Uniform Convergence MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Uniform Convergence - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

बिंदुवार अभिसारी: फलनों का एक अनुक्रम f_n: E → ℝ (जहाँ E, ℝ का एक उपसमुच्चय है (n = 1, 2, ...)) को फलन f: E → ℝ पर बिंदुवार अभिसारी कहा जाता है यदि और केवल यदि \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow ∞} f_n(x)\) = f(x) सभी 𝑥 ∈ E के लिए।

एकसमान अभिसारी: फलन f_n: E → ℝ का एक अनुक्रम f(x) पर एकसमान रूप से अभिसारी कहा जाता है यदि और केवल यदि \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow ∞} M_n\) = 0 जहाँ M_n = sup_{x ∈E} |fn(x)- f(x)|

व्याख्या:

fn : [0, 1] → ℝ को इस प्रकार दिया गया है:

fn(t) = (n + 2) ( n+ 1)tn (1 - t), सभी t in [0, 1] के लिए।

तब f(t) = \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow ∞} f_n(t)\) = 0 ∀ t ∈ [0, 1]

इसलिए, (fn) बिंदुवार अभिसारी है।

अब, मान लीजिये ϕ = |fn(t)- f(t)| = (n + 2) ( n+ 1)tn (1 - t)

हम sup ϕ ज्ञात करेंगे।

ϕ' = (n + 2) ( n+ 1){ntn-1(1 - t) - tn} = (n + 2) ( n+ 1){ntn-1 - (n+1) tn}

ϕ' = 0

⇒ (n + 2) ( n+ 1){ntn-1 - (n+1) tn} = 0

⇒ (n + 2) ( n+ 1)tn-1 {n- (n+1)t} = 0

⇒ t = 0, \(n\over n+1\)

ϕ' धनात्मक से ऋणात्मक चिन्ह t = \(n\over n+1\) पर बदलता है।

इसलिए, Sup ϕ = (n + 2) ( n+ 1)\((\frac n{n+1})^n\) \(1\over n+1\) = (n + 2)\(1\over(1+\frac1n)^n\)

इसलिए, M_n = (n + 2)\(1\over(1+\frac1n)^n\) 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है जब n अनंत की ओर प्रवृत्त होता है।

अतः (fn) एकसमान अभिसारी नहीं है।

(2) सही है।

अवधारणा - 

श्रेणी \(\sum _{n=0}^ {\infty} \frac{1}{n^p} \) के लिए p-परीक्षण

जहाँ p> 1It अभिसारी है अन्यथा यह अपसारी है।  

व्याख्या-

इसे सिद्ध करने के लिए हम वीयरस्ट्रैस M-परीक्षण का उपयोग करते हैं। 

दिया गया है, श्रेणी \(< \frac{2x}{1+n^2x^2}>\) जो  \(\leq \frac{1}{n^2}\) है।

अतः p परीक्षण द्वारा यह अभिसारी है।

अतः यह समान रूप से अभिसारी है।

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है।

व्याख्या -

दो दूरीक समष्टियों के बीच एक फलन f: A → B, A पर एकसमान संतत होता है, यदि सभी Є > 0 के लिए ∂ इस प्रकार मौजूद होते हैं कि A में सभी x, y के लिए, यदि x और y के बीच की दूरी δ [d(x, y) < δ] से कम होती है। (अर्थात, यदि ρ(x, y) < δ है जहाँ ρ A पर दूरीक है) तो f(x) और f(y) के बीच की दूरी ε से कम होती है (अर्थात, τ( f(x), f(y)) < ε है, जहाँ τ B पर दूरीक है।)

एकसमान संतत, संतता से अधिक मजबूत स्थिति होती है। इसका अर्थ यह है कि फलन संपूर्ण समष्टि A में समान तरीके से व्यवहार करता है, न कि केवल व्यक्तिगत बिंदुओं पर।

अतः विकल्प (iii) सही है।

अवधारणा:

i. यदि कोई फलन (a,b) में संतत है और सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है, तो फलन एकसमानतः अभिसारी होता है।

ii. एक फलन तभी एकसमानतः अभिसारी होता है जब दो अनुक्रम a_n, b_n विद्यमान हों जिससे |a_n-b_n|→ 0 का अर्थ है |f(a_n)-f(b_n)|→ 0 at b→\(\infty\) .

व्याख्या:

g(x) = e-x² जो \(\mathbb R\) पर संतत है।

इसके अलावा \(\lim_{x→ -\infty} e^{-x^2}=\lim_{x→ \infty} e^{-x^2}=0\)। इसलिए सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है।

इसलिए g(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत है।

f(x)=e^-x \(\mathbb R\) पर संतत है।

मान लीजिये an = -ln(n) और bn = -ln(n+1) है, तब

|an-bn| = - ln(n) + ln(n+1) = \(\ln(\frac{n+1}{n})=\ln(1+\frac{1}{n})\) → 0 जब n → \(\infty\)

लेकिन |f(an)-f(bn)| = |e^ln(n)-e^ln(n+1)| = |n-(n+1)| = 1, 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है जब n → \(\infty\).

इसलिए f(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत नहीं है।

f(x)g(x) = e-(x+x²)\(\mathbb R\) पर संतत है।

इसके अलावा \(\lim_{x→ -\infty} e^{-(x+x^2)}=\lim_{x→ \infty} e^{-(x+x^2)}=0\)। इसलिए सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है।

इसलिए f(x)g(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत है।

f [a, + ∞) के प्रत्येक अंतराल पर एकसमानतः संतत है, a ∈ \(\mathbb{R}\)

अवधारणा:

M_n परीक्षण:

मान लीजिए a_n वास्तविक संख्याओं की एक श्रेणी है, तब

\(\sum_{n=1}^{\infty} |an| \leq\)| M_n |

यदि M_n अभिसारी है, तो a_n अभिसारी है।

गणना:

यहाँ

|a_n | = \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \sin n x}{n^{\log _e n}} \leq \) \(\frac{1}{n^{\log _e n}}\)

| a_n | \(\leq\) \(\frac{1}{n^2}\)

सभी x ∈ R के लिए अभिसारी है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

अवधारणा - 

श्रेणी \(\sum _{n=0}^ {\infty} \frac{1}{n^p} \) के लिए p-परीक्षण

जहाँ p> 1It अभिसारी है अन्यथा यह अपसारी है।  

व्याख्या-

इसे सिद्ध करने के लिए हम वीयरस्ट्रैस M-परीक्षण का उपयोग करते हैं। 

दिया गया है, श्रेणी \(< \frac{2x}{1+n^2x^2}>\) जो  \(\leq \frac{1}{n^2}\) है।

अतः p परीक्षण द्वारा यह अभिसारी है।

अतः यह समान रूप से अभिसारी है।

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है।

अवधारणा:

M_n परीक्षण:

मान लीजिए a_n वास्तविक संख्याओं की एक श्रेणी है, तब

\(\sum_{n=1}^{\infty} |an| \leq\)| M_n |

यदि M_n अभिसारी है, तो a_n अभिसारी है।

गणना:

यहाँ

|a_n | = \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \sin n x}{n^{\log _e n}} \leq \) \(\frac{1}{n^{\log _e n}}\)

| a_n | \(\leq\) \(\frac{1}{n^2}\)

सभी x ∈ R के लिए अभिसारी है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

व्याख्या -

दो दूरीक समष्टियों के बीच एक फलन f: A → B, A पर एकसमान संतत होता है, यदि सभी Є > 0 के लिए ∂ इस प्रकार मौजूद होते हैं कि A में सभी x, y के लिए, यदि x और y के बीच की दूरी δ [d(x, y) < δ] से कम होती है। (अर्थात, यदि ρ(x, y) < δ है जहाँ ρ A पर दूरीक है) तो f(x) और f(y) के बीच की दूरी ε से कम होती है (अर्थात, τ( f(x), f(y)) < ε है, जहाँ τ B पर दूरीक है।)

एकसमान संतत, संतता से अधिक मजबूत स्थिति होती है। इसका अर्थ यह है कि फलन संपूर्ण समष्टि A में समान तरीके से व्यवहार करता है, न कि केवल व्यक्तिगत बिंदुओं पर।

अतः विकल्प (iii) सही है।

अवधारणा:

i. यदि कोई फलन (a,b) में संतत है और सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है, तो फलन एकसमानतः अभिसारी होता है।

ii. एक फलन तभी एकसमानतः अभिसारी होता है जब दो अनुक्रम a_n, b_n विद्यमान हों जिससे |a_n-b_n|→ 0 का अर्थ है |f(a_n)-f(b_n)|→ 0 at b→\(\infty\) .

व्याख्या:

g(x) = e-x² जो \(\mathbb R\) पर संतत है।

इसके अलावा \(\lim_{x→ -\infty} e^{-x^2}=\lim_{x→ \infty} e^{-x^2}=0\)। इसलिए सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है।

इसलिए g(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत है।

f(x)=e^-x \(\mathbb R\) पर संतत है।

मान लीजिये an = -ln(n) और bn = -ln(n+1) है, तब

|an-bn| = - ln(n) + ln(n+1) = \(\ln(\frac{n+1}{n})=\ln(1+\frac{1}{n})\) → 0 जब n → \(\infty\)

लेकिन |f(an)-f(bn)| = |e^ln(n)-e^ln(n+1)| = |n-(n+1)| = 1, 0 की ओर प्रवृत्त नहीं होता है जब n → \(\infty\).

इसलिए f(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत नहीं है।

f(x)g(x) = e-(x+x²)\(\mathbb R\) पर संतत है।

इसके अलावा \(\lim_{x→ -\infty} e^{-(x+x^2)}=\lim_{x→ \infty} e^{-(x+x^2)}=0\)। इसलिए सीमा अंत्य बिंदुओं पर परिमित रूप से विद्यमान है।

इसलिए f(x)g(x) \(\mathbb R\) पर एकसमानतः संतत है।

f [a, + ∞) के प्रत्येक अंतराल पर एकसमानतः संतत है, a ∈ \(\mathbb{R}\)