तृतीय आनुपातिक MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Third Proportional - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

पहली संख्या = 28

दूसरी संख्या = 112

प्रयुक्त सूत्र:

यदि a, b और c समानुपात में हैं, तो:

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c}\)

तृतीयानुपाती (c) = \(\dfrac{b^2}{a}\)

गणना:

तृतीयानुपाती = \(\dfrac{b^2}{a}\)

⇒ c = \(\dfrac{112^2}{28}\)

⇒ c = \(\dfrac{12544}{28}\)

⇒ c = 448

इसलिए तृतीयानुपाती 448 है, और सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

पहली संख्या = 36

दूसरी संख्या = 42

अवधारणा:

यदि a : b = b : c है, तो c को a और b का तृतीयानुपाती कहा जाता है।

प्रयुक्त सूत्र:

तृतीयानुपाती = (b × b) / a

गणना:

तृतीयानुपाती = (42 × 42) / 36

= 1764 / 36

= 49

इसलिए, 36 और 42 का तृतीयानुपाती 49 है।

दिया गया है:

प्रथमानुपाती = x

द्वितीयानुपाती = x + 100

तृतीयानुपाती = 405

शर्त: x > 100

प्रयुक्त सूत्र:

यदि a, b और c सतत समानुपात में हैं, तो b² = ac है। 

यहाँ, a = x, b = x + 100, और c = 405

गणना:

सतत समानुपात के सूत्र का उपयोग करने पर:

(x + 100)² = x × 405

⇒ x² + 2 × x × 100 + 100² = 405x

⇒ x² + 200x + 10000 = 405x

⇒ x² + 200x - 405x + 10000 = 0

⇒ x² - 205x + 10000 = 0

द्विघात सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करें: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

यहाँ, a = 1, b = -205, c = 10000.

विविक्तकर (D) = b² - 4ac = (-205)² - 4 × 1 × 10000

D = 42025 - 40000

D = 2025

√D = √2025 = 45

अब, x के मान ज्ञात कीजिए:

x₁ = [-(-205) + 45] / (2 × 1) = (205 + 45) / 2 = 250 / 2 = 125

x₂ = [-(-205) - 45] / (2 × 1) = (205 - 45) / 2 = 160 / 2 = 80

हमें दिया गया है कि x > 100

इसलिए, x का मान 125 है।

इसलिए, x का मान 125 है।

दिया गया है:

प्रथमानुपाती = 3x²

द्वितीयानुपाती = 4xy

तृतीयानुपाती = 48

प्रयुक्त सूत्र:

यदि a, b और c सतत समानुपात में हैं, तो b² = ac होता है।

यहाँ, a = 3x², b = 4xy, और c = 48 है।

गणना:

(4xy)² = (3x²) × 48

⇒ 16x²y² = 144x²

⇒ y² = 144x² / 16x²

⇒ y² = 9

⇒ y = ±√9

⇒ y = ±3

हमें y का धनात्मक मान चाहिए।

∴ y का धनात्मक मान 3 है।

दिया गया है:

प्रथम पद (a) = (3 + √2)

द्वितीय पद (b) = 2√7

प्रयुक्त सूत्र:

यदि a, b और c सतत समानुपात में हैं, तो b² = a x c

गणना:

माना तीसरा समानुपाती c है।

\(2√7)^2 = (3 + √2) \times c\)

⇒ 4 x 7 = (3 + √2) x c

⇒ 28 = (3 + √2) x c

⇒ c = \( \dfrac{28}{3 + √2} \)

हर का परिमेयीकरण कीजिए:

⇒ c = \( \dfrac{28}{3 + √2} \times \dfrac{3 - √2}{3 - √2} \)

⇒ c = \( \dfrac{28(3 - √2)}{9 - 2} \)

⇒ c = \( \dfrac{28(3 - √2)}{7} \)

⇒ c = 4(3 - √2)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

हमें 9 और 15 का तृतीयानुपाती ज्ञात करना होगा

प्रयुक्त अवधारणा:

अनुपात और समानुपात की अवधारणा

गणना:

माना, तृतीयानुपाती x है

तो,

9 : 15 : : 15 : x

⇒ 9/15 = 15/x

⇒ x = (15 × 15)/9

⇒ x = 25

∴ 9 और 15 का आवश्यक तृतीयानुपाती 25 है।

दिया गया है:

प्रथम संख्या (a) = (x2 - y2)

द्वितीय संख्या (b) = (x - y)

प्रयुक्त सूत्र:

तृतीयानुपाती = {द्वितीय संख्या (b)}2/प्रथम संख्या (a)

(x2 - y2) = (x - y) × (x + y)

गणना:

तृतीयानुपाती = (x - y)2/(x2 - y2)

⇒ {(x - y) × (x - y)}/{(x - y) × (x + y)} 

⇒ \(\rm \frac{x-y}{x+y}\)

∴ सही उत्तर \(\rm \frac{x-y}{x+y}\) है।

अवधारणा:

समानुपात का तीसरा आनुपातिक माध्य पदों का दूसरा पद होता है।

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास a : b = c : d है, तब पद ‘c’, ‘a’और ‘b’ का तीसरा आनुपातिक है।

इस तरह दर्शाया गया है:

a : b ∷ b : c

गणना:

मान लीजिये कि 16 और 24 का तीसरा समानुपाती x है

⇒ 16/24 = 24/x

⇒ x = (24 × 24)/16

⇒ x = 36

∴ 16 और 24 का तीसरा समानुपाती 36 है

प्रयुक्त अवधारणा:

तीसरा अनुपात- a ∶ b ∶ ∶ b ∶ c

गणना:

माना कि जुड़ने वाली संख्या x है

16 ∶ 28 ∶∶ 28 ∶ (40 + x)

16/28 = 28/(40 + x)

40 + x = (28 × 28)/16

⇒ x = 9

दी गई जानकारी:

पहला पद = b² - a²

दूसरा पद = b² - ab

अवधारणा: दो दिए गए पदों x और y का तृतीयानुपाती (y² / x) होता है।

चरण-दर-चरण हल:

तृतीयानुपाती = (b² - ab)² / (b² - a²) = \(\rm \frac{b^2(b-a)}{(b+a)}\)

अतः, (b² - a²) और (b² - ab) का तृतीयानुपाती \(\rm \frac{b^2(b-a)}{(b+a)}\) है।

दिया गया है:

संख्या = 12, 24 और 27

गणना:

12, 24 और 27 का चतुर्थानुपाती  n है। 

⇒ 12 : 24 :: 27 : n 

⇒ 12/24 = 27/n

⇒ n = 54

तब,

A और 36 का तृतीयानुपाती 54 है।

⇒ A : 36 = 36 : 54

⇒ 54A = 36²

⇒ A = 24

∴ A का मान 24 है।

दिया गया है:

यदि 45 : 12 :: 75 : x है, तो x और 30 का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

तृतीयानुपाती:

माना a और b के लिए तृतीयानुपाती 'z' है।

तब, (a : b :: b : z)

अतः,

z = \(\frac{b^2}{a}\)

गणना:

प्रश्नानुसार,

45 : 12 : : 75 : x.

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

⇒ \(\frac{45}{12} = \frac{75}{x}\)

⇒ x = \(\frac{12 \times 75}{45}\) = 20

अब, 

माना 20 और 30 का तृतीयानुपाती y है।

⇒ y = \(\frac{30^2}{20}\)= 45

20 और 30 का तृतीयानुपाती = 45

अतः, अभीष्ट उत्तर '45' है।

Additional Information

1. प्रथमानुपाती:

माना a, b और c का प्रथमानुपाती 'x' है।

तब, (x : a :: b : c)

अतः,

x = \(\frac{ab}{c}\)

2. मध्यानुपाती:

माना a और b का मध्यानुपाती 'x' है।

तब, (a : x :: x : b)

अतः, 

x = \(\sqrt{ab}\)

3. चतुर्थानुपाती:

माना a, b और c का प्रथमानुपाती 'x' है।

तब, (a : b :: c : x)

अतः, 

x = \(\frac{bc}{a}\)

दिया गया है:

a = 2

b = 3

अवधारणा:

हमें a3 + b3 और a2 + ab + b2 का तृतीयानुपाती ज्ञात करना होगा।

हल:

⇒ पहली और दूसरी संख्या प्राप्त करने के लिए दो व्यंजकों में a और b को रखिये।

⇒ पहली संख्या = a3 + b3 = 23 + 33 = 8 + 27 = 35

⇒ दूसरी संख्या = a2 + ab + b2 = 22 + 2*3 + 32 = 4 + 6 + 9 = 19

⇒ दो संख्याओं (x और y) का तृतीयानुपाती (T), सूत्र T = (y²)/x द्वारा दिया जाता है

तो, पहली और दूसरी संख्या को प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ T = (192)/35 = 10.31

इसलिए, a3 + b3 और a2 + ab + b2 का तृतीयानुपाती, जब a = 2 और b = 3 है, लगभग 10.31 है। (दशमलव के 2 स्थानों तक सही) 

दिया गया है:

व्यंजक = 3x2, 4xy और 48

संकल्पना:

यदि a, b, और c समानुपात में हैं।

\({a\over b}={b\over c}\)

प्रयुक्त सूत्र:

यदि a, b, और c समानुपात में हैं तो तृतीयानुपाती

\(c={b^2\over a}\)

गणना:

प्रश्न के अनुसार

⇒ 48 = \({({4xy})^2\over 3x^2}={16x^2y^2\over3x^2}={16y^2\over3}\)

⇒ 3 × 3 = y2

⇒ y =√(3 × 3) = 3

∴ अभीष्ट परिणाम 3 होगा।

दिया गया है:

3, 9 का तीसरा आनुपातिक p है।

गणना:

माना चौथा आनुपातिक x है।

3, 9 का तीसरा आनुपातिक p है।

⇒ 3/9 = 9/p

⇒ 3p = 81

⇒ p = 27

अब,

चौथा आनुपातिक,

⇒ 6/27 = 4/x

⇒ 6x = (27 × 4)

⇒ 6x = 108

⇒ x = 18

∴ चौथे आनुपातिक का मान 18 है।