निम्नलिखित असमिकाओं पर विचार कीजिये:

1. \(\frac{a^2 - b^2 }{a^2 + b^2 } > \frac{a - b}{a + b} \) जहाँ a > b > 0

2. \(\frac{a^3 + b^3 }{a^2 + b^2 } > \frac{a^2 + b^2}{a + b} \) केवल जब a > b > 0

उपरोक्त में से कौन-सा/कौन-से सही है/हैं?

गणना:

कथन:1    \(\frac{a^2 - b^2 }{a^2 + b^2 } > \frac{a - b}{a + b} \) जहाँ a > b > 0

माना a = 2 और b = 1

⇒ \(\frac{2^2 - 1^2 }{2^2 + 1^2 } > \frac{2 - 1}{2 + 1} \)

⇒ \(\frac{3 }{5 } > \frac{1}{3} \) जो सही है।

इसलिए, कथन 1 सही है।

कथन:2   \(\frac{a^3 + b^3 }{a^2 + b^2 } > \frac{a^2 + b^2}{a + b} \) केवल जब a > b > 0

माना a = 2 और b = 1

⇒ \(\frac{2^3 + 1^3 }{2^2 + 1^2 } > \frac{2^2 + 1^2}{2 + 1} \)

⇒ \(\frac{9 }{5 } > \frac{5}{3} \) यह भी सही है।

यह असमिका भी a = 1 और b = 2 के लिए सत्य है, अर्थात्

कथन 2 भी b > a > 0 के लिए सही है।

लेकिन कथन 2 के अनुसार असमिका तभी सही होगी जब a > b > 0

इसलिए, कथन 2 गलत है।

अतः, कथन (1) सही है लेकिन कथन (2) गलत है।

Mistake Pointsकृपया दूसरे कथन की भाषा पर ध्यान दीजिये

"केवल जब a > b > 0"

हमने सिद्ध कर दिया है कि, निम्न के लिए कथन सही है

a = 2 & b = 1 (अर्थात a > b > 0) और b = 2 & a = 1 (अर्थात b > a > 0)

अत:, 'केवल' शब्द के कारण, कथन 2 गलत हो जाएगा।