Uniform Convergence MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Uniform Convergence - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 11, 2025

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Latest Uniform Convergence MCQ Objective Questions

Uniform Convergence Question 1:

फलन fn : [0, 1] → ℝ को निम्नत: व्यक्त किया जाता है:

fn(t) = (n + 2) ( n+ 1)tn (1 - t), [0, 1] में t के सभी मानों के लिए।

निम्न में से कौन सा सत्य है?

  1. श्रेणी (fn) एकसमानत: अभिसरित होती है
  2. श्रेणी (fn) बिंदुवार एकसमानत: अभिसरित होती है किंतु समानत: नहीं
  3. श्रेणी (fn) का [0, 1) पर अपसरण होता है
  4. \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(t) d t\) = \(\displaystyle \int_0^1 \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(t) d t \).

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : श्रेणी (fn) बिंदुवार एकसमानत: अभिसरित होती है किंतु समानत: नहीं

Uniform Convergence Question 1 Detailed Solution

संप्रत्यय:

बिंदुवार अभिसारी: फलनों का एक अनुक्रम fn: E → ℝ (जहाँ E, ℝ का एक उपसमुच्चय है (n = 1, 2, ...)) को फलन f: E → ℝ पर बिंदुवार अभिसारी कहा जाता है यदि और केवल यदि \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow ∞} f_n(x)\) = f(x) सभी 𝑥 ∈ E के लिए।

एकसमान अभिसारी: फलन fn: E → ℝ का एक अनुक्रम f(x) पर एकसमान रूप से अभिसारी कहा जाता है यदि और केवल यदि \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow ∞} M_n\) = 0 जहाँ Mn = supx ∈E |fn(x)- f(x)|

व्याख्या:

fn : [0, 1] → ℝ को इस प्रकार दिया गया है:

fn(t) = (n + 2) ( n+ 1)tn (1 - t), सभी t in [0, 1] के लिए।

तब f(t) = \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow ∞} f_n(t)\) = 0 ∀ t ∈ [0, 1]

इसलिए, (fn) बिंदुवार अभिसारी है।

अब, मान लीजिये ϕ = |fn(t)- f(t)| = (n + 2) ( n+ 1)tn (1 - t)

हम sup ϕ ज्ञात करेंगे।

ϕ' = (n + 2) ( n+ 1){ntn-1(1 - t) - tn} = (n + 2) ( n+ 1){ntn-1 - (n+1) tn}

ϕ' = 0

(n + 2) ( n+ 1){ntn-1 - (n+1) tn} = 0

⇒ (n + 2) ( n+ 1)tn-1 {n- (n+1)t} = 0

⇒ t = 0, \(n\over n+1\)

ϕ' धनात्मक से ऋणात्मक चिन्ह t = \(n\over n+1\) पर बदलता है।

इसलिए, Sup ϕ = (n + 2) ( n+ 1)\((\frac n{n+1})^n\) \(1\over n+1\) = (n + 2)\(1\over(1+\frac1n)^n\)

इसलिए, Mn = (n + 2)\(1\over(1+\frac1n)^n\) 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है जब n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है।

अतः (fn) एकसमान अभिसारी नहीं है।

(2) सही है।

Uniform Convergence Question 2:

निम्नलिखित श्रेणी <2x\(1 + n2x2)> पर विचार कीजिए और जाँच कीजिए कि क्या श्रेणी [0, 1] पर समान रूप से अभिसारित है?

  1. उपरोक्त में से कोई भी विकल्प मान्य नहीं है।
  2. यह [0, 1] पर समान रूप से संतत नहीं है।
  3. यह (0, 1) पर समान रूप से संतत है।
  4. यह [0, 1] पर समान रूप से संतत है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : यह [0, 1] पर समान रूप से संतत है।

Uniform Convergence Question 2 Detailed Solution

अवधारणा - 

श्रेणी \(\sum _{n=0}^ {\infty} \frac{1}{n^p} \) के लिए p-परीक्षण

जहाँ p> 1It अभिसारी है अन्यथा यह अपसारी है।  

व्याख्या-

इसे सिद्ध करने के लिए हम वीयरस्ट्रैस M-परीक्षण का उपयोग करते हैं। 

दिया गया है, श्रेणी \(< \frac{2x}{1+n^2x^2}>\) जो  \(\leq \frac{1}{n^2}\) है।

अतः p परीक्षण द्वारा यह अभिसारी है।

अतः यह समान रूप से अभिसारी है।

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है।

Uniform Convergence Question 3:

दो दूरीक समष्टियों के बीच एक फलन f: A → B, A पर एकसमान संतत होता है, यदि सभी Є > 0 के लिए ∂ इस प्रकार मौजूद होते हैं कि-  

  1. d(x, y) = 0
  2. d(x, y) > ∂
  3. d(x, y) < ∂ 
  4. d(x, y) = ∂

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : d(x, y) < ∂ 

Uniform Convergence Question 3 Detailed Solution

व्याख्या -

दो दूरीक समष्टियों के बीच एक फलन f: A → B, A पर एकसमान संतत होता है, यदि सभी Є > 0 के लिए ∂ इस प्रकार मौजूद होते हैं कि A में सभी x, y के लिए, यदि x और y के बीच की दूरी δ [d(x, y) < δ] से कम होती है। (अर्थात, यदि ρ(x, y) < δ है जहाँ ρ A पर दूरीक है) तो f(x) और f(y) के बीच की दूरी ε से कम होती है (अर्थात, τ( f(x), f(y)) < ε है, जहाँ τ B पर दूरीक है।)

एकसमान संतत, संतता से अधिक मजबूत स्थिति होती है। इसका अर्थ यह है कि फलन संपूर्ण समष्टि A में समान तरीके से व्यवहार करता है, न कि केवल व्यक्तिगत बिंदुओं पर।

अतः विकल्प (iii) सही है।

Uniform Convergence Question 4:

निम्न में से कौन से फलन (0, 1) पर एकसमानत: संतत हैं?

  1. \(\frac{1}{x}\)
  2. \(\sin \frac{1}{x}\)
  3. \(x \sin \frac{1}{x}\)
  4. \(\frac{\sin x}{x}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Uniform Convergence Question 4 Detailed Solution

Uniform Convergence Question 5:

f(x) = e-x तथा g(x) = e-x2 हो तो निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?

  1. f(x) तथा g(x) दोनों \(\mathbb{R}\) पर एक समान संतत हैं
  2. [a, + ∞) के रूप के प्रत्येक अंतराल पर जहाँ a ∈ \(\mathbb{R}\), f(x) एक समान रूप से संतत है
  3. g(x) एक समानरूप से \(\mathbb{R}\) पर संतत है
  4. f(x) g(x) एक समानरूप से \(\mathbb{R}\) पर संतत है

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Uniform Convergence Question 5 Detailed Solution

अवधारणा:

i. यदि कोई फलन (a,b) में संतत है और सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है, तो फलन एकसमानतः अभिसारी होता है।

ii. एक फलन तभी एकसमानतः अभिसारी होता है जब दो अनुक्रम an, bn विद्यमान हों जिससे |an-bn|→ 0 का अर्थ है |f(an)-f(bn)|→ 0 at b→\(\infty\) .

व्याख्या:

g(x) = e-x2 जो \(\mathbb R\) पर संतत है।

इसके अलावा \(\lim_{x→ -\infty} e^{-x^2}=\lim_{x→ \infty} e^{-x^2}=0\)। इसलिए सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है।

इसलिए g(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत है।

f(x)=e-x \(\mathbb R\) पर संतत है।

मान लीजिये an = -ln(n) और bn = -ln(n+1) है, तब

|an-bn| = - ln(n) + ln(n+1) = \(\ln(\frac{n+1}{n})=\ln(1+\frac{1}{n})\) → 0 जब n → \(\infty\)

लेकिन |f(an)-f(bn)| = |eln(n)-eln(n+1)| = |n-(n+1)| = 1, 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है जब n → \(\infty\).

इसलिए f(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत नहीं है।

f(x)g(x) = e-(x+x2)\(\mathbb R\) पर संतत है।

इसके अलावा \(\lim_{x→ -\infty} e^{-(x+x^2)}=\lim_{x→ \infty} e^{-(x+x^2)}=0\)। इसलिए सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है।

इसलिए f(x)g(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत है।

f [a, + ∞) के प्रत्येक अंतराल पर एकसमानतः संतत है, a ∈ \(\mathbb{R}\)

चूँकि x = a और x = + ∞ पर f(x) की सीमा परिमित रूप से विद्यमान है। और f(x) [a, + ∞) पर संतत है।
 
इसलिए विकल्प (2), (3), और (4) सही हैं।

Top Uniform Convergence MCQ Objective Questions

श्रेणी

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin n x}{n^{\log _e n}}, \quad x ∈ \mathbb{R}\)

अभिसरित होती है

  1. केवल x = 0 के लिए
  2. एक समान रूप से केवल x ∈ [-π, π] के लिए
  3. एक समान रूप से केवल x ∈ \(\mathbb{R}\) \{nπ ∶ n ∈ \(\mathbb{Z}\}\) के लिए
  4. एक समान रूप से सभी x ∈ \(\mathbb{R}\) के लिए

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : एक समान रूप से सभी x ∈ \(\mathbb{R}\) के लिए

Uniform Convergence Question 6 Detailed Solution

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अवधारणा:

Mn परीक्षण:

मान लीजिए an वास्तविक संख्याओं की एक श्रेणी है, तब

\(\sum_{n=1}^{\infty} |an| \leq\)| Mn |

यदि Mn अभिसारी है, तो an अभिसारी है।

गणना:

यहाँ

|an | = \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \sin n x}{n^{\log _e n}} \leq \) \(\frac{1}{n^{\log _e n}}\)

| an | \(\leq\) \(\frac{1}{n^2}\)

सभी x ∈ R के लिए अभिसारी है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

Uniform Convergence Question 7:

फलन fn : [0, 1] → ℝ को निम्नत: व्यक्त किया जाता है:

fn(t) = (n + 2) ( n+ 1)tn (1 - t), [0, 1] में t के सभी मानों के लिए।

निम्न में से कौन सा सत्य है?

  1. श्रेणी (fn) एकसमानत: अभिसरित होती है
  2. श्रेणी (fn) बिंदुवार एकसमानत: अभिसरित होती है किंतु समानत: नहीं
  3. श्रेणी (fn) का [0, 1) पर अपसरण होता है
  4. \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(t) d t\) = \(\displaystyle \int_0^1 \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(t) d t \).

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : श्रेणी (fn) बिंदुवार एकसमानत: अभिसरित होती है किंतु समानत: नहीं

Uniform Convergence Question 7 Detailed Solution

Uniform Convergence Question 8:

निम्नलिखित श्रेणी <2x\(1 + n2x2)> पर विचार कीजिए और जाँच कीजिए कि क्या श्रेणी [0, 1] पर समान रूप से अभिसारित है?

  1. उपरोक्त में से कोई भी विकल्प मान्य नहीं है।
  2. यह [0, 1] पर समान रूप से संतत नहीं है।
  3. यह (0, 1) पर समान रूप से संतत है।
  4. यह [0, 1] पर समान रूप से संतत है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : यह [0, 1] पर समान रूप से संतत है।

Uniform Convergence Question 8 Detailed Solution

अवधारणा - 

श्रेणी \(\sum _{n=0}^ {\infty} \frac{1}{n^p} \) के लिए p-परीक्षण

जहाँ p> 1It अभिसारी है अन्यथा यह अपसारी है।  

व्याख्या-

इसे सिद्ध करने के लिए हम वीयरस्ट्रैस M-परीक्षण का उपयोग करते हैं। 

दिया गया है, श्रेणी \(< \frac{2x}{1+n^2x^2}>\) जो  \(\leq \frac{1}{n^2}\) है।

अतः p परीक्षण द्वारा यह अभिसारी है।

अतः यह समान रूप से अभिसारी है।

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है।

Uniform Convergence Question 9:

श्रेणी

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sin n x}{n^{\log _e n}}, \quad x ∈ \mathbb{R}\)

अभिसरित होती है

  1. केवल x = 0 के लिए
  2. एक समान रूप से केवल x ∈ [-π, π] के लिए
  3. एक समान रूप से केवल x ∈ \(\mathbb{R}\) \{nπ ∶ n ∈ \(\mathbb{Z}\}\) के लिए
  4. एक समान रूप से सभी x ∈ \(\mathbb{R}\) के लिए

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : एक समान रूप से सभी x ∈ \(\mathbb{R}\) के लिए

Uniform Convergence Question 9 Detailed Solution

अवधारणा:

Mn परीक्षण:

मान लीजिए an वास्तविक संख्याओं की एक श्रेणी है, तब

\(\sum_{n=1}^{\infty} |an| \leq\)| Mn |

यदि Mn अभिसारी है, तो an अभिसारी है।

गणना:

यहाँ

|an | = \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \sin n x}{n^{\log _e n}} \leq \) \(\frac{1}{n^{\log _e n}}\)

| an | \(\leq\) \(\frac{1}{n^2}\)

सभी x ∈ R के लिए अभिसारी है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

Uniform Convergence Question 10:

दो दूरीक समष्टियों के बीच एक फलन f: A → B, A पर एकसमान संतत होता है, यदि सभी Є > 0 के लिए ∂ इस प्रकार मौजूद होते हैं कि-  

  1. d(x, y) = 0
  2. d(x, y) > ∂
  3. d(x, y) < ∂ 
  4. d(x, y) = ∂

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : d(x, y) < ∂ 

Uniform Convergence Question 10 Detailed Solution

व्याख्या -

दो दूरीक समष्टियों के बीच एक फलन f: A → B, A पर एकसमान संतत होता है, यदि सभी Є > 0 के लिए ∂ इस प्रकार मौजूद होते हैं कि A में सभी x, y के लिए, यदि x और y के बीच की दूरी δ [d(x, y) < δ] से कम होती है। (अर्थात, यदि ρ(x, y) < δ है जहाँ ρ A पर दूरीक है) तो f(x) और f(y) के बीच की दूरी ε से कम होती है (अर्थात, τ( f(x), f(y)) < ε है, जहाँ τ B पर दूरीक है।)

एकसमान संतत, संतता से अधिक मजबूत स्थिति होती है। इसका अर्थ यह है कि फलन संपूर्ण समष्टि A में समान तरीके से व्यवहार करता है, न कि केवल व्यक्तिगत बिंदुओं पर।

अतः विकल्प (iii) सही है।

Uniform Convergence Question 11:

निम्न में से कौन से फलन (0, 1) पर एकसमानत: संतत हैं?

  1. \(\frac{1}{x}\)
  2. \(\sin \frac{1}{x}\)
  3. \(x \sin \frac{1}{x}\)
  4. \(\frac{\sin x}{x}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Uniform Convergence Question 11 Detailed Solution

Uniform Convergence Question 12:

f(x) = e-x तथा g(x) = e-x2 हो तो निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?

  1. f(x) तथा g(x) दोनों \(\mathbb{R}\) पर एक समान संतत हैं
  2. [a, + ∞) के रूप के प्रत्येक अंतराल पर जहाँ a ∈ \(\mathbb{R}\), f(x) एक समान रूप से संतत है
  3. g(x) एक समानरूप से \(\mathbb{R}\) पर संतत है
  4. f(x) g(x) एक समानरूप से \(\mathbb{R}\) पर संतत है

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Uniform Convergence Question 12 Detailed Solution

अवधारणा:

i. यदि कोई फलन (a,b) में संतत है और सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है, तो फलन एकसमानतः अभिसारी होता है।

ii. एक फलन तभी एकसमानतः अभिसारी होता है जब दो अनुक्रम an, bn विद्यमान हों जिससे |an-bn|→ 0 का अर्थ है |f(an)-f(bn)|→ 0 at b→\(\infty\) .

व्याख्या:

g(x) = e-x2 जो \(\mathbb R\) पर संतत है।

इसके अलावा \(\lim_{x→ -\infty} e^{-x^2}=\lim_{x→ \infty} e^{-x^2}=0\)। इसलिए सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है।

इसलिए g(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत है।

f(x)=e-x \(\mathbb R\) पर संतत है।

मान लीजिये an = -ln(n) और bn = -ln(n+1) है, तब

|an-bn| = - ln(n) + ln(n+1) = \(\ln(\frac{n+1}{n})=\ln(1+\frac{1}{n})\) → 0 जब n → \(\infty\)

लेकिन |f(an)-f(bn)| = |eln(n)-eln(n+1)| = |n-(n+1)| = 1, 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है जब n → \(\infty\).

इसलिए f(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत नहीं है।

f(x)g(x) = e-(x+x2)\(\mathbb R\) पर संतत है।

इसके अलावा \(\lim_{x→ -\infty} e^{-(x+x^2)}=\lim_{x→ \infty} e^{-(x+x^2)}=0\)। इसलिए सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है।

इसलिए f(x)g(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत है।

f [a, + ∞) के प्रत्येक अंतराल पर एकसमानतः संतत है, a ∈ \(\mathbb{R}\)

चूँकि x = a और x = + ∞ पर f(x) की सीमा परिमित रूप से विद्यमान है। और f(x) [a, + ∞) पर संतत है।
 
इसलिए विकल्प (2), (3), और (4) सही हैं।
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