Laminar Flow MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Laminar Flow - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्थिर समानांतर पट्टिकाओं में स्तरीय प्रवाह के माध्यम से वेग वितरण इस प्रकार दिया जाता है:

\(u = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{ - \partial P}}{{\partial x}}} \right)(dy - {y^2})\)

अब

\(\frac{{du}}{{dy}} = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{ - \partial P}}{{\partial x}}} \right)\left( {d - 2y} \right)\)

अपरूपण प्रतिबल वितरण, τ द्वारा दिया जाता है:

\(\tau = \frac{{\mu \;du}}{{dy}}\)

\(\tau = \frac{1}{2}\left( {\frac{{ - \partial P}}{{\partial x}}} \right)\left( {d - 2y} \right)\)

उपरोक्त से, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

1. अपरूपण प्रतिबल वितरण, 'τ' रैखीय है।

2. y = d/2 अर्थात मध्य बिंदु पर; τ = 0 अर्थात केंद्र पर अपरूपण प्रतिबल = 0

3. y = 0 पर अर्थात परिसीमा पर; \(\tau = {\tau _{max}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{ - \partial P}}{{\partial x}}} \right)\left( d \right)\) अर्थात परिसीमा पर अपरूपण प्रतिबल अधिकतम होता है।

∴ अपरूपण प्रतिबल पट्टिका की परिसीमाओं पर अधिकतम होता है और प्रत्येक पट्टिका से \(\frac{d}{2}\) दूर तल पर शून्य होता है।

व्याख्या:

श्यानता:

श्यानता वह भौतिक गुण है जो साधारण तरल पदार्थों के प्रवाह प्रतिरोध को दर्शाता है।

न्यूटन का श्यानता नियम परिभाषित करता है कि आसन्न द्रव परतों के बीच अपरूपण प्रतिबल, दो परतों के बीच वेग प्रवणताओं के समानुपाती होता है।

अपरूपण प्रतिबल का अपरूपण दर से अनुपात, दिए गए तापमान और दाब के लिए एक स्थिरांक होता है, और इसे श्यानता या श्यानता गुणांक के रूप में परिभाषित किया जाता है।

अपरूपण प्रतिबल द्रव की दो परतों के बीच समानुपाती होता है स्थिर बिंदु से लंबवत दूरी के सापेक्ष वेग परिवर्तन की दर (वेग प्रवणता)

\({\rm{\tau \;\propto \;}}\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dy}}}}\)

\({\rm{\tau }} = {\rm{\mu \;}}\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dy}}}}\)

\({\rm{\mu }} = \frac{{\rm{\tau }}}{{\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dy}}}}}}{\rm{\;}}\)

जहाँ, τ = अपरूपण प्रतिबल और \(\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dy}}}}\) = वेग प्रवणता।

व्याख्या:

दो निकट समानांतर गतिमान नावों के बीच आकर्षण

यह घटना जहाँ दो निकट समानांतर गतिमान नावें एक-दूसरे की ओर आकर्षण का अनुभव करती हैं, बर्नोली के समीकरण का उपयोग करके समझाई जा सकती है। यह सिद्धांत द्रव गतिकी में निहित है और द्रव प्रवाह के व्यवहार का वर्णन करता है।

• बर्नोली का सिद्धांत: यह बताता है कि द्रव की गति में वृद्धि एक साथ दबाव में कमी या द्रव की स्थितिज ऊर्जा में कमी के साथ होती है।

• नावों पर अनुप्रयोग: जब दो नावें एक-दूसरे के समानांतर चलती हैं, तो नावों के बीच पानी का प्रवाह तेज हो जाता है, जिससे उनके बीच दबाव कम हो जाता है।

• परिणामी आकर्षण: नावों के बाहरी हिस्सों की तुलना में नावों के बीच कम दबाव एक शुद्ध बल बनाता है जो नावों को एक-दूसरे की ओर खींचता है।

दिए गए विकल्पों का विश्लेषण

1. मैकाले का समीकरण (गलत)

   • मैकाले के समीकरण का उपयोग संरचनात्मक विश्लेषण में बीम में विक्षेपण और आघूर्ण निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जो गतिमान नावों के द्रव गतिकी से असंबंधित है।

2. ऑयलर का समीकरण (गलत)

   • ऑयलर का समीकरण द्रव की गति का वर्णन करता है, लेकिन यह विशेष रूप से दो समानांतर गतिमान नावों के संदर्भ में द्रव गति के कारण दबाव परिवर्तनों की व्याख्या नहीं करता है।

3. बर्नोली का समीकरण (सही)

   • बर्नोली का समीकरण सीधे द्रव की गति को दबाव से संबंधित करता है, जो नावों के बीच तेज पानी के प्रवाह के कारण कम दबाव पैदा करने वाले आकर्षण की व्याख्या करता है।

4. संवेग समीकरण (गलत)

   • संवेग समीकरण द्रव प्रवाह में संवेग के संरक्षण से संबंधित है, लेकिन यह विशेष रूप से दबाव भिन्नताओं का वर्णन नहीं करता है जिससे नावें एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं।

व्याख्या:

प्रतिलम्ब प्रवाह (Laminar flow) को श्यान प्रवाह के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि इस प्रकार के प्रवाह में:

• द्रव कण बिना मिश्रित हुए समानांतर परतों में गति करते हैं।
• कोई अशांति नहीं होती है, और प्रवाह चिकना और व्यवस्थित होता है।
• श्यान बल जड़त्वीय बलों पर हावी होते हैं, जिसका अर्थ है कि द्रव घर्षण (श्यानता) द्रव की गति को निर्धारित करने में एक प्रमुख भूमिका निभाता है।

द्रव प्रवाह के छह प्रकार हैं:

संप्रत्यय:

• रेनॉल्ड्स संख्या (Re): यह एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग द्रव के प्रवाह के प्रकार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है: \(Re = \frac{ρ v D}{η}\), जहाँ:
  • ρ : द्रव का घनत्व
  • v : द्रव का वेग
  • D : अभिलाक्षणिक आयाम (जैसे, पाइप का व्यास)
  • η : श्यानता गुणांक
• रेनॉल्ड्स संख्या का मान घटता है यदि:
  • v (वेग) घटता है
  • ρ (घनत्व) घटता है
  • η (श्यानता) बढ़ती है

व्याख्या:

• विकल्प 1: वेग कम है - सही, क्योंकि रेनॉल्ड्स संख्या वेग के समानुपाती है।
• विकल्प 2: घनत्व कम है - सही, क्योंकि रेनॉल्ड्स संख्या घनत्व के समानुपाती है।
• विकल्प 3: श्यानता गुणांक उच्च है - सही, क्योंकि रेनॉल्ड्स संख्या श्यानता के व्युत्क्रमानुपाती है।
• विकल्प 4: उपरोक्त में से एक से अधिक - सही, क्योंकि विकल्प 1, 2 और 3 सभी रेनॉल्ड्स संख्या को कम करते हैं।
• विकल्प 5: उपरोक्त में से कोई नहीं - गलत, क्योंकि कई विकल्प रेनॉल्ड्स संख्या को प्रभावित करते हैं।

∴ सही उत्तर है: विकल्प 4 (उपरोक्त में से एक से अधिक)।

एक फ्लो नेट एक ग्रिड है जिसे समविभव रेखा और प्रवाह की दिशा की एक श्रृंखला बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। फ्लो नेट दो आयामी,अघूर्णी प्रवाह की समस्याओं का विश्लेषण करने में उपयोगी होती है।

फ्लो नेट का निर्माण केवल निम्नलिखित परिस्थितियों में किया जा सकता है -

(i) प्रवाह स्थिर होना चाहिए. ऐसा इसलिए है कि अस्थिर प्रवाह के लिए प्रवाह की दिशा का प्रारूप स्थिर नहीं रहता ,यह प्रति क्षण में परिवर्तित होता है।

(ii) प्रवाह अघूर्णी होना चाहिए, यह तभी संभव है जब प्रवाहित तरल एक आदर्श तरल (जिसकी कोई श्यानता नहीं है) हो या उसमें नगण्य श्यानता हो।

(iii) जब प्रवाह गुरुत्व बल के अधीन होता है, क्योंकि गुरुत्व की क्रिया के अंतर्गत मुक्त सतह का आकार निरंतर बदलता है और इसलिए कोई नियत फ्लो नेट प्रारूप प्राप्त नहीं किया जा सकता।

वर्णन:

गतिज ऊर्जा संशोधन कारक (α): 

• इसे वास्तविक वेग के आधार पर गतिज ऊर्जा और औसत वेग के आधार पर गतिज ऊर्जा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। 
• \(\alpha = \frac{1}{A}\mathop \smallint \limits_A^{} {\left( {\frac{u}{V}} \right)^3}dA\)
• जहाँ A = क्षेत्रफल, V = औसत वेग, u = दूरी r पर स्थानीय वेग। 
• वृत्ताकार पाइप में पर्णदलीय प्रवाह α = 2

संकल्पना:

पर्णदलीय प्रवाह के लिए अधिकतम वेग केंद्र पर होता है। 

∴ Umax = केंद्रीय रेखा वेग

पर्णदलीय प्रवाह के लिए, \({U_{avg}} = \frac{{{U_{max}}}}{2} \)

निर्वहन (Q) = क्षेत्रफल × औसत वेग 

गणना:

दिया गया है:

पाइप का व्यास, d = 0.04 m, Umax = केंद्रीय रेखा वेग = 1.5 m/s

\({U_{avg}} = \frac{{{U_{max}}}}{2} =\frac{{1.5}}{{2}}\Rightarrow 0.75\) m/s

निर्वहन (Q) = क्षेत्रफल × औसत वेग = \( \frac{\pi }{4} \times {\left( {0.04} \right)^2} \times 0.75 =\frac{{3\pi}}{{10000}}\)  m³/s.

अवधारणा:

रेनॉल्ड्स संख्या:

• रेनॉल्ड संख्या को जड़त्व बल एवं जड़त्व बल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

\(Re~=~\frac{F_i}{F_v}\) = \(\frac{ρ× V× D}{μ}\) ; जहाँ ρ = घनत्व, V = वेग, D = पाइप का व्यास, μ = द्रव की गतिशील श्यानता

∵ शुद्धगतिक श्यानता, = \(\frac{Dynamic~viscosity}{density}~= \frac{\mu}{\rho}\)

∴ \(Re~=~\frac{VD}{ν}\) ; स्पष्टतः, रेनॉल्ड संख्या वेग और व्यास के समानुपाती तथा शुद्धगतिक श्यानता के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

गणना:

दिया गया है:

प्रारंभिक रेनॉल्ड संख्या, Re1 = 1200, D1 = D, D2 = 2 × D, (शुद्धगतिक श्यानता)2 = 2 × (शुद्धगतिक श्यानता) 1 ⇒ \(\nu_2~=~2~\times~\nu_1\)

इसके अलावा, पाइप निकास पर निर्वहन अपरिवर्तित है।

तो, \(Q_1~=~Q_2\\A_1~\times~V_1~=~A_2~\times~V_2\\{D_1}^2~\times~V_1~=~{D_2}^2~\times~V_2\)

उपरोक्त समीकरण में D1 और D2 का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

\(V_2~=~\frac{V_1}{4}\)

∵ \(Re~=~\frac{VD}{ν}\)

\(\frac{Re_1}{Re_2}~=~\frac{D_1~\times~V_1}{\nu_1}~\times~\frac{\nu_2}{D_2~\times~V_2}~=~\frac{D~\times~V_1}{\nu_1}~\times~\frac{2~\times~\nu_1}{2~\times~D~~\times~V_1\over 4~}~\)

\(Re_2~=~\frac{Re_1}{4}~=~300\)

अतः ट्यूब में प्रवाह के लिए न्यू रेनॉल्ड संख्या 300 होगी।

वर्णन:

दो समानांतर अंतराल वाले प्लेटों के बीच प्रवाह के लिए (जैसा नीचे दी गयी आकृति में दर्शाया गया है):

वेग वितरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm{v = \frac{1}{{2\mu }}\left( {\frac{{ - \partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {By - {y^2}} \right)}\)

अपरूपण प्रतिबल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm{\begin{array}{l} \rm{\tau = \mu \frac{{du}}{{dy}}}\\ \rm{\tau= \frac{1}{2} \times \left( { - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right)\left( {B - 2y} \right)}\\ y = \frac{B}{2},\;\tau = 0 \end{array}}\)

y = 0 पर, τ = τmax

इसलिए, अपरूपण प्रतिबल मध्य तल से दूरी के रूप में प्रत्यक्ष रूप से भिन्न है। 

अतः अनुभाग पर अपरूपण वितरण को नीचे चित्रित किया गया है:

∴ अपरूपण प्रतिबल परिसीमाओं पर अधिकतम और केंद्र पर शून्य है। 

संकल्पना:

न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार-

यह नियम कहता है कि द्रव तत्व की परत पर अपरूपण प्रतिबल (\(\tau\)) सीधे अपरूपण विकृति की दर के समानुपाती होता है। आनुपातिकता के स्थिरांक को श्यानता गुणांक कहा जाता है।

\(\tau=\mu\, .({du\over dy})\)

जहाँ \(\tau=\) अपरूपण प्रतिबल \(={Force\over Area}\)

\(\mu=\) गतिक श्यानता

\({du\over dy}=\) वेग प्रवणता

गणना:

दिया है:

प्लेटों के बीच की दूरी (y) = 0.03 mm or 3 × 10^-5 m

चल प्लेट का वेग (\(v\)) = 0.8 m/s

प्लेट पर प्रति इकाई क्षेत्र पर बल (F/A) = 1.5 N/m²

गतिक श्यानता (μ) =?

\(Shear\, stress(\tau)=\mu× ({v\over y})\)

\(1.5=\mu× ({0.8\over 3\times 10^{-5}})\)

\(\mu={1.5\times 3\times 10^{-5}\over 0.8}\)

\(\mu=5.625\times 10^{-5}\, N-s/m^2\)

\(\mu=56.25\times 10^{-6}\, N.s/m^2\)

पाइप के माध्यम से एक पर्णदलीय प्रवाह के लिए अपरूपण प्रतिबल समीकरण इसके द्वारा दिया गया है:

\({\rm{\tau }} = - \frac{{\rm{r}}}{2} \times \frac{{\partial {\rm{P}}}}{{\partial {\rm{x}}}}\)

जहाँ

τ = पाइप के केंद्र से किसी भी दूरी "r" पर अपरूपण प्रतिबल

∂P/∂x = दबाव प्रवणता

r = पाइप के केंद्र से दूरी,

r = 0 पर τ = 0,

इसलिए दबाव में बहने वाली एक पाइप की केंद्र रेखा पर जहां वेग प्रवणता शून्य है अपरूपण प्रतिबल शून्य होगा।

पाइप की दीवार पर वेग शून्य है जो केंद्र में अधिकतम तक बढ़ रहा है, फिर दूसरी दीवार के लिए सममित रूप से, और वेग वितरण परवलयिक है।

पाइप की दीवार पर अपरूपण प्रतिबल अधिकतम केंद्र में न्यूनतम (शून्य) तक कम हो जाता है, फिर दूसरी दीवार के लिए सममित रूप से, अपरूपण प्रतिबल में वृद्धि और अपरूपण वितरण रैखिक है

संकल्पना:

जब एक प्रवाह पूरी तरह से विकसित होता है तो एक पाइप (वृत्ताकार) में एक असम्पीडित द्रव का स्थिर स्तरीय प्रवाह होता है।

फिर किसी भी त्रिज्या r पर वेग प्रोफ़ाइल:

\(U = - \frac{1}{{4\mu }}\left( {\frac{{dP}}{{dx}}} \right)\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\)

r = 0 के लिए 

\(\)\(u\left( r \right) = u_{max}( {1 - \frac{{{r^2}}}{{{R^2}}}} )\)

गणना:

दिया गया​ है :

r = R/2; u = ?, r = 200 - 80 = 120 mm पर (केंद्रीय रेखा से त्रिज्यीय दूरी), u_max = 2 m/s

\(u\left( r \right) = 2( {1 - \frac{{{120^2}}}{{{200^2}}}} ) = 1.28 \ m/s\)

Concept:

Distribution of velocity profile:

In a fully developed laminar pipe flow, the average velocity is one half of the maximum velocity i.e. U_max = 2U_avg

\(\begin{array}{l} U (r) = U_{max}\left[ {1 - {{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^2}} \right] \end{array}\)

\(\begin{array}{l} U (r) = 2{U_{av}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{r}{R}} \right)}^2}} \right] \end{array}\)

Calculation:

Given:

Uavg = 5 m/s, R = 10 cm, r = 5 cm

\(U = 2 \times 5\left[ {1 - {{\left( {\frac{5}{{10}}} \right)}^2}} \right] = 7.5\;m/s\)

Concept:

Hagen Poiseuille equation

Loss of pressure head  \(= \dfrac{{{p_1} - {p_2}}}{{ρ g}} = \dfrac{{32μ VL}}{{ρ g{D^2}}} = {h_f}\)

Calculation:

Given:

Viscosity μ = 1.50 Pa.s, diameter d = 0.1 m, V = 6 m/s, L = 7 m, ρ = 1260 kg/m³

Loss of pressure head  \(= \dfrac{{{p_1} - {p_2}}}{{ρ g}} = \dfrac{{32 \times 6\times1.50\times 7 }}{{1260\times 10\times 0.01{}}} = 16 ~m\)