Polar form of Complex Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Polar form of Complex Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

i की घात,

किसी भी पूर्णांक k के लिए, i4k + 1 = i

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1

z का ध्रुवीय रूप = r(cos θ + i sinθ) 

जहाँ r = $\sqrt{a^2+b^2}$ ,rcosθ = a और rsinθ = b

cos$\frac{\pi }{2}$ = 0

sin $\frac{3\pi }{2}$ = -1

गणना:

मान लीजिए z = (i²¹)3 = (i)⁶³ = i4 x 15 + 3 = (i4)15 i³ = i³ = -i

ऊपर दी गई अवधारणा से r = 1 और cosθ = 0 और sinθ = -1

⇒ z = cos$\frac{\pi }{2}$ + i sin $\frac{3\pi }{2}$ = cos$\frac{\pi }{2}$ - i sin $\frac{\pi }{2}$

∴ विकल्प 1 सही है। 

व्याख्या:

प्रथम चतुर्थांश के लिए :  x > 0, y > 0 और 0 < θ < π/2

द्वितीय चतुर्थांश के लिए: x < 0, y > 0 और π/2 < θ < π

तृतीय चतुर्थांश के लिए : x < 0, y < 0 और π < θ < 3π/2

चतुर्थ चतुर्थांश के लिए : x > 0, y < 0 और 3π/2 < θ < 2π

अवधारणा:

i का घात,

किसी भी पूर्णांक के लिए, i^{4k + 1}  = i

cos$\frac{\pi }{2}$  = 0

sin $\frac{\pi }{2}$ = 1

गणना:

माना कि z = (i¹⁵)³ = (i)⁴⁵ = i^{4 × 11 + 1} = (i⁴)¹¹ i = i = 0 + i

of z का ध्रुवीय रूप = r(cos θ + i sinθ)

z = 1{ cos($\frac{\pi }{2}$) + i sin ($\frac{\pi }{2}$) } = cos$\frac{\pi }{2}$ + i sin $\frac{\pi }{2}$

अवधारणा:

जब z = x + iy तब एक सम्मिश्र संख्या का प्रमुख आयाम θ = tan-1($\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$)

tan $\frac{\pi }{6}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

x > 0, y < 0, IVवें चतुर्थांश में बिंदु निहित है।

गणना:

मान लीजिए θ, $\sqrt{3}$ - i के आयाम का प्रमुख मान है

के बाद से, tan θ = $\frac{-1}{\sqrt{3}}$ और $\sqrt{3}$ - i IVवें चतुर्थांश में बिंदु निहित है।

tan θ = tan (-$\frac{\pi }{6}$), θ = -$\frac{\pi }{6}$

संकल्पना:

माना कि बिंदु P गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या z = x + iy को दर्शाती है। 

यहाँ $r=\sqrt{x^2+y^2}=\left|z\right|$ दिए गए सम्मिश्र संख्या का मापांक कहलाता है। 

Z के तर्क को केवल धनात्मक x - अक्ष से मापा जाता है। 

माना कि बिंदु P गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या z = x + iy को दर्शाती है। 

यहाँ $r=\sqrt{x^2+y^2}=\left|z\right|$ दिए गए सम्मिश्र संख्या का मापांक कहलाता है। 

Z के तर्क को केवल धनात्मक x - अक्ष से मापा जाता है।

माना कि z = r (cosθ + i sinθ) किसी सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है, तो निम्नलिखित तरीकों का प्रयोग अलग-अलग चतुर्थांशों के लिए θ लिखते समय किया जाता है –

पहले चतुर्थांश के लिए, $\theta ={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

दूसरे चतुर्थांश के लिए $\theta =\pi -{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

तीसरे चतुर्थांश के लिए $\theta =-\pi +{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

चौथे चतुर्थांश के लिए, $\theta =-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या $Z=-2-i2\sqrt{3}$  है। 

rcosθ = - 2, $rsin\theta =-2\sqrt{3}$

वर्ग करने और जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है –

${\mathrm{r}}^2\left(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\theta +\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta \right)=4+12$

∴ r = 4

$\Rightarrow cos\theta =\frac{-2}{r}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}andsin\theta =\frac{-2\sqrt{3}}{r}=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

चूँकि यह तीसरे चतुर्थांश में है, इसलिए $\theta =-\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}$ हैं। 

इसलिए, z = r (cosθ + i sinθ) के साथ तुलना करने पर, हमें इसे$4\left(\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+isin\left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right)i.e.4\left(\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)-isin\left(\frac{2\pi }{3}\right)\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।

सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × |z|2

गणना:

सम्मिश्र तल पर तीन बिंदु z, z + iz और iz।

सम्मिश्र तल पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 50

⇒ 50 = (1/2) × |z|2

⇒ 100 = |z|2

⇒ |z| = 10

संकल्पना:

यदि बिंदु P गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या z = x + iy को दर्शाती है। 

यहाँ $r=\sqrt{x^2+y^2}=\left|z\right|$ दिए गए सम्मिश्र संख्या का मापांक कहलाता है। 

Z के तर्क को केवल धनात्मक x - अक्ष से मापा जाता है। 

माना कि z = r (cos θ + i sin θ) किसी सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है, तो निम्नलिखित तरीकों का प्रयोग अलग-अलग चतुर्थांशों के लिए θ लिखते समय किया जाता है। 

पहले चतुर्थांश के लिए, $\theta ={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

दूसरे चतुर्थांश के लिए $\theta =\pi -{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

तीसरे चतुर्थांश के लिए $\theta =-\pi +{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

चौथे चतुर्थांश के लिए $\theta =-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

सूचना: ध्रुवीय रूप z = r (cosθ + i sinθ) को r.cosθ के रूप में संक्षिप्त किया गया है। 

गणना:

दिया गया है $Z=-\sqrt{3}+i$

∴ $x=-\sqrt{3},y=1$

⇒ $r=\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(1\right)}^2}=2$

$tan\theta =-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \theta ={\tan }^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $-{\tan }^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$ = $-\frac{\pi }{6}$

यहाँ संदर्भ कोण और θ के लिए कोण 30° है। चूँकि सम्मिश्र संख्या दूसरे चतुर्थांश में है -

$\therefore \theta =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$

$\therefore Z=-\sqrt{3}+i$

= $2{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}5\pi }{6}}$

अवधारणा:

i का घात,

किसी भी पूर्णांक के लिए, i^{4k + 1}  = i

cos$\frac{\pi }{2}$  = 0

sin $\frac{\pi }{2}$ = 1

गणना:

माना कि z = (i¹⁵)³ = (i)⁴⁵ = i^{4 × 11 + 1} = (i⁴)¹¹ i = i = 0 + i

of z का ध्रुवीय रूप = r(cos θ + i sinθ)

z = 1{ cos($\frac{\pi }{2}$) + i sin ($\frac{\pi }{2}$) } = cos$\frac{\pi }{2}$ + i sin $\frac{\pi }{2}$

अवधारणा:

जब z = x + iy तब एक सम्मिश्र संख्या का प्रमुख आयाम θ = tan-1($\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$)

tan $\frac{\pi }{6}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

x > 0, y < 0, IVवें चतुर्थांश में बिंदु निहित है।

गणना:

मान लीजिए θ, $\sqrt{3}$ - i के आयाम का प्रमुख मान है

के बाद से, tan θ = $\frac{-1}{\sqrt{3}}$ और $\sqrt{3}$ - i IVवें चतुर्थांश में बिंदु निहित है।

tan θ = tan (-$\frac{\pi }{6}$), θ = -$\frac{\pi }{6}$

संकल्पना:

बिंदु P वास्तविक संख्या (r, θ) के क्रमबद्ध युग्म द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, जिसे बिंदु P का ध्रुवीय निर्देशांक कहा जाता है। 

यदि बिंदु P गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या z = x + iy को दर्शाती है।

यहाँ $r=\sqrt{x^2+y^2}=\left|z\right|$  दिए गए सम्मिश्र संख्या का मापांक कहलाता है। 

Z के तर्क को केवल धनात्मक x - अक्ष से मापा जाता है। 

माना कि z = r (cos θ + i sin θ) किसी सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है, तो निम्नलिखित तरीकों का प्रयोग अलग-अलग चतुर्थांशों के लिए θ लिखते समय किया जाता है –

पहले चतुर्थांश के लिए, $\theta ={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

दूसरे चतुर्थांश के लिए $\theta =\pi -{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

तीसरे चतुर्थांश के लिए $\theta =-\pi +{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

चौथे चतुर्थांश के लिए $\theta =-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

गणना:

दिया गया है कि $\left|z\right|=\sqrt{2}$ और x अक्ष के साथ कोण 45° है। 

चूँकि यह तीसरे चतुर्थांश में हैं -

∴ $\theta =-\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}$

⇒ [r, θ] = $\left[\sqrt{2},-\frac{3\pi }{4}\right]$

संकल्पना:

माना कि बिंदु P गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या z = x + iy को दर्शाती है। 

यहाँ $r=\sqrt{x^2+y^2}=\left|z\right|$ दिए गए सम्मिश्र संख्या का मापांक कहलाता है। 

Z के तर्क को केवल धनात्मक x - अक्ष से मापा जाता है। 

माना कि z = r (cosθ + i sinθ) किसी सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है, तो निम्नलिखित तरीकों का प्रयोग अलग-अलग चतुर्थांशों के लिए θ लिखते समय किया जाता है। 

पहले चतुर्थांश के लिए, $\theta ={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

दूसरे चतुर्थांश के लिए $\theta =\pi -{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

तीसरे चतुर्थांश के लिए $\theta =-\pi +{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

चौथे चतुर्थांश के लिए $\theta =-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

गणना:

सम्मिश्र तल पर संख्या z = 2i, z = 0 + 2i के समान है। इसे ध्रुवीय रूप में लिखने पर, हमें सर्वप्रथम r की गणना करनी है। 

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2$

$\Rightarrow cos\theta =\frac{x}{r}=\frac{0}{2}=0andsin\theta =\frac{2}{r}=\frac{2}{2}=1\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{2}$

∴ इसलिए, z = r (cosθ + i sinθ) के साथ तुलना करने पर, हम इसे $2\left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+isin\left(\frac{\pi }{2}\right)\right)$ के रूप में लिख सकते हैं। 

गणना:

दिया गया है कि,

∣z − 1∣ = ∣z + i∣

माना x = x + iy

∣x + iy − 1∣ = ∣x + iy + i∣

∣(x − 1) + iy∣ = ∣x + i(y + 1)∣

√(x - 1)2 + y2 = √x2 + (y + 1)2

(x − 1)2 + y2  = x2 + (y + 1)2 

⇒ (x − 1)2 + y2  = x2 + y2 + 1 + 2y 

⇒ x2 + 1 − 2x + y2 = x2 +  y2 + 2y + 1

⇒ − 2x  =  2y

⇒ -2x = 2y

अतः इस प्रकार लिखा जा सकता है 

by + ax = 0    a = 2 b = 2 चूँकि ये स्थिर हैं)

∴यह मूल से गुजरने वाली सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है।

अवधारणा:

सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप, z = r cos θ + i r sin θ 

cos2θ + sin2θ = 1

cos $\frac{\pi }{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

sin $\frac{\pi }{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

गणना:

दिया हुआ

z = 1 + i     ....(1)

मान लीजिए दिए गए समीकरण का ध्रुवीय रूप निम्न है

z = r cos θ + ir sin θ      ....(2)

(1) और (2) की तुलना करके

हम पाते हैं,

1 = r cos θ, 1 = r sin θ

वर्ग करने और जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं

r2(cos2θ + sin2θ) = 2

r2 = 2

r = $\sqrt{2}$

इसलिए, cos θ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , sin θ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ जो θ = $\frac{\pi }{4}$ देता है

इसलिए, आवश्यक ध्रुवीय रूप है z = $\sqrt{2}$ (cos $\frac{\pi }{4}$ + i sin $\frac{\pi }{4}$)

संकल्पना:

माना कि बिंदु P गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या z = x + iy को दर्शाती है। 

यहाँ $r=\sqrt{x^2+y^2}=\left|z\right|$ दिए गए सम्मिश्र संख्या का मापांक कहलाता है। 

Z के तर्क को केवल धनात्मक x - अक्ष से मापा जाता है। 

माना कि z = r (cosθ + i sinθ) किसी सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है, तो निम्नलिखित तरीकों का प्रयोग अलग-अलग चतुर्थांशों के लिए θ लिखते समय किया जाता है–

पहले चतुर्थांश के लिए, $\theta ={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

दूसरे चतुर्थांश के लिए $\theta =\pi -{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

तीसरे चतुर्थांश के लिए $\theta =-\pi +{\tan }^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

चौथे चतुर्थांश के लिए $\theta =-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या Z = -4 + i 4√3 है। 

rcosθ = - 4, rsinθ = 4√3

वर्ग करने और जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

${\mathrm{r}}^2\left(\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\theta +\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\theta \right)=16+48$

∴ r = 8

​​$\Rightarrow cos\theta =\frac{-4}{r}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$ और $sin\theta =\frac{4\sqrt{3}}{r}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

चूँकि यह दूसरे चतुर्थांश में है, इसलिए $\theta =\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ है। 

इसलिए, z = r (cosθ + i sinθ) के साथ तुलना करने पर, हम इसे $8\left(cos\frac{2\pi }{3}+isin\frac{2\pi }{3}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।