Properties of Determinants MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Properties of Determinants - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

ω যদি একের ঘনমূল হয়, অর্থাৎ ω³ = 1

তাহলে 1 + ω + ω² = 0

ω⁴ = ω³ω = ω [∵ ω³ =1]

গণনা:

প্রদত্ত:

$\left|\begin{array}{ccc}x+1& \omega & {\omega }^2\\ \omega & x+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

C'₁ = C₁ + C₂

$\left|\begin{array}{ccc}x+1+\omega +{\omega }^2& \omega & {\omega }^2\\ x+1+\omega +{\omega }^2& x+{\omega }^2& 1\\ x+1+\omega +{\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ x& x+{\omega }^2& 1\\ x& 1& x+\omega \end{array}\right|=0(\because 1+\omega +{\omega }^2=0)$

R'₂ = R₂ - R₁ এবং R'₃ = R₃ - R₁

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ 0& x+{\omega }^2-\omega & 1-{\omega }^2\\ 0& 1-\omega & x+\omega -{\omega }^2\end{array}\right|=0$

প্রথম স্তম্ভকে প্রসারিত করে:

∴ x[(x + ω² - ω)(x + ω - ω²) - (1 - ω)(1 - ω²)]

∴ x[x² + ωx - ω²x + ω²x + ω³ - ω⁴ - ωx - ω² + ω³ - 1 + ω² + ω - ω³]

∴ x³ = 0 (∵ ω³ = 1 এবং ω⁴ = ω ³ ω ⇒ ω)

∴ x = 0

ধারণা :

একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য:

• যদি নির্ধারকের যেকোনো সারি বা কলামের প্রতিটি এন্ট্রি 0 হয়, তাহলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
• যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য A, |A| = |AT|
• যদি আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) বিনিময় করি, তাহলে নির্ধারককে -1 দ্বারা গুণ করা হয়।
• ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য।

গণনা :

$\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$

C2 → C2 + C3 প্রয়োগ করুন

$=\left|\begin{array}{ccc}1& a+b+c& b+c\\ 1& a+b+c& c+a\\ 1& a+b+c& a+b\end{array}\right|$

কলাম 2 থেকে (a + b + c) কমন নিলে আমরা পাই,

$=\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& b+c\\ 1& 1& c+a\\ 1& 1& a+b\end{array}\right|$

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং দ্বিতীয় কলাম সমান।

আমরা জানি যে, ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।

∴ $\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$ = 0

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 1& m& m^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R2 → R2 - R1 প্রয়োগ করে পাই

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R3 → R3 - R1 প্রয়োগ করে পাই

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 0& n-l& n^2-l^2\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& \left(m-l\right)\left(m+l\right)\\ 0& n-l& \left(n-l\right)\left(n+l\right)\end{array}\right|$

$\left(m-l\right)\left(n-l\right)\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& 1& \left(m+l\right)\\ 0& 1& \left(n+l\right)\end{array}\right|$

এখন, a11 থেকে বিস্তার করে পাই।

$\left(m-l\right)\left(n-l\right).1.\left[\begin{array}{cc}1& m+l\\ 1& n+l\end{array}\right]$

= (m - l)(n - l)(n + l - m - l)

ধারণা:

যেহেতু A লম্ব,

⇒ AA^T = I

গণনা:

প্রদত্ত:   AAT = I

⇒ |AA^T| = |I|

⇒ |A||AT| = |I| = 1

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তরের নির্ধারক ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের সমান, অর্থাৎ |A^T| = |A|

⇒ |A|² = 1

⇒ |A| = + 1

ধারণা :

একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য:

• যদি নির্ধারকের যেকোনো সারি বা কলামের প্রতিটি এন্ট্রি 0 হয়, তাহলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
• যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য A, |A| = |AT|
• যদি আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) বিনিময় করি, তাহলে নির্ধারককে -1 দ্বারা গুণ করা হয়।
• ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য।

গণনা :

$\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$

C2 → C2 + C3 প্রয়োগ করুন

$=\left|\begin{array}{ccc}1& a+b+c& b+c\\ 1& a+b+c& c+a\\ 1& a+b+c& a+b\end{array}\right|$

কলাম 2 থেকে (a + b + c) কমন নিলে আমরা পাই,

$=\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& b+c\\ 1& 1& c+a\\ 1& 1& a+b\end{array}\right|$

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং দ্বিতীয় কলাম সমান।

আমরা জানি যে, ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।

∴ $\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$ = 0

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 1& m& m^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R2 → R2 - R1 প্রয়োগ করে পাই

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R3 → R3 - R1 প্রয়োগ করে পাই

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 0& n-l& n^2-l^2\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& \left(m-l\right)\left(m+l\right)\\ 0& n-l& \left(n-l\right)\left(n+l\right)\end{array}\right|$

$\left(m-l\right)\left(n-l\right)\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& 1& \left(m+l\right)\\ 0& 1& \left(n+l\right)\end{array}\right|$

এখন, a11 থেকে বিস্তার করে পাই।

$\left(m-l\right)\left(n-l\right).1.\left[\begin{array}{cc}1& m+l\\ 1& n+l\end{array}\right]$

= (m - l)(n - l)(n + l - m - l)

ধারণা:

ω যদি একের ঘনমূল হয়, অর্থাৎ ω³ = 1

তাহলে 1 + ω + ω² = 0

ω⁴ = ω³ω = ω [∵ ω³ =1]

গণনা:

প্রদত্ত:

$\left|\begin{array}{ccc}x+1& \omega & {\omega }^2\\ \omega & x+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

C'₁ = C₁ + C₂

$\left|\begin{array}{ccc}x+1+\omega +{\omega }^2& \omega & {\omega }^2\\ x+1+\omega +{\omega }^2& x+{\omega }^2& 1\\ x+1+\omega +{\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ x& x+{\omega }^2& 1\\ x& 1& x+\omega \end{array}\right|=0(\because 1+\omega +{\omega }^2=0)$

R'₂ = R₂ - R₁ এবং R'₃ = R₃ - R₁

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ 0& x+{\omega }^2-\omega & 1-{\omega }^2\\ 0& 1-\omega & x+\omega -{\omega }^2\end{array}\right|=0$

প্রথম স্তম্ভকে প্রসারিত করে:

∴ x[(x + ω² - ω)(x + ω - ω²) - (1 - ω)(1 - ω²)]

∴ x[x² + ωx - ω²x + ω²x + ω³ - ω⁴ - ωx - ω² + ω³ - 1 + ω² + ω - ω³]

∴ x³ = 0 (∵ ω³ = 1 এবং ω⁴ = ω ³ ω ⇒ ω)

∴ x = 0

ধারণা :

একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য:

• যদি নির্ধারকের যেকোনো সারি বা কলামের প্রতিটি এন্ট্রি 0 হয়, তাহলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
• যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য A, |A| = |AT|
• যদি আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) বিনিময় করি, তাহলে নির্ধারককে -1 দ্বারা গুণ করা হয়।
• ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য।

গণনা :

$\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$

C2 → C2 + C3 প্রয়োগ করুন

$=\left|\begin{array}{ccc}1& a+b+c& b+c\\ 1& a+b+c& c+a\\ 1& a+b+c& a+b\end{array}\right|$

কলাম 2 থেকে (a + b + c) কমন নিলে আমরা পাই,

$=\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& b+c\\ 1& 1& c+a\\ 1& 1& a+b\end{array}\right|$

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং দ্বিতীয় কলাম সমান।

আমরা জানি যে, ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।

∴ $\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& c+a\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$ = 0

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 1& m& m^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R2 → R2 - R1 প্রয়োগ করে পাই

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 1& n& n^2\end{array}\right|$

R3 → R3 - R1 প্রয়োগ করে পাই

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& m^2-l^2\\ 0& n-l& n^2-l^2\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& m-l& \left(m-l\right)\left(m+l\right)\\ 0& n-l& \left(n-l\right)\left(n+l\right)\end{array}\right|$

$\left(m-l\right)\left(n-l\right)\left|\begin{array}{ccc}1& l& l^2\\ 0& 1& \left(m+l\right)\\ 0& 1& \left(n+l\right)\end{array}\right|$

এখন, a11 থেকে বিস্তার করে পাই।

$\left(m-l\right)\left(n-l\right).1.\left[\begin{array}{cc}1& m+l\\ 1& n+l\end{array}\right]$

= (m - l)(n - l)(n + l - m - l)

ধারণা:

ω যদি একের ঘনমূল হয়, অর্থাৎ ω³ = 1

তাহলে 1 + ω + ω² = 0

ω⁴ = ω³ω = ω [∵ ω³ =1]

গণনা:

প্রদত্ত:

$\left|\begin{array}{ccc}x+1& \omega & {\omega }^2\\ \omega & x+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

C'₁ = C₁ + C₂

$\left|\begin{array}{ccc}x+1+\omega +{\omega }^2& \omega & {\omega }^2\\ x+1+\omega +{\omega }^2& x+{\omega }^2& 1\\ x+1+\omega +{\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ x& x+{\omega }^2& 1\\ x& 1& x+\omega \end{array}\right|=0(\because 1+\omega +{\omega }^2=0)$

R'₂ = R₂ - R₁ এবং R'₃ = R₃ - R₁

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ 0& x+{\omega }^2-\omega & 1-{\omega }^2\\ 0& 1-\omega & x+\omega -{\omega }^2\end{array}\right|=0$

প্রথম স্তম্ভকে প্রসারিত করে:

∴ x[(x + ω² - ω)(x + ω - ω²) - (1 - ω)(1 - ω²)]

∴ x[x² + ωx - ω²x + ω²x + ω³ - ω⁴ - ωx - ω² + ω³ - 1 + ω² + ω - ω³]

∴ x³ = 0 (∵ ω³ = 1 এবং ω⁴ = ω ³ ω ⇒ ω)

∴ x = 0

ধারণা:

যেহেতু A লম্ব,

⇒ AA^T = I

গণনা:

প্রদত্ত:   AAT = I

⇒ |AA^T| = |I|

⇒ |A||AT| = |I| = 1

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তরের নির্ধারক ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের সমান, অর্থাৎ |A^T| = |A|

⇒ |A|² = 1

⇒ |A| = + 1