Properties of Determinants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Determinants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

एक त्रिभुज जिसके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) हैं, का क्षेत्रफल निम्न प्रकार है:

क्षेत्रफल = $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& 1\\ y_1& y_2& 1\\ z_1& z_2& 1\end{array}\right|$

गणना:

दिया गया है, A(–1, 1) और B(2, 3) दो बिंदु हैं और P एक चर बिंदु है।

मान लीजिए P के निर्देशांक (h, k) हैं।

प्रश्न के अनुसार, ΔPAB का क्षेत्रफल 10 है

⇒ $\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}\mathrm{h}& \mathrm{k}& 1\\ -1& 1& 1\\ 2& 3& 1\end{array}\right|=10$

⇒ – 2x + 3y = 25

⇒ $-\frac{6}{5}$ x + $\frac{9}{5}$ y = 15

⇒ a = $-\frac{6}{5}$ और b = $\frac{9}{5}$

⇒ 5a + 2b = – 6 + $\frac{18}{5}$ = $-\frac{12}{5}$

∴ 5a + 2b का मान $-\frac{12}{5}$ है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

एक आव्यूह की सारणिक का गुण​:

• मान लीजिए कि A, n × n क्रम का एक आव्यूह है, तो det(kA) = kn det(A)

• यदि A और B दो वर्ग आव्यूह हैं तो |AB| = |A||B|

• दो समान पंक्तियों या स्तंभों वाले आव्यूह का निर्धारक 0 के बराबर होता है।

गणना:

Δ = $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ b+c& c+a& a+b\\ -(b+c-a)& -(c+a-b)& -(a+b-c)\end{array}\right|$

R3 → R3 + (-2R2)

⇒ Δ = $-(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ b+c& c+a& a+b\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$

चूंकि, R1 = R3

इसलिए, Δ = 0

संकल्पना:

हम जानते है कि, 

$\left|adjA\right|={\left|A\right|}^{n-1}$

एक आव्यूह के संलग्न (जिसे आव्यूह का सहखंडज भी कहा जाता है) को उस विशेष आव्यूह के सह-खंड आव्यूह के परिवर्त के रूप में परिभाषित किया जाता है। आव्यूह A के लिए, संलग्न को adj (A) के रूप में दर्शाया जाता है।

हम जानते है कि, 

|A| = |A^T|

⇒ |adj A| = |(Adj A)T| 

(Adj A)T अपने सह-खंड आव्यूह A द्वारा गठित सारणिक का प्रतिनिधित्व करता है।

⇒ |adj A| = |(Adj A)T|  = |A|^n-1

​गणना:

दिया गया है: 3 × 3 सारणिक का मान 3 है, 

|A| = 3

⇒ |(Adj A)T|  = (3)^(3-1) = 9

• इसके सह-खंड द्वारा निर्मित सारणिक का मान 9 है।

संकल्पना:

हम जानते है कि, 

$\left|adjA\right|={\left|A\right|}^{n-1}$

एक आव्यूह के संलग्न (जिसे आव्यूह का सहखंडज भी कहा जाता है) को उस विशेष आव्यूह के सह-खंड आव्यूह के परिवर्त के रूप में परिभाषित किया जाता है। आव्यूह A के लिए, संलग्न को adj (A) के रूप में दर्शाया जाता है।

हम जानते है कि, 

|A| = |A^T|

⇒ |adj A| = |(Adj A)T| 

(Adj A)T अपने सह-खंड आव्यूह A द्वारा गठित सारणिक का प्रतिनिधित्व करता है।

⇒ |adj A| = |(Adj A)T|  = |A|^n-1

​गणना:

दिया गया है: 3 × 3 सारणिक का मान 3 है, 

|A| = 3

⇒ |(Adj A)T|  = (3)^(3-1) = 9

• इसके सह-खंड द्वारा निर्मित सारणिक का मान 9 है।

अवधारणा:

एक आव्यूह की सारणिक का गुण​:

• मान लीजिए कि A, n × n क्रम का एक आव्यूह है, तो det(kA) = kn det(A)

• यदि A और B दो वर्ग आव्यूह हैं तो |AB| = |A||B|

• दो समान पंक्तियों या स्तंभों वाले आव्यूह का निर्धारक 0 के बराबर होता है।

गणना:

Δ =  

R3 → R3 + (-2R2)

⇒ Δ = $-(a+b+c)|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ b+c& c+a& a+b\\ 1& 1& 1\end{array}|$

चूंकि, R1 = R3

इसलिए, Δ = 0

संकल्पना:

आव्यूह के सारणिक के गुण:

• यदि एक सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य है।
• किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|
• यदि हम एक आव्यूह की किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है। 

गणना:

$\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$

C2 → C2 + C₃ लागू करने पर

$=\left|\begin{array}{ccc}1& a+b+c& b+c\\ 1& a+b+c& c+a\\ 1& a+b+c& a+b\end{array}\right|$

C₂ से (a + b + c) उभयनिष्ठ लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$=\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& b+c\\ 1& 1& c+a\\ 1& 1& a+b\end{array}\right|$

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और दूसरी स्तंभ बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है।

∴ $\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$= 0

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 1& m& m^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R2 → R2 – R1 लागू करने पर

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R3 → R3 – R1 लागू करने पर

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 0& n-l& n^2-l^2\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& \left(m-l\right)\left(m+l\right)\\ 0& n-l& \left(n-l\right)\left(n+l\right)\end{array}\right|$

$\left(m-l\right)\left(n-l\right)\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& 1& \left(m+l\right)\\ 0& 1& \left(n+l\right)\end{array}\right|$

अब, a11 से विस्तार करने पर

$\left(m-l\right)\left(n-l\right).1.\left[\begin{array}{cc}1& m+l\\ 1& n+l\end{array}\right]$

= (m - l)(n - l)(n + l - m - l)

= (m - l)(n - l)(n - m)

अवधारणा:

यदि ω एकत्व का घनमूल है यानी ω³ = 1

तो 1 + ω + ω² = 0

ω⁴ = ω³ω = ω [∵ ω³ =1]

गणना:

दिया हुआ:

$\left|\begin{array}{ccc}x+1& \omega & {\omega }^2\\ \omega & x+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

C'₁ = C₁ + C₂

$\left|\begin{array}{ccc}x+1+\omega +{\omega }^2& \omega & {\omega }^2\\ x+1+\omega +{\omega }^2& x+{\omega }^2& 1\\ x+1+\omega +{\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ x& x+{\omega }^2& 1\\ x& 1& x+\omega \end{array}\right|=0(\because 1+\omega +{\omega }^2=0)$

R'₂ = R₂ - R₁ और R'₃ = R₃ - R₁

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ 0& x+{\omega }^2-\omega & 1-{\omega }^2\\ 0& 1-\omega & x+\omega -{\omega }^2\end{array}\right|=0$

पहले स्तंभ के साथ विस्तार:

∴ x[(x + ω² - ω)(x + ω - ω²) - (1 - ω)(1 - ω²)]

∴ x[x² + ωx - ω²x + ω²x + ω³ - ω⁴ - ωx - ω² + ω³ - 1 + ω² + ω - ω³]

∴ x³ = 0      (∵ ω³ = 1 और ω⁴ = ω³ω ⇒ ω)

∴ x = 0

व्याख्या:

(A + B) (A - B) = A2 - AB + BA - B2

दिया गया है कि, AB = BA

⇒ (A + B) (A - B) = A2 - B2

दिया गया है कि A2 = B2 ⇒ A2 - B2 = 0

⇒ (A + B) (A - B) = 0

दिया गया है कि, A ≠ B

⇒ A + B = 0

⇒ |A + B| = 0

दिया गया है कि,

A2 + 2A + I = 0

दोनों पक्षों को A-1 से गुणा करने पर

⇒ (A2 + 2A + I) A-1 = 0

⇒ A + 2I + A-1 = 0

⇒ A-1 = -A - 2I

संकल्पना:

आव्यूह के सारणिक के गुण:

• यदि एक सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य है।
• किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|
• यदि हम एक आव्यूह की किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है। 

गणना:

$\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$

C2 → C2 + C₃ लागू करने पर

$=\left|\begin{array}{ccc}1& a+b+c& b+c\\ 1& a+b+c& c+a\\ 1& a+b+c& a+b\end{array}\right|$

C₂ से (a + b + c) उभयनिष्ठ लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$=\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& b+c\\ 1& 1& c+a\\ 1& 1& a+b\end{array}\right|$

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और दूसरी स्तंभ बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है।

∴ $\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$= 0

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 1& m& m^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R2 → R2 – R1 लागू करने पर

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R3 → R3 – R1 लागू करने पर

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 0& n-l& n^2-l^2\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& \left(m-l\right)\left(m+l\right)\\ 0& n-l& \left(n-l\right)\left(n+l\right)\end{array}\right|$

$\left(m-l\right)\left(n-l\right)\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& 1& \left(m+l\right)\\ 0& 1& \left(n+l\right)\end{array}\right|$

अब, a11 से विस्तार करने पर

$\left(m-l\right)\left(n-l\right).1.\left[\begin{array}{cc}1& m+l\\ 1& n+l\end{array}\right]$

= (m - l)(n - l)(n + l - m - l)

= (m - l)(n - l)(n - m)

संकल्पना:

हम जानते है कि, 

$\left|adjA\right|={\left|A\right|}^{n-1}$

एक आव्यूह के संलग्न (जिसे आव्यूह का सहखंडज भी कहा जाता है) को उस विशेष आव्यूह के सह-खंड आव्यूह के परिवर्त के रूप में परिभाषित किया जाता है। आव्यूह A के लिए, संलग्न को adj (A) के रूप में दर्शाया जाता है।

हम जानते है कि, 

|A| = |A^T|

⇒ |adj A| = |(Adj A)T| 

(Adj A)T अपने सह-खंड आव्यूह A द्वारा गठित सारणिक का प्रतिनिधित्व करता है।

⇒ |adj A| = |(Adj A)T|  = |A|^n-1

​गणना:

दिया गया है: 3 × 3 सारणिक का मान 3 है, 

|A| = 3

⇒ |(Adj A)T|  = (3)^(3-1) = 9

• इसके सह-खंड द्वारा निर्मित सारणिक का मान 9 है।

संकल्पना:

kA का सारणिक = kn det (A) = kn |A|

जहाँ,

n = आव्यूह की कोटि

गणना​:

$\left[\begin{array}{ccc}8& 24& 16\\ -4& 0& 8\\ 4& 12& 0\end{array}\right]=2A\Rightarrow k^{\prime }=2,n=3$

$\therefore \left|\begin{array}{ccc}8& 24& 16\\ -4& 0& 8\\ 4& 12& 0\end{array}\right|=2^3\left|A\right|=8\times 96=96k$

∴ k = 8

$\therefore \sqrt{k^k}=8^{8/2}=8^4=4096$

अवधारणा:

यदि ω एकत्व का घनमूल है यानी ω³ = 1

तो 1 + ω + ω² = 0

ω⁴ = ω³ω = ω [∵ ω³ =1]

गणना:

दिया हुआ:

$\left|\begin{array}{ccc}x+1& \omega & {\omega }^2\\ \omega & x+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

C'₁ = C₁ + C₂

$\left|\begin{array}{ccc}x+1+\omega +{\omega }^2& \omega & {\omega }^2\\ x+1+\omega +{\omega }^2& x+{\omega }^2& 1\\ x+1+\omega +{\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ x& x+{\omega }^2& 1\\ x& 1& x+\omega \end{array}\right|=0(\because 1+\omega +{\omega }^2=0)$

R'₂ = R₂ - R₁ और R'₃ = R₃ - R₁

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ 0& x+{\omega }^2-\omega & 1-{\omega }^2\\ 0& 1-\omega & x+\omega -{\omega }^2\end{array}\right|=0$

पहले स्तंभ के साथ विस्तार:

∴ x[(x + ω² - ω)(x + ω - ω²) - (1 - ω)(1 - ω²)]

∴ x[x² + ωx - ω²x + ω²x + ω³ - ω⁴ - ωx - ω² + ω³ - 1 + ω² + ω - ω³]

∴ x³ = 0      (∵ ω³ = 1 और ω⁴ = ω³ω ⇒ ω)

∴ x = 0

अवधारणा:

एक आव्यूह की सारणिक का गुण​:

• मान लीजिए कि A, n × n क्रम का एक आव्यूह है, तो det(kA) = kn det(A)

• यदि A और B दो वर्ग आव्यूह हैं तो |AB| = |A||B|

• दो समान पंक्तियों या स्तंभों वाले आव्यूह का निर्धारक 0 के बराबर होता है।

गणना:

Δ =  

R3 → R3 + (-2R2)

⇒ Δ = $-(a+b+c)|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ b+c& c+a& a+b\\ 1& 1& 1\end{array}|$

चूंकि, R1 = R3

इसलिए, Δ = 0