Discontinuity & Functions of Bounded Variation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Discontinuity & Functions of Bounded Variation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या-

\(p(x)=x^2+x+1\) जहाँ \(x \in (-1,1)\)

\(\Rightarrow p'(x)=2x+1 ; \forall x \in (-1,1).\)

अतः p, x ∈ (-1, 1) के लिए परिबद्ध विचरण का है।

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

\(p(x)=\tan(\frac{\pi x}{2})\) जहाँ \(x \in (-1,1)\)

\(\Rightarrow p(-1)=- \infty ; p(1)=\infty. \)

चूँकि p अपरिबद्ध है, इसलिए p, x ∈ (-1, 1) के लिए परिबद्ध विचरण का नहीं है।

इसलिए, विकल्प (2) गलत है।

\(p(x)=\sin(\frac{x}{2})\) जहाँ \(x \in (-\pi,\pi)\)

\(\Rightarrow p'(x)=\frac{1}{2} \cos(\frac{x}{2})\) परिबद्ध है।

अतः p, x ∈ (-π, π). के लिए परिबद्ध विचरण का है।

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

\(p(x)=\sqrt{1-x^2}\) जहाँ \(x \in (-1,1)\)

\(\Rightarrow p'(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} ; \forall x \in (-1,1).\)

\(p'(x) > 0\) जहाँ \(x \in (-1,0)\) और \(p'(x)<0\) जहाँ \(x \in (0,1)\).

अतः p(x), (-1,0) में वर्धमान है और (0,1) में ह्रासमान है।

अतः p, x ∈ (-1, 1) के लिए परिबद्ध विचरण का है।

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

प्रयुक्त अवधारणा:

(1) परिबद्ध विचरण: यदि किसी फलन का कुल विचरण परिमित है, तो फलन को परिबद्ध विचरण वाला कहा जाता है।

एक बंद अंतराल [a, b] पर परिभाषित फलन f(x) के लिए, कुल विचरण \(V_a^b(f)\) इस प्रकार दिया गया है:

\(V_a^b(f) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})| : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b \right\} \)

(2) f (x) = \(\left\{\begin{array}{cc} x^{α} \sin (1 / x^{β}), & \text { for } x \in(0,1] \\ 0, & \text { for } x=0 \end{array}\right.\) परिबद्ध विचरण है यदि और केवल यदि α > β

व्याख्या:

दिया गया फलन f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc} x \sin (1 / x), & \text { for } x ∈(0,1] \\ 0, & \text { for } x=0 \end{array}\right.\) और g(x) = x f(x) 0 ≤ x ≤ 1 के लिए

x ∈ (0, 1] के लिए, f(x) = x sin(1/x).

आइए अंतराल (0, 1] का एक विभाजन \( P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}\) मान लें जहाँ \(x_0 < x_1 < \ldots < x_n = 1\).

\(⇒ V_{0}^{1}(f) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})| : 0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = 1 \right\} \)

\(\Rightarrow V_{0}^{1}(f) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^n |x_i \sin(1/x_i) - x_{i-1} \sin(1/x_{i-1})| : 0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = 1 \right\} \)

जैसे ही x, 0 के निकट पहुँचता है, पद sin (1/x), -1 और 1 के बीच दोलन करता है, जिसके परिणामस्वरूप अपरिबद्ध कुल विचरण होता है।

इसलिए, f(x) = x sin(1/x) के लिए x के 0 के निकट पहुँचने पर कुल विचरण अपरिबद्ध है।

इस प्रकार, f परिबद्ध विचरण नहीं है।

2. फलन g(x):

g(x) = x f(x) 0 ≤ x ≤ 1 के लिए।

अब g(x) = \(\left\{\begin{array}{cc} x^{2} \sin (1 / x), & \text { for } x \in(0,1] \\ 0, & \text { for } x=0 \end{array}\right.\)

स्पष्ट रूप से 2 > 1,

अतः (2) अवधारणा का उपयोग करके, g(x) परिबद्ध विचरण का है।

अतः विकल्प (2) और (3) सही हैं।

अवधारणा:

निष्कासन असांतत्य: एक फलन f में x = a पर निष्कासन असांतत्य होती है यदि \(\lim_{x\to a}f(x)\) परिमित रूप से अस्तित्व है अर्थात, LHL = RHL लेकिन f(a) के बराबर नहीं है।

जम्प असांतत्य: यदि बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा बराबर नहीं है, तो फलन f में जम्प असांतत्य होती है।

स्पष्टीकरण:

(1): f : ℝ → ℝ द्वारा परिभाषित

\(f(x)=\left\{\begin{array}{cl} {[x] \sin \frac{1}{x}} & \text { for } x ≠ 0, \\ 0 & \text { for } x=0 \end{array}\right.\)

यदि हम अंतराल (-1, 1) पर विचार करें

अर्थात, \(f(x)=\left\{\begin{array}{cl} {0} & \text { for } x \in (0,1)\\-\sin \frac{1}{x}&\text{ for }x\in(-1, 0) \\ 0 & \text { for } x=0 \end{array}\right.\)

इसलिए, LHL = \(\lim_{x\to 0^-}\) f(x) = \(\lim_{x\to 0}\) (-sin(1/x)) का अस्तित्व नहीं है

RHL = \(\lim_{x\to 0}\) f(x) = 0

सीमा का अस्तित्व नहीं है, इसलिए इसमें कोई निष्कासन असांतत्य नहीं है।

(1) गलत है। 

(2):f : [0, ∞) → ℝ  द्वारा परिभाषित ​

\(f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \sin (\log x) & \text { for } x ≠ 0, \\ 0 & \text { for } x=0 \end{array}\right.\)>)

\(\lim_{x\to 0}\) f(x) = \(\lim_{x\to 0}\sin(\log x)\) मौजूद नहीं है

x = 0 पर f(x) की कोई निष्कासन विलक्षणता नहीं है। 

(2) सही है। 

(3): f : ℝ → ℝ द्वारा परिभाषित

\(f(x)= \begin{cases}e^{1 / x} & \text { for } x<0, \\ e^{1 /(x+1)} & \text { for } x \geq 0\end{cases}\)

LHL = \(\lim_{x\to 0^-}\) f(x) = \(\lim_{x\to 0^-}e^{1/x}\) = e ^-∞ = 0

RHL= \(\lim_{x\to 0^-}\) f(x) = \(\lim_{x\to 0^+}e^{1/(x+1)}\) = e ¹

LHL ≠ RHL

इसलिए, f(x) में z = 0 पर जम्प असांतत्य है। 

(3) सही है। 

(4): f और g में असांतत्य की संख्या सीमित होती है इसलिए fg में अधिकतम गणनीय असांतत्याएँ होती हैं।

(4) सही है। 

संप्रत्यय:

(i) यदि कोई फलन एकदिष्ट वर्धमान/ह्रासमान है, तो यह परिबद्ध विचरण का होता है।

(ii) यदि कोई फलन (a, c), (c, b) में परिबद्ध विचरण का है, तो यह (a, b) में भी परिबद्ध विचरण का होता है।

(iii) लिप्सित्ज़ फलन सदैव परिबद्ध विचरण का होता है।

व्याख्या:

(1): f(x) = x2 + x + 1

f'(x) = 2x + 1 < 0, \((-1, -\frac12) \) के लिए और > 0, \((-\frac12, 1) \) के लिए।

इसलिए f(x), \((-1, -\frac12) \) में एकदिष्ट ह्रासमान और \((-\frac12, 1) \) में एकदिष्ट वर्धमान है।

इसलिए f(x), \((-1, -\frac12) \) और \((-\frac12, 1) \) में परिबद्ध विचरण का है, इसलिए (-1, 1) में भी है।

x2 + x + 1, जहाँ x ∈ (-1, 1)

(2): \(\lim_{x\to1}\tan\frac{\pi x}{2}\) = ∞

इसलिए tan\(\frac{\pi x}{2}\), x ∈ (-1, 1) के लिए परिबद्ध विचरण का नहीं है।

(3): f(x) = sin\(\frac{ x}{2}\), जहाँ x ∈ (-π, π)

|f(x₁) - f(x₂)| = |sin\(\frac{ x_1}{2}\) - sin\(\frac{ x_2}{2}\)| = |2 cos\(\frac{ x_1+x_2}{4}\)sin\(\frac{ x_1-x_2}{4}\)|

इसलिए |f(x1) - f(x2)| ≤ 2 x 1 x \(\frac{ x_1-x_2}{4}\) (चूँकि |cos x| ≤ 1, |sin x| ≤ x)

⇒ |f(x1) - f(x2)| ≤ \(\frac{ 1}{2}|x_1-x_2|\)

f लिप्सित्ज़ सतत है और इसलिए f परिबद्ध विचरण का है।

(4): f(x) = \(\sqrt{1-x^2}\), (-1, 1) में एकदिष्ट फलन है और इसलिए परिबद्ध विचरण का है।

केवल (2) सही है।

अवधारणा:

f(x) = \(\begin{cases}x^{α}\cos\frac1{x^{β}}, x≠0\\0, x=0\end{cases}\) परिबद्ध विचरण है यदि α > β 

स्पष्टीकरण:

f(x) = \(\begin{cases}x^2\cos\frac1x, x≠0\\0, x=0\end{cases}\) 

यहाँ, α =2, β = 1 है, इसलिए α > β संतुष्ट करता है 

अतः, f(x), [-1, 1] में परिबद्ध विचरण है

(1) सही है 

अब, x ≠ 0 के लिए,

f'(x) = \(2x\cos\frac1{x}-\sin\frac1x\)

यहाँ, α =1, β = 1 है, इसलिए α > β संतुष्ट नहीं करता है

(2) असत्य है

अतः, f'(x), [-1, 1] में परिबद्ध विचरण नहीं है

साथ ही, |f'(x)| = |\(2x\cos\frac1{x}-\sin\frac1x\)| ≤ 2|x||\(\cos\frac1{x}\)| + |\(\sin\frac1{x}\)| = 2 × 1 + 1 = 3

इसलिए, |f'(x)| ≤ 3

(3) और (4) असत्य है 

अवधारणा:

निष्कासन असांतत्य: एक फलन f में x = a पर निष्कासन असांतत्य होती है यदि \(\lim_{x\to a}f(x)\) परिमित रूप से अस्तित्व है अर्थात, LHL = RHL लेकिन f(a) के बराबर नहीं है।

जम्प असांतत्य: यदि बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा बराबर नहीं है, तो फलन f में जम्प असांतत्य होती है।

स्पष्टीकरण:

(1): f : ℝ → ℝ द्वारा परिभाषित

\(f(x)=\left\{\begin{array}{cl} {[x] \sin \frac{1}{x}} & \text { for } x ≠ 0, \\ 0 & \text { for } x=0 \end{array}\right.\)

यदि हम अंतराल (-1, 1) पर विचार करें

अर्थात, \(f(x)=\left\{\begin{array}{cl} {0} & \text { for } x \in (0,1)\\-\sin \frac{1}{x}&\text{ for }x\in(-1, 0) \\ 0 & \text { for } x=0 \end{array}\right.\)

इसलिए, LHL = \(\lim_{x\to 0^-}\) f(x) = \(\lim_{x\to 0}\) (-sin(1/x)) का अस्तित्व नहीं है

RHL = \(\lim_{x\to 0}\) f(x) = 0

सीमा का अस्तित्व नहीं है, इसलिए इसमें कोई निष्कासन असांतत्य नहीं है।

(1) गलत है। 

(2):f : [0, ∞) → ℝ  द्वारा परिभाषित ​

\(f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \sin (\log x) & \text { for } x ≠ 0, \\ 0 & \text { for } x=0 \end{array}\right.\)>)

\(\lim_{x\to 0}\) f(x) = \(\lim_{x\to 0}\sin(\log x)\) मौजूद नहीं है

x = 0 पर f(x) की कोई निष्कासन विलक्षणता नहीं है। 

(2) सही है। 

(3): f : ℝ → ℝ द्वारा परिभाषित

\(f(x)= \begin{cases}e^{1 / x} & \text { for } x<0, \\ e^{1 /(x+1)} & \text { for } x \geq 0\end{cases}\)

LHL = \(\lim_{x\to 0^-}\) f(x) = \(\lim_{x\to 0^-}e^{1/x}\) = e ^-∞ = 0

RHL= \(\lim_{x\to 0^-}\) f(x) = \(\lim_{x\to 0^+}e^{1/(x+1)}\) = e ¹

LHL ≠ RHL

इसलिए, f(x) में z = 0 पर जम्प असांतत्य है। 

(3) सही है। 

(4): f और g में असांतत्य की संख्या सीमित होती है इसलिए fg में अधिकतम गणनीय असांतत्याएँ होती हैं।

(4) सही है। 

संप्रत्यय:

यदि f संहत [a, b] पर संतत है और f' [a, b] पर परिबद्ध है, तो f परिबद्ध विचरण का है।

व्याख्या:

दिया गया है

\(f_k(x)=\frac{x^k}{(1+x)^2} \forall x \geq0\)

माना कि \({\lim _{k \to \infty }}{f_k}(x) = f(x)\) है, तब

f(x) = \(\frac{1}{4}\) जब x=1

= 0 जब x= 0

यहाँ सीमा फलन संतत नहीं है।

यह दर्शाता है कि यह [0, 1] पर एकसमान रूप से संतत नहीं है।

इसलिए, विकल्प (4) असत्य है। 

\(f_k(x)=\frac{x^k}{(1+x)^2} \forall x \geq0\)

[0, \(\infty\)) पर संतत है।

f'_k(x) = \(\frac{(1+x)^2 kx^(k-1)-x^k2(1+x) }{(1+x)^4}\)

यह परिबद्ध है।

इसलिए, विकल्प (1) सत्य है

माना कि k = 1 है। 

\(\int_0^\infty {{f_k}\left( x \right)dx = } \, \)\(\int_0^\infty {{\frac{x}{(1+x)^2}} dx}\)

= \(\int_0^\infty {{\frac{x+1-1}{(1+x)^2}} dx}\)

= \(\int_0^\infty {{\frac{1}{(1+x)}} dx}\) - \(\int_0^\infty {{\frac{1}{(1+x)^2}} dx}\)

= \(\infty\)

इसलिए, विकल्प (2) असत्य है। 

1 \(\leq\) 1+x

1 \(\geq\) \(\frac{1}{1+x}\)

\({\lim _{k \to \infty }}\int_0^1 {{f_k}\left( x \right)dx}\) \(\leq\) \({\lim _{k \to \infty }}\int_0^1 {{}\left( x^k \right)dx}\) = 0

इसलिए, विकल्प (3) सत्य है। 

संप्रत्यय:

(i) यदि कोई फलन एकदिष्ट वर्धमान/ह्रासमान है, तो यह परिबद्ध विचरण का होता है।

(ii) यदि कोई फलन (a, c), (c, b) में परिबद्ध विचरण का है, तो यह (a, b) में भी परिबद्ध विचरण का होता है।

(iii) लिप्सित्ज़ फलन सदैव परिबद्ध विचरण का होता है।

व्याख्या:

(1): f(x) = x2 + x + 1

f'(x) = 2x + 1 < 0, \((-1, -\frac12) \) के लिए और > 0, \((-\frac12, 1) \) के लिए।

इसलिए f(x), \((-1, -\frac12) \) में एकदिष्ट ह्रासमान और \((-\frac12, 1) \) में एकदिष्ट वर्धमान है।

इसलिए f(x), \((-1, -\frac12) \) और \((-\frac12, 1) \) में परिबद्ध विचरण का है, इसलिए (-1, 1) में भी है।

x2 + x + 1, जहाँ x ∈ (-1, 1)

(2): \(\lim_{x\to1}\tan\frac{\pi x}{2}\) = ∞

इसलिए tan\(\frac{\pi x}{2}\), x ∈ (-1, 1) के लिए परिबद्ध विचरण का नहीं है।

(3): f(x) = sin\(\frac{ x}{2}\), जहाँ x ∈ (-π, π)

|f(x₁) - f(x₂)| = |sin\(\frac{ x_1}{2}\) - sin\(\frac{ x_2}{2}\)| = |2 cos\(\frac{ x_1+x_2}{4}\)sin\(\frac{ x_1-x_2}{4}\)|

इसलिए |f(x1) - f(x2)| ≤ 2 x 1 x \(\frac{ x_1-x_2}{4}\) (चूँकि |cos x| ≤ 1, |sin x| ≤ x)

⇒ |f(x1) - f(x2)| ≤ \(\frac{ 1}{2}|x_1-x_2|\)

f लिप्सित्ज़ सतत है और इसलिए f परिबद्ध विचरण का है।

(4): f(x) = \(\sqrt{1-x^2}\), (-1, 1) में एकदिष्ट फलन है और इसलिए परिबद्ध विचरण का है।

केवल (2) सही है।

अवधारणा:

f(x) = \(\begin{cases}x^{α}\cos\frac1{x^{β}}, x≠0\\0, x=0\end{cases}\) परिबद्ध विचरण है यदि α > β 

स्पष्टीकरण:

f(x) = \(\begin{cases}x^2\cos\frac1x, x≠0\\0, x=0\end{cases}\) 

यहाँ, α =2, β = 1 है, इसलिए α > β संतुष्ट करता है 

अतः, f(x), [-1, 1] में परिबद्ध विचरण है

(1) सही है 

अब, x ≠ 0 के लिए,

f'(x) = \(2x\cos\frac1{x}-\sin\frac1x\)

यहाँ, α =1, β = 1 है, इसलिए α > β संतुष्ट नहीं करता है

(2) असत्य है

अतः, f'(x), [-1, 1] में परिबद्ध विचरण नहीं है

साथ ही, |f'(x)| = |\(2x\cos\frac1{x}-\sin\frac1x\)| ≤ 2|x||\(\cos\frac1{x}\)| + |\(\sin\frac1{x}\)| = 2 × 1 + 1 = 3

इसलिए, |f'(x)| ≤ 3

(3) और (4) असत्य है 

प्रयुक्त अवधारणा:

(1) परिबद्ध विचरण: यदि किसी फलन का कुल विचरण परिमित है, तो फलन को परिबद्ध विचरण वाला कहा जाता है।

एक बंद अंतराल [a, b] पर परिभाषित फलन f(x) के लिए, कुल विचरण \(V_a^b(f)\) इस प्रकार दिया गया है:

\(V_a^b(f) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})| : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b \right\} \)

(2) f (x) = \(\left\{\begin{array}{cc} x^{α} \sin (1 / x^{β}), & \text { for } x \in(0,1] \\ 0, & \text { for } x=0 \end{array}\right.\) परिबद्ध विचरण है यदि और केवल यदि α > β

व्याख्या:

दिया गया फलन f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc} x \sin (1 / x), & \text { for } x ∈(0,1] \\ 0, & \text { for } x=0 \end{array}\right.\) और g(x) = x f(x) 0 ≤ x ≤ 1 के लिए

x ∈ (0, 1] के लिए, f(x) = x sin(1/x).

आइए अंतराल (0, 1] का एक विभाजन \( P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}\) मान लें जहाँ \(x_0 < x_1 < \ldots < x_n = 1\).

\(⇒ V_{0}^{1}(f) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})| : 0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = 1 \right\} \)

\(\Rightarrow V_{0}^{1}(f) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^n |x_i \sin(1/x_i) - x_{i-1} \sin(1/x_{i-1})| : 0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = 1 \right\} \)

जैसे ही x, 0 के निकट पहुँचता है, पद sin (1/x), -1 और 1 के बीच दोलन करता है, जिसके परिणामस्वरूप अपरिबद्ध कुल विचरण होता है।

इसलिए, f(x) = x sin(1/x) के लिए x के 0 के निकट पहुँचने पर कुल विचरण अपरिबद्ध है।

इस प्रकार, f परिबद्ध विचरण नहीं है।

2. फलन g(x):

g(x) = x f(x) 0 ≤ x ≤ 1 के लिए।

अब g(x) = \(\left\{\begin{array}{cc} x^{2} \sin (1 / x), & \text { for } x \in(0,1] \\ 0, & \text { for } x=0 \end{array}\right.\)

स्पष्ट रूप से 2 > 1,

अतः (2) अवधारणा का उपयोग करके, g(x) परिबद्ध विचरण का है।

अतः विकल्प (2) और (3) सही हैं।

व्याख्या-

\(p(x)=x^2+x+1\) जहाँ \(x \in (-1,1)\)

\(\Rightarrow p'(x)=2x+1 ; \forall x \in (-1,1).\)

अतः p, x ∈ (-1, 1) के लिए परिबद्ध विचरण का है।

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

\(p(x)=\tan(\frac{\pi x}{2})\) जहाँ \(x \in (-1,1)\)

\(\Rightarrow p(-1)=- \infty ; p(1)=\infty. \)

चूँकि p अपरिबद्ध है, इसलिए p, x ∈ (-1, 1) के लिए परिबद्ध विचरण का नहीं है।

इसलिए, विकल्प (2) गलत है।

\(p(x)=\sin(\frac{x}{2})\) जहाँ \(x \in (-\pi,\pi)\)

\(\Rightarrow p'(x)=\frac{1}{2} \cos(\frac{x}{2})\) परिबद्ध है।

अतः p, x ∈ (-π, π). के लिए परिबद्ध विचरण का है।

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

\(p(x)=\sqrt{1-x^2}\) जहाँ \(x \in (-1,1)\)

\(\Rightarrow p'(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} ; \forall x \in (-1,1).\)

\(p'(x) > 0\) जहाँ \(x \in (-1,0)\) और \(p'(x)<0\) जहाँ \(x \in (0,1)\).

अतः p(x), (-1,0) में वर्धमान है और (0,1) में ह्रासमान है।

अतः p, x ∈ (-1, 1) के लिए परिबद्ध विचरण का है।

इसलिए, विकल्प (4) सही है।