Properties of Complex Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Complex Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

1. एक सम्मिश्र संख्या \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) का आयाम (या कोणांक) \( \text{amp}(z) = \theta \) द्वारा दिया जाता है।

2. \( z \) के संयुग्मी, जिसे \( \overline{z} \) द्वारा दर्शाया गया है, का आयाम \( \text{amp}(\overline{z}) = -\theta \) होता है, क्योंकि सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी ज्ञात करने पर आर्गैंड समतल में इसे वास्तविक अक्ष के परितः परावर्तित किया जाता है।

प्रयुक्त सूत्र:

\( \text{amp}(z) + \text{amp}(\overline{z}) = \theta + (-\theta) = 0 \).

गणना:

\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)

\( \overline{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta) \)

\( \text{amp}(z) + \text{amp}(\overline{z}) = \theta + (-\theta) = 0 \)

निष्कर्ष:

\( \therefore \text{amp}(z) + \text{amp}(\overline{z}) = 0 \).

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

शर्त है \( \bigl|\frac{z - 2i}{z + i}\bigr| = 2,\quad z \neq -i\).

हमें इसको संतुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं \(z\) का बिंदुपथ ज्ञात करना है।

चरण 1: कार्तीय रूप में लिखें।

माना \(z = x + i\,y \) तब

\(z - 2i = x + i(y - 2),\quad z + i = x + i(y + 1).\)

चरण 2: मापांक समीकरण का अनुवाद करें।

\(\bigl|\tfrac{z - 2i}{z + i}\bigr| = 2 \)

\(⇒(\lvert z - 2i\rvert = 2\,\lvert z + i\rvert\)

दोनों ओर वर्ग करने पर:

\(x^2 + (y-2)^2 = 4\bigl[x^2 + (y+1)^2\bigr].\)

चरण 3: प्रसार करें और सरल करें।

बायाँ: \(x^2 + y^2 - 4y + 4 \)
दायाँ: \(4x^2 + 4y^2 + 8y + 4 \)

सभी पदों को एक साथ लाएँ और 3 से भाग दें:

\(x^2 + y^2 + 4y = 0.\)

चरण 4: वर्ग पूर्ण करें।

\(x^2 + (y+2)^2 = 4.\)

यह \((0,-2) \) पर केंद्रित \(2\) त्रिज्या का एक वृत्त है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

अवधारणा:

दूरियों के वर्गों के अंतर द्वारा परिभाषित बिंदुओं का बिंदुपथ:

• जटिल ज्यामिति में, एक बिंदु \( z \) ऐसा है कि \( |z - z_1|^2 - |z - z_2|^2 \) अचर है, एक ज्यामितीय बिंदुपथ को निरूपित करता है।
• यदि अंतर अचर है, तो यह एक सरल रेखा को निरूपित कर सकता है।
• समीकरण \( |z - z_1|^2 - |z - z_2|^2 = c \) कई मामलों में रैखिक रूप में सरलीकृत होता है।
• यहाँ, यह एक सरल रेखा समीकरण में सरलीकृत होता है।

जटिल संख्या:

• परिभाषा: एक जटिल संख्या \( z = x + iy \) के रूप की होती है, जहाँ \( x \) वास्तविक भाग है और \( y \) काल्पनिक भाग है।
• SI इकाई: विमाहीन
• मापांक: \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \)

जटिल समतल में दूरी:

• परिभाषा: दो जटिल संख्याओं \( z_1 \) और \( z_2 \) के बीच की दूरी \( |z_1 - z_2| \) है।
• सूत्र: \( |z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \)

गणना:

दिया गया है,

\( z_1 = 2 + 3i,\quad z_2 = 3 + 4i \)

\( z \in \mathbb{C} \) ऐसा है कि \( |z - z_1|^2 - |z - z_2|^2 = |z_1 - z_2|^2 \)

मान लीजिये \( z = x + iy \)

⇒ \( |z - z_1|^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 \)

⇒ \( |z - z_2|^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 \)

⇒ \( |z_1 - z_2|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2 \)

⇒ \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 - (x - 3)^2 - (y - 4)^2 = 2 \)

⇒ \( [x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9] - [x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16] = 2 \)

⇒ \( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 - x^2 + 6x - 9 - y^2 + 8y - 16 = 2 \)

⇒ \( 2x + 2y - 12 = 2 \)

⇒ \( 2x + 2y = 14 \Rightarrow x + y = 7 \)

⇒ रेखा का समीकरण: \( x + y = 7 \)

⇒ x-अंतःखंड = 7 (जब y = 0), y-अंतःखंड = 7 (जब x = 0)

∴ बिंदुपथ एक सरल रेखा को निरूपित करता है जिसके अंतःखंडों का योग = 14 है।

व्याख्या:

\(\rm \frac{1}{2}+Re\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right) = \frac{1}{2}+ Re (\frac{\omega }{\omega^2})\)

= \(\frac{1}{2}Re(\omega)^2\)

= \(\frac{1}{2}+ Re [ -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}i\)

= \(\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = 0\)

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

\(\rm Z_1^2+Z_2^2+Z_1Z_2=0\)

⇒ Z ₁ = ω और Z ₂ = ω ²

अब

⇒ \(|\frac{Z_1}{Z_2}| =| \frac{\omega }{(\omega)^2}| =|\frac{1}{\omega}| = 1\)

विकल्प (a) सही है।

संकल्पना:

i² = -1

i³ = - i

i⁴ = 1

i⁴ⁿ = 1

गणना:

हमें (i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) का मान ज्ञात करना है

(i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) = (i² + i⁴) + (i⁶ + i⁸) + …. + (i^2n-2 + i²ⁿ)

= (-1 + 1) + (-1 + 1) + …. (-1 + 1)

= 0 + 0 + …. + 0

= 0

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता। 

दो सम्मिश्र संख्याएँ z₁ = x₁ + iy₁ और z₂ = x₂ + iy₂ बराबर होते हैं यदि केवल x₁ = x₂ और y₁ = y₂ होते हैं।

या Re (z₁) = Re (z₂) और Im (z₁) = Im (z₂).

गणना:

दिया गया है: (1 + i) (x + iy) = 2 + 4i

⇒ x + iy + ix + i²y = 2 + 4i

⇒ (x – y) + i(x + y) = 2 + 4i

वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,

x - y = 2         …. (1)

x + y = 4        …. (2)

समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 3

अब,

5x = 5 × 3 = 15

संकल्पना:

z का मापांक = |z| = \(\rm \sqrt {x^2+y^2} = \sqrt {Re (z)^2+Im (z)^2}\)

गणना:

माना कि \(\rm z= x + iy = \dfrac{4+2i}{1-2i}\)

\(\rm = \dfrac{4+2i}{1-2i}\times\dfrac{1+2i}{1+2i}\)

\(\rm= \dfrac{4+10i+4i^2}{1-4i^2}\)   

चूँकि हम जानते हैं i2 = -1

\(\rm = \dfrac{4+10i-4}{1+4}\)

\(\rm x + iy =\dfrac{10i}{5} = 0 + 2i\)

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को |z| = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = \(\rm \sqrt{0^2+2^2} = 2\)

संकल्पना:

माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।
• z का संयुग्म = x – iy

गणना:

माना z = (i - i2)3

⇒ z = i3 (1 - i) 3  = - i (1 - i)³

संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।

⇒ z̅  =  -(- i) (1 - (- i))³

⇒ z̅  =  i(1 + i)³

(a + b) 3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 का उपयोग करना

⇒ z̅  =  i(1 + i3 +3 ×12 × i + 3 × i2 × 1 ) 

⇒ z̅  =  i(1 - i + 3i - 3) 

⇒ z̅  =  i(-2 + 2i)

⇒ z̅  = -2i + 2i2

⇒ z̅  = -2 - 2 i

इसलिए,  (i - i2)3 का संयुग्म -2 - 2i है

संकल्पना:

माना कि z = x + iy सम्मिश्र संख्या है। 

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• z का संयुग्म = z̅ = x – iy

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या z = \(\rm 3i+4\over2-3i\) है। 

z = \(\rm {3i+4\over2-3i}\times{2+3i\over2+3i}\)

z = \(\rm 6i+8-9+12i\over2^2-(3i)^2\)

z = \(\rm 18i-1\over13\)

z = \(\rm {-1\over13}+{18\over13}i\)

z का संयुग्म = (z̅) = \(\rm {-1\over13}-{18\over13}i\)

अवधारणा;

एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy का मापांक इसके द्वारा दिया गया है:

|z| = \(\rm \sqrt{x^2 + y^2}\)

(a + b)(a - b) = a2 - b2

गणना:

यदि z = \(\rm \frac{z_1}{z_2}\) तो |z| का मापांक | = \(\rm \frac{|z_1|}{|z_2|}\)

z = \(\rm \frac {1+i}{1+\sqrt3 i}\)

|z| = \(\rm \frac {\sqrt {(1)^2 + (1)^2}}{\sqrt {(1)^2 + (\sqrt 3)^2}} = \frac{\sqrt 2}{2} = \frac {1}{\sqrt 2}\)

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता:

दो सम्मिश्र संख्याएँ z1 = x1 + iy1 और z2 = x2 + iy2 केवल तब बराबर होते हैं यदि x1 = x2 और y1 = y2  होता है। 

"या" 

Re (z1) = Re (z2) और Im (z1) = Im (z2).

गणना:

दिया गया है:

(2 - i) (x - iy) = 3 + 4i

⇒ 2x - 2iy - ix + i2y = 3 + 4i

⇒ 2x - 2iy - ix - y = 3 + 4i                 (∵ i² = -1)

⇒ (2x – y) + i(-x - 2y) = 3 + 4i

वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,

2x - y = 3      ----(1)

-x - 2y = 4       ----(2)

समीकरण 1 और 2 को हल करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = \(\frac 2 5\) और y = \(\frac {-11}{5}\)

Now, the value of 5x can be calculated as:

5x = 5 × \(\frac 2 5\) = 2

अवधारणा:

z = x + iy

arg (z) = arg (x + iy) = tan^-1(y/x)

इसलिए, तर्क θ को इस प्रकार दर्शाया गया है:

θ = tan^-1 (y/x)

tan( \(\rm \frac{\pi}{2}\)) = अनंत

आयोटा की घात, i² = -1

गणना:

माना कि z  = \(\rm \left ( \frac{i}{5} + \frac{5}{i} \right )\)

z = \(\rm \frac{i}{5} + \frac{5i}{i^{^{2}}}\)

z = \(\rm \frac{i}{5} - 5i\) = \(\rm \frac{-24}{5}\)i

इसलिए, arg (z) = tan^-1 \(\rm \left ( \frac{-24/5}{0} \right )\)

= - tan-1 \(\infty\) = -\(\rm \frac{\pi}{2}\)

Mistake Pointsविकल्प (3) यहाँ गलत है क्योंकि यहाँ चतुर्थांश भी महत्वपूर्ण है। जटिल तल में, यह ऋणात्मक काल्पनिक अक्ष पर स्थित होता है। चूँकि धनात्मक वास्तविक अक्ष से वामावर्त गति ऋणात्मक है, तर्क का सही मान  -π/2 होगा

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को सम्मिश्र संख्या या Re (z) का वास्तविक भाग कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या या Im (z) का काल्पनिक भाग कहा जाता है। 

z का मापांक​ = |z| = \(\rm \sqrt {x^2+y^2} = \sqrt {Re (z)^2+Im (z)^2}\)

गणना:

माना कि \(\rm z = x+iy =\left(\frac{1+i}{1-i} - \frac{1-i}{1+i}\right)\)

\(\rm =\frac{(1+i)^2-(1-i)^2}{1^2-i^2}\\=\frac{1+2i+i^2-1+2i-i^2}{1+1}\\=\frac{4i}{2}=2i\)

z = x + iy = 0 + 2i

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को, |z| = \(\rm \sqrt{x^2 + y^2}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = \(\rm \sqrt{0^2+2^2} = 2\)

गणना:

माना कि z = \(\rm {1 + i\over1- i}\) है। 

अंश और हर दोनों को 1 + i  से गुणा करने पर 

z = \(\rm {1 + i\over1- i}\times{1 + i\over1+ i}\)

z = \(\rm (1+i)^2\over1^2-i^2\)

z = \(\rm 1+2i+i^2\over1+1\)

z = \(\rm 2i\over2\)= i