Real Number System MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Real Number System - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हम जानते हैं कि दो अवमुख समुच्चयों का योग अवमुख समुच्चय होता है। साथ ही, दो अवमुख समुच्चयों का सर्वनिष्ठ भी उत्तल समुच्चय होता है।

इसलिए, (1), (2), (4) सही हैं।

लेकिन दो उत्तल समुच्चयों का सम्मिलन उत्तल समुच्चय नहीं हो सकता है।

विकल्प (3) गलत है।

व्याख्या:

आर्किमिडीयन गुणधर्म कहता है कि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं x > 0 और y के लिए,

एक धनात्मक पूर्णांक n का अस्तित्व होता है जिससे nx > y

इसका मतलब है कि किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, आप हमेशा एक पूर्णांक

n ज्ञात कर सकते हैं, जिसे x से गुणा करने पर, किसी भी दी गई संख्या y से अधिक हो जाएगा।

सही विकल्प विकल्प 2 है।

व्याख्या-

मान लीजिये \(\wp(a_n)\) अनुक्रम {\(a_n\)} की वृद्धि की दर है।

चूँकि \(\wp ({ \log(n)}) < \wp (n^2) < \wp (2^n).\)

इस प्रकार \(\frac{1}{10^{100}} 2^n < 10^{100} \log(n) < \frac{1}{10^{10}} n^2 \)

\(\Rightarrow b(n) < c(n) < a(n)\) सभी पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए।

इसलिए, विकल्प (1) और (4) सत्य हैं, लेकिन विकल्प (2) और (3) असत्य हैं।

हल:

दिया गया है:

(a)* संकेतन इस प्रकार परिभाषित है:

\(\left.\begin{array}{rl} (a)^* & =a \text { यदि } a>0 \\ & =0 \text { यदि } a \leq 0 \end{array}\right\}\)

हमें दो वास्तविक संख्याओं x और y के लिए आवश्यक शर्त ज्ञात करनी है जिससे (xy)* = (x)* (y)* हो।

चरण 1: (xy)* का विश्लेषण

परिभाषा के अनुसार, (xy)* होगा:

• xy यदि xy > 0
• 0 यदि xy ≤ 0

चरण 2: (x)* (y)* का विश्लेषण

(x)* और (y)* x और y के मानों पर निर्भर करेंगे:

• (x)* = x यदि x > 0, अन्यथा (x)* = 0
• (y)* = y यदि y > 0, अन्यथा (y)* = 0

इसलिए:

• यदि दोनों x > 0 और y > 0, तो (x)* (y)* = xy।
• यदि या तो x ≤ 0 या y ≤ 0, तो (x)* (y)* = 0।

चरण 3: (xy)* = (x)* (y)* के लिए शर्त

(xy)* = (x)* (y)* समीकरण के लिए:

1. स्थिति 1: यदि x ≥ 0 और y ≥ 0:
   • जब x > 0 और y > 0, (xy)* = xy और (x)* (y)* = xy, इसलिए समानता लागू होती है।
   • जब x = 0 या y = 0, (xy)* = 0 और (x)* (y)* = 0, इसलिए समानता लागू होती है।
2. स्थिति 2: यदि x ≥ 0 या y ≥ 0 (इनमें से एक ऋणात्मक नहीं है):
   • जब x या y में से एक शून्य या धनात्मक है, तो (xy)* शून्य गुणन नियम की प्रकृति के कारण (x)* (y)* के बराबर होगा, जो शर्त को भी संतुष्ट करता है।

सही उत्तर 4) है।

व्याख्या:

हमारे पास \(√{n+1}-√{n} \) है

आइए संयुग्म का उपयोग करें:

= \(\frac{(√{n+1}-√{n})(√{n+1}+√{n}) }{(√{n+1}+√{n})}\)

\(=\frac{n+1-n}{(√{n+1}+√{n})}\)

\(=\frac{1}{(√{n+1}+√{n})} \le \frac{1}{2√{n}} \le \frac{1}{√{n}} \ \ \forall n\)

अतः विकल्प (2) सही है।

स्पष्टीकरण:

x एक वास्तविक संख्या है

(1): n2 sin\(\frac{1}{n}\)   → ∞ जैसे n → ∞

अतः, एक पूर्णांक n ≥ 1 का अस्तित्व इस प्रकार है कि n 2 sin \(\frac{1}{n}\)   ≥ x है। 

(1) सत्य है। 

(2): n 2 cos \(\frac{1}{n}\) → ∞ जैसे n → ∞

अतः, एक पूर्णांक n ≥ 1 का अस्तित्व इस प्रकार है कि n 2 cos \(\frac{1}{n}\) ≥ x है। 

(2) सत्य है। 

(3): ne -n → 0 जैसे n → ∞ है

इसलिए, बड़े n के लिए, ne-n, x से बड़ा नहीं होगा

n = 1000 के लिए, ne - n , x से बड़ा नहीं है। 

(3) असत्य है। 

(4): n(log n)-1 = n/(log n) → → ∞ जैसे n → ∞

अतः एक पूर्णांक n ≥ 2 का अस्तित्व इस प्रकार है कि n(log n) -1   ≥ x है। 

(4) सत्य है। 

व्याख्या:

विकल्प (2)

f₂(1, 2) = 1.2 + 1 + 2 = 5

f₂(2, 1) = 2.1 + 2 + 1 = 5

इसलिए f₂(1, 2) = f₂(2, 1) ⇒ f₂(m, n) एकैक नहीं है।

विकल्प (2) - असत्य है।

विकल्प (3)

f₃(8, 1) = 8² + 1³ = 65 = f₃(1, 4) = 1² + 4³

⇒ f₃(8, 1) = f₃(1, 4) ⇒ f₃(m, n) एकैक नहीं है।

विकल्प (3) - असत्य है।

विकल्प (4)

f₄(1, 4) = 1² x 4³ = 64

f₄(8, 1) = 8² x 1³ = 64

⇒ f₄(1, 4) = f₄(8, 1) ⇒ f₄(m, n) एकैक नहीं है।

विकल्प (4) - असत्य है।

विकल्प (1)

f₁(m, n) = 2^m 3ⁿ

मान लीजिए f₁(m₁, n₁) = f₁(m₂, n₂)

⇒ 2^m₁ x 3^n₁ = 2^m₂ x 3^n₂

⇒ m₁ = m₂ और n₁ = n₂

⇒ (m₁, n₁) = (m₂, n₂)

इसलिए, f₁(m, n) = 2^m 3ⁿ एकैक है।

विकल्प (1) - सत्य है।

व्याख्या:

आर्किमिडीयन गुणधर्म कहता है कि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं x > 0 और y के लिए,

एक धनात्मक पूर्णांक n का अस्तित्व होता है जिससे nx > y

इसका मतलब है कि किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, आप हमेशा एक पूर्णांक

n ज्ञात कर सकते हैं, जिसे x से गुणा करने पर, किसी भी दी गई संख्या y से अधिक हो जाएगा।

सही विकल्प विकल्प 2 है।

व्याख्या:

हमारे पास \(√{n+1}-√{n} \) है

आइए संयुग्म का उपयोग करें:

= \(\frac{(√{n+1}-√{n})(√{n+1}+√{n}) }{(√{n+1}+√{n})}\)

\(=\frac{n+1-n}{(√{n+1}+√{n})}\)

\(=\frac{1}{(√{n+1}+√{n})} \le \frac{1}{2√{n}} \le \frac{1}{√{n}} \ \ \forall n\)

अतः विकल्प (2) सही है।

व्याख्या:

दिया गयाहै कि |x|, |y| ≤ 2 है, जहाँ x, y वास्तविक हैं और |x| ≠ lyl,

अब \(x=\frac{4}{5}\) और \(y=\frac{-3}{5}\) लेने पर,

अब \(|x-y|=|\frac{4}{5}-(\frac{-3}{5})|=\frac{7}{5}\)

और \(\frac{1}{|x|+|y|}\) = \(\frac{1}{|\frac{4}{5}|+|\frac{-3}{5}|}=\frac{5}{7}\)

और \( \frac{1}{|x+y|}\) \(= \frac{1}{|\frac{4}{5}+\frac{-3}{5}|}=5\) तो यहाँ कथन C और D गलत हैं।

और चूँकि \(|ab|=|a|\times|b| \) इसलिए

\(\left|x^2-y^2\right| \geq 1\) ⇔ \(|(x+y)(x-y)| \geq 1\) ⇔ \(|x+y||x-y| \geq 1\)

विकल्प A सही है।

और चूँकि \(|a| \neq |b|\implies|a+b|>0\) इसलिए,

\(|x+y||x-y| \geq 1\) ⇔ \(|x-y| \geq \frac{1}{|x+y|}\)

विकल्प B भी सही है।

इसलिए सही उत्तर विकल्प: 3 है।

व्याख्या:

हम जानते हैं कि दो अवमुख समुच्चयों का योग अवमुख समुच्चय होता है। साथ ही, दो अवमुख समुच्चयों का सर्वनिष्ठ भी उत्तल समुच्चय होता है।

इसलिए, (1), (2), (4) सही हैं।

लेकिन दो उत्तल समुच्चयों का सम्मिलन उत्तल समुच्चय नहीं हो सकता है।

विकल्प (3) गलत है।

अवधारणा:

एक फलन f: \(\mathbb{N}\) x \(\mathbb{N}\) → \(\mathbb{N}\) को एकैक कहा जाता है यदि (m1, n1) ≠ (m2, n2) इस प्रकार है कि (m1, n1), (m2, n2) ∈ \(\mathbb{N}\) × \(\mathbb{N}\) के लिए, f((m1, n1)) ≠ f(m2, n2) है। 

व्याख्या:

(1): f1(m, n) = 2m 3n

मान लीजिए (m1, n1), (m2, n2) ∈ \(\mathbb{N}\) x \(\mathbb{N}\) इस प्रकार हैं कि

f1(m1, n1) = f1(m2, n2)

⇒ 2m1 3n1 = 2m2 3n2

⇒ 2m1-m2 = 3n2 -n1 

⇒ m1 - m2 = n2 - n1 = 0  

⇒ m1 = m2 और n2 = n1 

⇒ (m1, n1) = (m2, n2)

विकल्प (1) सही है। 

(2): f2(m, n) = m2 + m + n

(-1, 1) ≠ (0, 1)

 लेकिन f2(-1, 1) = 1 - 1 + 1 = 1 और f2(0, 1) = 0 + 0 + 1 = 1

इसलिए, f2(-1, 1) = f2(0, 1) एकैक नहीं है।

विकल्प (2) गलत है। 

(3): f3(m, n) = m3 + n3

(-1, 1) ≠ (0, 1)

लेकिन f3(1, 0) = 13 + 03 = 1 और f3(0, 1) = 03 + 13 = 1

इसलिए, f3(1, 0) = f3(0, 1) एकैक नहीं है।

विकल्प (3) गलत है। 

(4): f4(m, n) = m n3

लेकिन f4(1, 1) = (1)(13) = 1 और f4(-1, -1) = (-1)(-1)3 = 1

इसलिए, f4(1, 1) = f4(-1, -1) एकैक नहीं है।

विकल्प (4) गलत है। 

व्याख्या:

aⁿ − bⁿ = (a − b) (aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻² b + aⁿ⁻³ b² + … + bⁿ⁻¹)

अब, xⁿ − yⁿ = (x − y) (xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² y + xⁿ⁻³ y² + … + yⁿ⁻¹) ≤ (x − y) (xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²⋅x + xⁿ⁻³ x² + … + xⁿ⁻¹)

⇒ xⁿ − yⁿ ≤ (x − y) (xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻¹ + … + xⁿ⁻¹) (∵ x ⩾ y)

⇒ xⁿ − yⁿ ≤ n xⁿ⁻¹ (x − y) -

विकल्प (4) सही, विकल्प (2) गलत है।

साथ ही, xⁿ − yⁿ ⩾ (x − y) (yⁿ⁻¹ + yⁿ⁻² ⋅ y + yⁿ⁻³ y² + … + yⁿ⁻¹) (: y ≤ x)

⇒ xⁿ − yⁿ ⩾ (x − y) (yⁿ⁻¹ + yⁿ⁻¹ + … + yⁿ⁻¹)

⇒ xⁿ − yⁿ ⩾ n yⁿ⁻¹(x − y) -

विकल्प (1) सही, विकल्प (3) गलत है।

साथ ही, विकल्प (2) के लिए, x = 3, y = 2, n = 2 लीजिए

तब 2 ⋅ 3²⁻¹ (3 − 2) = 2 ⋅ 3 ⋅ 1 = 6 = n xⁿ⁻¹ (x − y)

और xⁿ − yⁿ = 3² − 2² = 9 − 4 = 5

तब 6 ≤ 5 ⇒ n xⁿ⁻¹ (x − y) ≤ xⁿ − yⁿ. 

विकल्प - (2) गलत है।

विकल्प (3) के लिए

n yⁿ⁻¹ (x − y) = 2 ⋅ 2²⁻¹ (3 − 2) = 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4

और xⁿ − yⁿ = 3² − 2² = 9 − 4 = 5

तब 4 ⩾ 5 ⇒ nyⁿ⁻¹ (x − y)⩾ xⁿ − yⁿ

विकल्प (3) गलत है।