1}{z}$ = $\frac{\cos \frac{1}{z}}{\sin \frac{1}{z}}$

f(z) में अव्युत्क्रमणीय है,

sin$\frac{1}{z}$ = 0 अर्थात, $\frac{1}{z}$ = nπ अर्थात, z = $\frac{1}{n\pi }$, n ∈ $\mathbb{Z}$

अब, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n\pi }$ = 0

चूँकि विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु 0 है, इसलिए f(z) में z = 0 पर अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है। 

अतः (4) सही है। 

अवधारणा -

यदि ${\cos }^{-1}(cos\theta +isin\theta )=x+iy$ तब 

${\cos }^{-1}(cos\theta +isin\theta )$ का वास्तविक भाग $=x=si{n}^{-1}(sin\theta )$

${\cos }^{-1}(cos\theta +isin\theta )$ का काल्पनिक भाग $=y=log[\sqrt{1+sin\theta }-\sqrt{sin\theta }]$

स्पष्टीकरण-

हमारे पास है ${\cos }^{-1}\left(\frac{3-2i}{3+2i}\right)=x+iy$  

अब $\left(\frac{3-2i}{3+2i}\right)$ को हल करने पर

अब 3 - 2i के संयुग्मी का उपयोग करने पर

इसलिए $\left(\frac{3-2i}{3+2i}\right)=\left(\frac{3-2i}{3+2i}\right)\times \left(\frac{3-2i}{3-2i}\right)$

= $\left(\frac{(3-2i{)}^2}{(3+2i)(3-2i)}\right)=\frac{9-4-12i}{9+4}=\frac{5-12i}{13}=\frac{5}{13}-\frac{12i}{13}$

इसलिए, हमें प्राप्त होता है ${\cos }^{-1}(\frac{5}{13}-\frac{12i}{13})=x+iy$

अब सूत्र का प्रयोग करने पर -

${\cos }^{-1}\left(\frac{3-2i}{3+2i}\right)$ का काल्पनिक भाग = y = $log[\sqrt{(1-\frac{12}{13})}-\sqrt{-\frac{12}{13}}]$

⇒ $y=log[\sqrt{(\frac{1}{13})}-i\sqrt{\frac{12}{13}}]$

व्याख्या:

मूलबिंदु पर केंद्र और 2 इकाई त्रिज्या वाली अर्धवृत्तीय चकती |Z| = 2 है।

अब,

w2 = Z

⇒ |w|2 = |Z|

⇒ |w|2 = 2

⇒ |w| = $\sqrt{2}$

इसलिए, w-समतल में प्रतिबिम्ब √2 इकाई त्रिज्या की चतुर्थांश वृत्ताकार चकती होगी।

विकल्प (3) सही है।

संप्रत्यय:

एक फलन f(x, y) को प्रसंवादी कहा जाता है यदि यह निम्न को संतुष्ट करता है:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

व्याख्या:

(1): u = x2 + y2

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=2,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=2$

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ ≠ 0

u = x2 + y2 प्रसंवादी नहीं है।

(1) सही है। 

(2): u = x2 - y2

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=2,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=-2$

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

u = x2 - y2 प्रसंवादी है।

(3): u = sin hx cos y

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$ = sin hx cos y और $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = - sin hx cos y

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

u = sin hx cos y प्रसंवादी है।

(4): इसी प्रकार हम दर्शा सकते हैं कि

u = $\frac{1}{2}$log(x2 + y2) प्रसंवादी है।

संकल्पना:

ध्रुव:

वह मान जिसके लिए f(z) मौजूद नहीं है अर्थात वह मान जिस पर फलन f(z) का हर = 0 है।

जब एक ध्रुव की कोटि 1 होती है तो इसे एक साधारण ध्रुव के रूप में जाना जाता है।

अवशेष:

यदि f(z) का z = a पर एक साधारण ध्रुव है तो

$Resf(a)=\underset{z\to a}{lim}\left(z-a\right)f\left(z\right)$

यदि f(z) का z = a पर कोटि n का ध्रुव है तो

$Res\left(atz=a\right)=\frac{1}{\left(n-1\right)!}{\left\{\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}\left[{\left(z-a\right)}^{n}f\left(z\right)\right]\right\}}_{z=a}$

गणना:

दिया हुआ:

$f\left(z\right)=\frac{z^2}{z^2+a^2}$

ध्रुव की गणना के लिए:

z2 + a2 = 0

∴ (z + ia)(z - ai) = 0

∴ z = ai, -ai

∴ z का z = ai और -ai पर साधारण ध्रुव है।

अवशेष:

यदि f(z) का z = a पर एक साधारण ध्रुव है तो

$Resf(a)=\underset{z\to a}{lim}\left(z-a\right)f\left(z\right)$

z = ai पर ध्रुव के लिए

$Resf(ai)=\underset{z\to ai}{lim}\left(z-ai\right)\left(\frac{z^2}{z^2+a^2}\right)$

$Resf(ai)=\underset{z\to ai}{lim}\left(z-ai\right)\left(\frac{z^2}{(z-ai)(z+ai)}\right)$

$Resf(ai)=\frac{(ai{)}^2}{2ai}\Rightarrow \frac{ai}{2}$

z = - ai पर ध्रुव के लिए

$Resf(-ai)=\underset{z\to -ai}{lim}\left(z+ai\right)\left(\frac{z^2}{(z-ai)(z+ai)}\right)$

$Resf(-ai)=\frac{(-ai{)}^2}{-2ai}\Rightarrow -\frac{ai}{2}$

∴ z का z = ai पर एक साधारण ध्रुव है और $\frac{ia}{2}$, z पर एक अवशेष होता है = f (z) के लिए होता है।

संकल्पना:

लॉरेंट श्रेणी मानक श्रेणी और प्रसार की व्यवस्था और परस्पर परिवर्तन द्वारा प्राप्त की जाती है, अर्थात

(1 - x)^-1 = 1 + x + x² + x³ + …… |x| < 1

(1 + x)^-1 = 1 – x + x² – x³ + ….. |x| < 1

(1 - x)^-2 = 1 + 2x + 3x² + ….. |x| < 1

(1 + x)^-2 1 – 2x + 3x² – 4x² + …. |x| < 1

सभी प्रसारों में उसका निरीक्षण कीजिए; जो |x| 1 से कम होना चाहिए।

∴ उपरोक्त प्रतिबंध को पूरा करने के लिए हमें चर में परस्पर परिवर्तन करने की आवश्यकता है।

अनुप्रयोग:

दिया गया क्षेत्र |z| > 2

⇒ $\frac{2}{\left|z\right|}<1$ 

$\frac{1}{\left|z\right|}<\frac{1}{2}$

इसकी व्याख्या $\frac{1}{\left|z\right|}<1$ के रूप में की जा सकती है  

$f\left(z\right)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}$

$f\left(z\right)=\frac{1}{z}[\frac{1}{1-\frac{1}{z}}-\frac{1}{1-\frac{2}{z}}]$

$Since\frac{1}{1-\frac{1}{z}}={(1-\frac{1}{z})}^{-1}$

$\left|\frac{1}{z}\right|<1\Rightarrow {(1-\frac{1}{z})}^{-1}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\dots$

इसी प्रकार, हम लिख सकते हैं:

$\frac{1}{1-\frac{2}{z}}={(1-\frac{2}{z})}^{-1}$

$\left|\frac{2}{z}\right|<1\Rightarrow {(1-\frac{2}{z})}^{-1}=1+\frac{2}{z}+{\left(\frac{2}{z}\right)}^2+\dots$

$\therefore f\left(z\right)=\frac{1}{z}[[1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\dots ]-[1+\frac{2}{z}+{\left(\frac{2}{z}\right)}^2+\dots ]]$

$=[[\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\dots ]-[\frac{1}{z}+\frac{2}{z^2}+\frac{4}{z^2}+\dots ]]$
 

संकल्पना:

z का तर्क धनात्मक वास्तविक अक्ष और केंद्र से बिंदु को जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है। 

यदि एक सम्मिश्र संख्या को z = x +iy द्वारा ज्ञात किया गया है, तो z = arg(z) का तर्क = ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ है। 

गणना:

दिया गया है, सम्मिश्र संख्या $\sqrt{-1}$

⇒ $z=\sqrt{-1}=i$ = x + iy

तुलना करने पर,

⇒ x = 0 और y = 1

⇒ z पहले चतुर्थांश में है। 

इसलिए, arg(z) = $ta{n}^{-1}(\frac{y}{x})$

⇒arg(z) = $ta{n}^{-1}(\frac{1}{0})=\frac{\pi }{2}$

⇒ arg(z) = $\frac{\pi }{2}$ 

अतः सम्मिश्र संख्या  $z=\sqrt{-1}=i$ का तर्क $\frac{\pi }{2}$ है। 

संकल्पन:

कॉची प्रमेय:

यदि f(z) एक विश्लेषणात्मक फलन है और f'(z) बंद वक्र C के अंतर्गत और प्रत्येक बिंदु पर सतत है, तो

$\underset{C}{\oint }f\left(z\right)dz=0$

कॉची समाकल सूत्र:

यदि f(z) एक बंद वक्र के अंतर्गत एक विश्लेषणात्मक फलन है और यदि a, C के अंतर्गत कोई बिंदु है, तो

$f\left(a\right)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\oint }\frac{f\left(z\right)}{z-a}dz$

$f^n\left(a\right)=\frac{n!}{2\pi i}\underset{C}{\oint }\frac{f\left(z\right)}{{\left(z-a\right)}^{n+1}}dz$

परिशिष्ट प्रमेय:

यदि f(z), C के अंतर्गत परिमित संख्या में व्युत्क्रमणीय बिंदुओं को छोड़कर बंद वक्र C में विश्लेषणात्मक है, तो

$\underset{C}{\int }f\left(z\right)dz=2\pi i\times \left[\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{C}\right]$

परिशिष्ट ज्ञात करने का सूत्र:

1. यदि f(z) में z = a पर एक सरल ध्रुव है, तो

$Resf\left(a\right)=\underset{z\to a}{lim}\left[\left(z-a\right)f\left(z\right)\right]$

2. यदि f(z) में z = a पर कोटि n का ध्रुव है, तो

$Resf\left(a\right)=\frac{1}{\left(n-1\right)!}{\left\{\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}\left[{\left(z-a\right)}^{n}f\left(z\right)\right]\right\}}_{z=a}$

अनुप्रयोग:

${\int }_C\frac{z^2+1}{z^2-2z}dz$

$={\int }_C\frac{z^2+1}{z\left(z-2\right)}dz$

सरल ध्रुव हैं: z = 0, 2

दिया गया क्षेत्र एक इकाई वृत्त है।

z = 2 पर परिशिष्ट शून्य है क्योंकि यह दिए गए क्षेत्र के बाहर स्थित है।

Z = 0 पर परिशिष्ट, निम्न द्वारा दिया गया है

$=\underset{z\to 0}{lim}z\frac{z^2+1}{z\left(z-2\right)}dz=-\frac{1}{2}$

कॉची-रीमैन समीकरण:

आयताकार रूप:

f(z) = u(x, y) + f v(x, y)

f(z) को विश्लेषणात्मक होने के लिए इसे कॉची रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करने की आवश्यकता है

ux = vy, uy = -vx

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

ध्रुवीय रूप:

f(z) = u(r, θ) + f v(r, θ)

$u_r=\frac{1}{r}{v}_{\theta }$ और uθ = -rvr

​​${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}}={\displaystyle \frac{1}{r}}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \theta }}\text{and}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial r}}=-{\displaystyle \frac{1}{r}}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta }}$

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{f}{\left(\mathrm{z}\right)}_{\mathrm{z}=\mathrm{a}}=\frac{1}{\left(\mathrm{n}-1\right)!}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{n}-1}}{\mathrm{d}{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}-1}}{\left(\mathrm{z}-\mathrm{a}\right)}^{\mathrm{n}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)]}_{\mathrm{z}=\mathrm{a}}$

यहाँ हमारे पास n = 2 और a = 2 है

इस प्रकार Res $\mathrm{f}{\left(\mathrm{z}\right)}_{\mathrm{z}=2}=\frac{1}{\left(2-1\right)!}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\left[{\left(\mathrm{z}-2\right)}^2\frac{1}{{\left(\mathrm{z}-2\right)}^2{\left(\mathrm{z}+2\right)}^2}\right]}_{\mathrm{z}=2}$

$\begin{array}{l}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\left[\frac{1}{{\left(\mathrm{z}+2\right)}^2}\right]}_{\mathrm{z}=2}={\left[-\frac{2}{{\left(\mathrm{z}+2\right)}^3}\right]}_{\mathrm{z}=2}\\ =-\frac{2}{64}=-\frac{1}{32}\end{array}$

संकल्पना:

एकत्व के घनमूल are 1, ω और ω2 हैं

जहाँ,

 $\omega =\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}and{\omega }^2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

$1+{\omega }^n+{\omega }^{2n}=\{\begin{array}{c}0,ifnisnotmultipleof3\\ 3,ifnismultipleof3\end{array}$

ω3 = 1

1 + ω + ω2 = 0

ω3n = 1

​गणना:

दिया हुआ:

Δ = $\left[\begin{array}{ccc}1& \omega & {\omega }^{2n}\\ {\omega }^2& {\omega }^{2n}& 1\\ {\omega }^{2n}& 1& {\omega }^n\end{array}\right]$

सारणिक को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

Δ = 1 (ω²ⁿ ωⁿ - 1) - ω (ω2 ωn - ω2n) + ω2n (ω2 - ω2n ω²n)

Δ = (ω³n - 1) - (ω3 ωn - ω2n ω) + (ω2 ω2n - ω⁶n )

चूँकि ω3 = 1, ω3n = 1, ω6n = 1

Δ = 0 - ωn + ω2n ω + ω2 ω2n - 1

Δ = -1 - ωn +ω2n (ω + ω2)

चूँकि 1 + ω + ω2 = 0 ⇒ ω + ω2 = - 1

Δ = -1 - ωn - ω2n 

यदि n 3 का गुणज नहीं है तो:

Δ = -1 - ωn - ω2n  = 0

संकल्पना:

यदि f(z) = u(x, y) + iv(x, y) एक विश्लेषणात्मक फलन है, तो कॉची-रीमैन की स्थिति संतुष्ट होगी। 

अर्थात् $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}and\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

गणना:

दिया गया है:

v = xy​

$\frac{\partial v}{\partial y}=x\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=x$

$\frac{\partial v}{\partial x}=y,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=-y$

यदि u = f(x, y) है। 

$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$

du = xdx - ydy

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

$\int du=\int \left(x\right)dx-\int ydy$

$u=\frac{1}{2}\left(x^2-y^2\right)$

अवधारणा:

सम्मिश्र फलन f(z) = u (x, y) + iv (x, y) वैश्लेषिक होगा यदि यह कौशी-रीमान प्रमेय के निम्नलिखित दो प्रतिबंधों को संतुष्ट कर देता है।

• $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}and\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
• $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{y}.$

f(z) = log z

$\frac{\partial }{\partial z}f(z)=\frac{1}{z}$

यहाँ, फलन f(z), z = 0 के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं पर वैश्लेषिक है। चूंकि फलन इन दो मानों के लिए परिभाषित नहीं है।

संकल्पना:

यदि f(x, y) हार्मोनिक है, तो इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)=0=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

गणना:

दिया गया फलन: f = 2x – x² + my²

इसलिए, हार्मोनिक के लिए इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(2-2x)=-2$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}{\partial y}=\frac{\partial \left(2my\right)}{\partial y}=2m$

$\Rightarrow \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=-2+2m=0$