De Moivre's Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for De Moivre's Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

मुख्य संप्रत्यय ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को सरल करना है। हम सम्मिश्र संख्या के कोणांक और डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो कहता है:

(r(cosθ + i sinθ))ⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ))

गणना:

⇒ ${\left(\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}\right)}^3$

अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें

⇒ $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}\times \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}+i}$

⇒ $\frac{(\sqrt{3}+i{)}^2}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)}$

$\frac{2+2\sqrt{3}i}{4}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$

ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करें। मापांक r है:

$r=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1$

कोणांक θ है:

$\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right)={\tan }^{-1}(\sqrt{3})=\frac{\pi }{3}$

इसलिए, सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है

$1(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})$

सम्मिश्र संख्या का घन करने के लिए, हम डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं

हमारे मामले में, r = 0 इसलिए,

${(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})}^3=\cos \pi +i\sin \pi =-1+0i=-1$

इस प्रकार, सम्मिश्र  संख्या के घन का परिणाम $\boxed{{\displaystyle -1}}$ है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना

$\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1-2i-1}{1-(-1)}=\frac{-2i}{2}=-i$

$(-i{)}^k=-i$

$-i=\cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)$

डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करने पर:

$(-i{)}^k=\cos \left(\frac{3k\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{3k\pi }{2}\right)$

-i से तुलना करने पर, हमें यह प्राप्त होता है:

$\cos \left(\frac{3k\pi }{2}\right)=0$ and $\sin \left(\frac{3k\pi }{2}\right)=-1$

इसका तात्पर्य है:

$\frac{3k\pi }{2}=(2n+1)\pi -\frac{\pi }{2}$

⇒ $\frac{3k}{2}=2n+1-\frac{1}{2}$

⇒ $\frac{3k}{2}=\frac{4n+1}{2}$

⇒ $3k=4n+1$

⇒ $k=\frac{4n+1}{3}$

k के न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान के लिए, मान लीजिए, n = 0:

$k=\frac{1}{3}$

मान लीजिए,  n = 1:

$k=\frac{5}{3}$

मान लीजिए, n = 2:

$k=\frac{9}{3}=3$

अतः, m = 3.

k के सबसे बड़े ऋणात्मक पूर्णांक मान के लिए, हम ऋणात्मक n के लिए k के मानों का विश्लेषण कर सकते हैं।

n = -1 के लिए:

$k=\frac{-3}{3}=-1$

इसलिए, n = -1 

$m-n=3-(-1)=3+1=4$

प्रयुक्त सूत्र:

1. ऑयलर का सूत्र: $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

2. डी मोइवर का प्रमेय: $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$

3. $\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$ और $\cos \theta =\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$

गणना:

$\frac{(\cos a+i\sin a{)}^6}{(\sin b+i\cos b{)}^8}=\frac{(e^{ia}{)}^6}{(\cos (\frac{\pi }{2}-b)+i\sin (\frac{\pi }{2}-b){)}^8}$

⇒ $=\frac{e^{i6a}}{(e^{i(\frac{\pi }{2}-b)}{)}^8}$

⇒ $=\frac{e^{i6a}}{e^{i(4\pi -8b)}}$

⇒ $=e^{i(6a-4\pi +8b)}$

⇒ $=e^{i(6a+8b)}$ (चूँकि $e^{i(-4\pi )}=\cos (-4\pi )+i\sin (-4\pi )=1$)

⇒ $=\cos (6a+8b)+i\sin (6a+8b)$

⇒ वास्तविक भाग = $\cos (6a+8b)$

∴ दिए गए व्यंजक का वास्तविक भाग $\cos (6a+8b)$ है।

अतः विकल्प 4 सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ: z = |z|(cos(θ) + i sin(θ))

डी मोइवर का प्रमेय: (cos(θ) + i sin(θ))^n = cos(nθ) + i sin(nθ)

गणना

दिया गया है:

|x| = |y| = 1

Arg(x) = 2α

Arg(y) = 3β

α + β = π/36

$x=\cos (2\alpha )+i\sin (2\alpha )$

$y=\cos (3\beta )+i\sin (3\beta )$

$x^6{y}^4=(\cos (2\alpha )+i\sin (2\alpha ){)}^6(\cos (3\beta )+i\sin (3\beta ){)}^4$

⇒ $x^6{y}^4=(\cos (12\alpha )+i\sin (12\alpha ))(\cos (12\beta )+i\sin (12\beta ))$

⇒ $x^6{y}^4=\cos (12\alpha +12\beta )+i\sin (12\alpha +12\beta )$

⇒ $x^6{y}^4=\cos (12(\alpha +\beta ))+i\sin (12(\alpha +\beta ))$

⇒ $x^6{y}^4=\cos (12\times \frac{\pi }{36})+i\sin (12\times \frac{\pi }{36})$

⇒ $x^6{y}^4=\cos (\frac{\pi }{3})+i\sin (\frac{\pi }{3})$

⇒ $x^6{y}^4=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{x^6{y}^4}=\frac{1}{\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}$

⇒ $\frac{1}{x^6{y}^4}=\frac{\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}{(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})}$

⇒ $\frac{1}{x^6{y}^4}=\frac{\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$

⇒ $\frac{1}{x^6{y}^4}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x^6{y}^4+\frac{1}{x^6{y}^4}=(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})+(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})$

⇒ $x^6{y}^4+\frac{1}{x^6{y}^4}=1$

अतः विकल्प 3 सही है। 

संकल्पना:

डी मोइवर सूत्र:

यदि z = re^iθ = r(cos θ + i sin θ) है, तब zⁿ = rⁿe^inθ(cos nθ + i sin nθ)

गणना:

दिया गया है, z = $(\frac{\surd 3}{2}+\frac{i}{2}{)}^5+(\frac{\surd 3}{2}-\frac{i}{2}{)}^5$

⇒ z = ${(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})}^5+{(\cos \frac{-\pi }{6}+i\sin \frac{-\pi }{6})}^5$

⇒ z = ${\left(e^{i\frac{\pi }{6}}\right)}^5+{\left(e^{i\frac{-\pi }{6}}\right)}^5$

⇒ z = $\left(e^{i\frac{5\pi }{6}}\right)+\left(e^{i\frac{-5\pi }{6}}\right)$

⇒ z = $(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})+(\cos \frac{-5\pi }{6}+i\sin \frac{-5\pi }{6})$

⇒ z = $(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})+(\cos \frac{5\pi }{6}-i\sin \frac{5\pi }{6})$

⇒ z = $[\cos (\pi -\frac{5\pi }{6})+i\sin (\pi -\frac{5\pi }{6})]+[\cos (\pi -\frac{5\pi }{6})-i\sin (\pi -\frac{5\pi }{6})]$

⇒ z = $(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})+(\cos \frac{\pi }{6}-i\sin \frac{\pi }{6})$

⇒ z = 2 cos $\frac{\pi }{6}$ = √3

∴ Im (z) = 0

अवधारणा:

यूलर का सूत्र:

एक सम्मिश्र संख्या z = cos θ + i sin θ को eiθ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

गणना:

यूलर के सूत्र से हम जानते हैं कि:

$\frac{\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta }{\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta }=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}$ = e2iθ = cos 2θ + i sin 2θ

धारणा:

1. सम्मिश्र संख्याओं पर यूलर का सूत्र:

• e^ix = cos x + i sin x
• e^-ix = cos x - i sin x

2. त्रिकोणमिति सूत्र:

• 1 – cos θ = 2 sin² (θ/2)
• sin θ = 2 sin (θ/2) cos (θ/2

गणना:

हमें ${\left[\frac{\sin \frac{\pi }{6}+\mathrm{i}\left(1-\cos \frac{\pi }{6}\right)}{\sin \frac{\pi }{6}-\mathrm{i}\left(1-\cos \frac{\pi }{6}\right)}\right]}^3$का मूल्य खोजना होगा

$\Rightarrow {\left[\frac{\sin \frac{\pi }{6}+\mathrm{i}\left(1-\cos \frac{\pi }{6}\right)}{\sin \frac{\pi }{6}-\mathrm{i}\left(1-\cos \frac{\pi }{6}\right)}\right]}^3={\left[\frac{2\times \sin \frac{\pi }{12}\times \cos \frac{\pi }{12}+\mathrm{i}\left(2{\sin }^2\frac{\pi }{12}\right)}{2\times \sin \frac{\pi }{12}\times \cos \frac{\pi }{12}-\mathrm{i}\left(2{\sin }^2\frac{\pi }{12}\right)}\right]}^3$

$={\left[\frac{2\times \sin \frac{\pi }{12}\times \left(\cos \frac{\pi }{12}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{12}\right)}{2\times \sin \frac{\pi }{12}\times \left(\cos \frac{\pi }{12}-\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{12}\right)}\right]}^3$

$={\left[\frac{\left(\cos \frac{\pi }{12}+\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{12}\right)}{\left(\cos \frac{\pi }{12}-\mathrm{i}\sin \frac{\pi }{12}\right)}\right]}^3$                          (∵e^ix = cos x + i sin x और e^-ix = cos x - i sin x)

$={\left[\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{12}}}{{\mathrm{e}}^{\frac{-\mathrm{i}\pi }{12}}}\right]}^3={\left[{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{12}}\times {\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{12}}\right]}^3={\left[{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{6}}\right]}^3={\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{2}}$

= cos (π/2) + i sin (π/2) = 0 + i = i

संकल्पना:

$e^{i\cdot \theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

गणना:

दिया गया है: 

x = (cos π/14 + i sin π/14), y = (cos 9π/14 + i sin 9π/14)

चूँकि हम जानते हैं कि, 

$e^{i\cdot \theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ 

हम x और y को निम्न रूप में लिख सकते हैं:

⇒ x = e^{i ⋅ π/14} और y = e^{i ⋅ 9π/14}

⇒ x⁵ = e^{i ⋅ 5π/14} और y¹⁵ = e^{i ⋅ 135π/14}

⇒  x5 ⋅ y¹⁵ = e^{i ⋅ 10π} 

संकल्पना:

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

गणना:

दिया गया है: x =  (cos π/9 + i sin π/9 )18 और y = (cos π/16 + i sin π/16 )⁸

चूँकि हम जानते हैं कि, $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

⇒ y = (cos π/16 + i sin π/16 )8 = [ei ⋅ π/16]8 = ei ⋅ π/2

⇒ ei ⋅ π/2 = cos π/2 + i sin π/2 = i

⇒ y = i 

इसलिए, y^-2 = - 1 --------(1)

उसीप्रकार,

चूँकि हम जानते हैं कि, $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

⇒ x = (cos π/9 + i sin π/9 )18 = [ei ⋅ π/9]18 = ei ⋅ 2π

⇒ ei ⋅ 2π = cos 2π + i sin 2π = 1

⇒ x = 1---------(2)

(1) और (2) से, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ x ⋅ y^-2 = - 1

संकल्पना:

$e^{i\cdot \theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

गणना:

चूँकि हम जानते हैं कि, 

$e^{i\cdot \theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

⇒ (cos π/9 + i sin π/9 )18 

= [e^i ⋅ π/9]¹⁸ = e^{i ⋅ 2π}

⇒ e^{i ⋅ 2π} 

= cos 2π + i sin 2π = 1

संकल्पना:

$e^{i\cdot \theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

गणना:

चूँकि हम जानते हैं कि, $e^{i\cdot \theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

⇒ (cos π/16 + i sin π/16 )8 = [e^{i ⋅ π/16}]⁸ = e^{i ⋅ π/2}

⇒ e^{i ⋅ π/2} = cos π/2 + i sin π/2 = i

संकल्पना:

एक सम्मिश्र संख्या के मापांक और तर्क के बीच का संबंध:

किसी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए यदि मापांक $|z|$  दिया गया है और तर्क $\theta$  है, तो निम्नलिखित संबंध सदैव सत्य होता है:

$z=|z|e^{i\theta }$

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

गणना:

माना कि दी गयी सम्मिश्र संख्या $z$  है, तो हमारे पास $|z|=4$ है और $z={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ है। 

इसलिए, $\theta ={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.

अब उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करने पर,

$\begin{array}{rl}z& =|z|e^{i\theta }\\ & =4\left(e^{i\frac{5\pi }{6}}\right)\\ & =4(\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+i\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}})\\ & =4(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+i{\displaystyle \frac{1}{2}})\\ & =-2\sqrt{3}+2i\end{array}$

अतः आवश्यक सम्मिश्र संख्या $z=-2\sqrt{3}+2i$ है।

संकल्पना:

माना कि z = x + iy कोई भी सम्मिश्र संख्या है तो उसका ध्रुवीय रूप $\mathrm{z}=\mathrm{r}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )$ है, जहाँ r = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$ और $\theta =\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}({\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}})$

डी मॉयवर का प्रमेय

दिया गया है कि कोई भी सम्मिश्र संख्या θ + i sin θ और कोई भी पूर्णांक n,

(cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ

गणना:

$(1+\mathrm{i}\sqrt{3}{)}^{\mathrm{n}}+(1-\mathrm{i}\sqrt{3}{)}^{\mathrm{n}}$ खोजने के लिए

सबसे पहले सम्मिश्र संख्याएँ $(1+\mathrm{i}\sqrt{3})$ और $(1-\mathrm{i}\sqrt{3})$ को ध्रुवीय रूप में लिखें और डी मॉयवर प्रमेय लागू करें।

माना कि z = x + iy कोई भी सम्मिश्र संख्या है तो उसका ध्रुवीय रूप $\mathrm{z}=\mathrm{r}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )$ है, जहाँ r = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$ और $\theta =\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}({\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}})$

$(1+\mathrm{i}\sqrt{3})$ का ध्रुवीय रूप $2(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$ है

$(1-\mathrm{i}\sqrt{3})$ का ध्रुवीय रूप $2(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$ है$(1+i\sqrt{3}{)}^n+(1-i\sqrt{3}{)}^n$ पर विचार करें

= $[2(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}){]}^{\mathrm{n}}$+ $[2(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}){]}^{\mathrm{n}}$

डी मॉयवर के प्रमेय को लागू करें

दिया गया है कि कोई भी सम्मिश्र संख्या θ + i sin θ और कोई भी पूर्णांक n,

(cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ

= $2^{\mathrm{n}}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\mathrm{n}\pi }{3}}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\displaystyle \frac{\mathrm{n}\pi }{3}})$ + $2^{\mathrm{n}}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\mathrm{n}\pi }{3}}-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\displaystyle \frac{\mathrm{n}\pi }{3}})$

= $2^{\mathrm{n}+1}\cos {\displaystyle \frac{\mathrm{n}\pi }{3}}$

इसलिए $(1+i\sqrt{3}{)}^n+(1-i\sqrt{3}{)}^n$= $2^{\mathrm{n}+1}\cos {\displaystyle \frac{\mathrm{n}\pi }{3}}$

संकल्पना:

$e^{i\cdot \theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

गणना:

दिए गए समीकरण:${\left(\frac{\surd 2+i\surd 2}{2}\right)}^{64}$ को निम्न रूप में पुनः लिखा जा सकता है 

 =  $(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i{)}^{64}$

 = $(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i{)}^{64}$

चूँकि हम जानते हैं कि sin π/4 = 1/√2 = cos π/4

इसलिए, हम दिए गए समीकरण${\left(\frac{\surd 2+i\surd 2}{2}\right)}^{64}$को निम्न रूप में लिख सकते हैं

 = (cos π/4 + i sin π/4)⁶⁴

चूँकि हम जानते हैं कि, $e^{i\cdot \theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

⇒ (cos π/4 + i sin π/4)⁶⁴ = (e^i ⋅ π/4 )⁶⁴

⇒ (cos π/4 + i sin π/4)64 = ei ⋅ 16π

संकल्पना:

डी मोइवर सूत्र:

यदि z = re^iθ = r(cos θ + i sin θ) है, तब zⁿ = rⁿe^inθ(cos nθ + i sin nθ)

गणना:

दिया गया है, z = $(\frac{\surd 3}{2}+\frac{i}{2}{)}^5+(\frac{\surd 3}{2}-\frac{i}{2}{)}^5$

⇒ z = ${(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})}^5+{(\cos \frac{-\pi }{6}+i\sin \frac{-\pi }{6})}^5$

⇒ z = ${\left(e^{i\frac{\pi }{6}}\right)}^5+{\left(e^{i\frac{-\pi }{6}}\right)}^5$

⇒ z = $\left(e^{i\frac{5\pi }{6}}\right)+\left(e^{i\frac{-5\pi }{6}}\right)$

⇒ z = $(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})+(\cos \frac{-5\pi }{6}+i\sin \frac{-5\pi }{6})$

⇒ z = $(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})+(\cos \frac{5\pi }{6}-i\sin \frac{5\pi }{6})$

⇒ z = $[\cos (\pi -\frac{5\pi }{6})+i\sin (\pi -\frac{5\pi }{6})]+[\cos (\pi -\frac{5\pi }{6})-i\sin (\pi -\frac{5\pi }{6})]$

⇒ z = $(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})+(\cos \frac{\pi }{6}-i\sin \frac{\pi }{6})$

⇒ z = 2 cos $\frac{\pi }{6}$ = √3

∴ Im (z) = 0