यदि C एक बिंदु a = 0 के चारों ओर एक सरल बंद वक्र है, तब f(a) = ∮_c $\frac{idz}{z^n}$ = ?

कॉची समाकल सूत्र:

यदि f(z) एक बंद वक्र C के भीतर एक विश्लेषणात्मक फलन है और 'a', C के अंदर एक बिंदु है, तो,

${\oint }_C^{}\frac{f(z)}{z-a}dz=2\pi if(a)$

जहाँ, f(a), f(z) का बचा भाग है 

बचा भाग इस प्रकार दिया जाता है:

स्थिति 1: सरल ध्रुव (z = a) के लिए:

$f(a)=\stackrel{Lt}{z\to a}[(z-a)f(z)]$

स्थिति 2: दोहराए गए ध्रुव के लिए (z = a...........n बार):

$f(a)=\stackrel{Lt}{z\to a}\frac{1}{(n-1)!}[\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}(z-a{)}^{n}f(z)]$

गणना:

दिया गया है, $f(z)={\oint }_C^{}\frac{i}{(z-0{)}^n}dz$

$f(a)=\stackrel{Lt}{z\to a}\frac{1}{(n-1)!}[\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}(z-0{)}^n\frac{i}{(z-0{)}^n}]$

$f(a)=\stackrel{Lt}{z\to a}\frac{1}{(n-1)!}[\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}i]$

f(a) = 0

$f(z)={\oint }_C^{}\frac{i}{(z-0{)}^n}dz=2\pi i(0)$

$f(z)={\oint }_C^{}\frac{i}{(z-0{)}^n}dz=0$