Boundary Layer Theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Boundary Layer Theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

संवेग मोटाई, θ निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दिया गया है:

\(\theta = \mathop \smallint \nolimits_0^\delta \frac{u}{U}\left( {1 - \frac{u}{U}} \right)dy\)

परिणाम:

दिया गया है:

\(\frac{u}{U} = \frac{y}{\delta }\)

संवेग मोटाई दी गई है:

\(\theta = \mathop \smallint \nolimits_0^\delta \frac{u}{U}\left( {1 - \frac{u}{U}} \right)dy\)

\(\theta = \mathop \smallint \nolimits_0^\delta \frac{y}{\delta }{\rm{\;}}\left( {1 - \frac{y}{\delta }{\rm{\;}}} \right)dy\)

\(\theta = \mathop \smallint \nolimits_0^\delta \left\{ {\frac{y}{\delta } - {{\left( {\frac{{\rm{y}}}{{\rm{\delta }}}} \right)}^2}} \right\}dy\)

\(\theta = \left\{ {\frac{{{y^2}}}{{2\delta }} - \frac{{{y^3}}}{{3{\delta ^2}}}} \right\}|_0^\delta \)

\(\theta = {\rm{\;}}\left\{ {\frac{{{{\rm{\delta }}^2}}}{{2{\rm{\delta }}}} - \frac{{{{\rm{\delta }}^3}}}{{3{{\rm{\delta }}^2}}}} \right\}\) = δ/6

∴ संवेग मोटाई, θ = δ/6

महत्वपूर्ण बिंदु

1. विस्थापन मोटाई:

\({\delta ^*} = \;\mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{\delta }} \left( {1 - \frac{{\rm{u}}}{{\rm{U}}}} \right){\rm{dy}}\)

2. ऊर्जा मोटाई:

\({\delta ^{**}} = \;\mathop \smallint \nolimits_0^\delta \frac{u}{U}\left( {1 - {{\left( {\frac{{\rm{u}}}{{\rm{U}}}} \right)}^2}} \right)dy\)

व्याख्या:

समतल प्लेट पर सीमा परत अग्र किनारे से विकसित होती है। जैसे ही द्रव प्रवाहित होता है, तीन मुख्य क्षेत्र बनते हैं:

• लामिना बाउंड्री लेयर: अग्र किनारे के पास का क्षेत्र, जहाँ प्रवाह व्यवस्थित और चिकना होता है।
• संक्रमण क्षेत्र: प्रवाह अस्थिर हो जाता है और धीरे-धीरे अशांति में परिवर्तित हो जाता है।
• अशांत बाउंड्री लेयर: डाउनस्ट्रीम क्षेत्र जहाँ प्रवाह पूरी तरह से अशांत और अराजक हो जाता है।

दूसरी आकृति में, "क्षेत्र A" अग्र किनारे के ठीक बाद और संक्रमण बिंदु से पहले का क्षेत्र है - इसलिए, यह लामिना बाउंड्री लेयर का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या:

पटलीय सीमा परत की मोटाई:

\(δ = \frac{{5x}}{{\sqrt {R{e_x}} }}\)

जहाँ,

x = अग्र किनारे से दूरी

Rex = स्थानीय रेनॉल्ड्स संख्या = \(R{e_x} = \frac{{ρ Vx}}{μ } = \frac{{Vx}}{ν }\)

जहाँ, ρ = kg/m3 में द्रव का घनत्व, V = m/s में औसत वेग 

μ = Ns/m2 में गतिक श्यानता और ν = m2Is में गतिज श्यानता m2/s

\(δ = \frac{{5x}}{{\sqrt {\frac{{\rho Vx}}{\mu }} }} ∝ \frac{x}{{\sqrt x }}\) इस प्रकार, δ ∝ x1/2

∴ \(\delta_t \propto \sqrt{x}\)

व्याख्या

मूडी का आरेख व्यावसायिक पाइपों के घर्षण गुणांक की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

यह विभिन्न सापेक्ष खुरदरापन के लिए घर्षण गुणांक और रेनॉल्ड्स संख्या के बीच बनाया गया है।

यह गोलाकार पाइप के लिए व्युत्पन्न किया गया है लेकिन अन्य अनुप्रस्थ काट पर भी लागू होता है बशर्ते कि व्यास को द्रव-चालित त्रिज्या के 4 गुना से बदल दिया जाए।

इस प्रकार मूडी का चार्ट घर्षण गुणांक, सापेक्ष खुरदरापन और रेनॉल्ड्स संख्या के बीच एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व है।

इसलिए सही उत्तर विकल्प 2 है।

नोट: सापेक्ष खुरदरापन पाइप खुरदरापन और पाइप व्यास का अनुपात है।

सापेक्ष खुरदरापन \( = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{K}}_{\rm{s}}}}}{{\rm{D}}}\)

महत्वपूर्ण बिंदु:-

प्रतिबल प्रवाह के लिए घर्षण गुणांक केवल रेनॉल्ड्स संख्या पर निर्भर करता है।

यह दिया गया है:-

\({\rm{f\;}} = {\rm{\;}}\frac{{64}}{{{{\rm{R}}_{\rm{e}}}}}\)

अशांत प्रवाह के लिए, घर्षण गुणांक दिया गया है:-

अशांत प्रवाह के लिए घर्षण गुणांक:

1) चिकना पाइप:

\({\rm{f}} = \frac{{0.316}}{{{{\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}}} \right)}^{1/4}}}};4000 \le {{\rm{R}}_{\rm{e}}} \le {10^5}\)

\({\rm{f}} = 0.0032 + \frac{{0.221}}{{{{\left( {{{\rm{R}}_{\rm{e}}}} \right)}^{0.237}}}};{10^5} \le {{\rm{R}}_{\rm{e}}} \le 4 \times {10^7}\)

2) खुरदरा पाइप:

\(\frac{1}{{\sqrt {\rm{f}} }} = 2{\log _{10}}\left( {\frac{{\rm{R}}}{{{{\rm{K}}_{\rm{s}}}}}} \right) + 1.74\)

नोट: चिकने पाइप के लिए घर्षण गुणांक रेनॉल्ड्स संख्या का कार्य है।

f = g(Re) → चिकने पाइप के लिए

f = h(Ks/D) → खुरदरे पाइप के लिए

f = K(Re, Ks/D) → संक्रमण

एक धारा-रेखा वाले निकाय को उस निकाय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसकी सतह जब प्रवाह में होती है तब प्रवाह रेखा के साथ सरेंखित होती है। इस मामले में प्रवाह का अलगाव केवल पीछे के किनारे या निकाय के दूरतम अनुप्रवाह के हिस्से में होता है ।

वर्णन:

परिसीमा-परत:

• जब परिवेशी वेग का एक तरल पदार्थ एक समतल स्थिर प्लेट पर प्रवाहित होता है, तो तरल पदार्थ की निचली परत ठोस सतह के साथ प्रत्यक्ष रूप से संपर्क में होती है और इसका वेग शून्य तक कम हो जाता है। 
• दो परतों के बीच ससंजक बलों के कारण निचला परत सन्निकट परत के लिए प्रतिरोध प्रदान करता है और इस कारण से वेग प्रवणता तरल पदार्थ में विकसित होती है। 
• पृष्ठीय वेग प्रवणता पर एक पतला क्षेत्र विशिष्ट होता है, जिसे परिसीमा परत के रूप में जाना जाता है। 

परिसीमा परत की मोटाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

ब्लासियस समीकरण द्वारा समतल प्लेट के लिए दिया गया पर्णदलीय परिसीमा परत निम्न है:

\(\delta =\frac{5x}{\sqrt{Re}}\)  

\(Re = \frac{\rho Ux}{\mu} \Rightarrow Re\propto x\)

\(\delta =\frac{5x}{\sqrt{Re}} \Rightarrow \delta \propto \sqrt x\)

जहाँ, x = वह दूरी जहाँ परिसीमा परत पाया जाना होता है, Re = रेनॉल्ड संख्या, ρ = तरल पदार्थ का घनत्व, V = तरल पदार्थ का वेग। 

µ = तरल पदार्थ की गतिशील श्यानता। 

पर्णदलीय प्रवाह के लिए रेनॉल्ड संख्या को 5 × 10⁵ से कम होना चाहिए। समतल प्लेट के लिए उपद्रवी परिसीमा परत निम्न रूप में ज्ञात किया गया है

उपद्रवी प्रवाह के लिए Re > 5 x 10⁵

\(\begin{array}{l} \delta = \frac{{0.379x}}{{{{\left( {Re} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}\\ \delta \propto {x^{1 - \frac{1}{5}}}\\ \delta \propto {x^{\frac{4}{5}}} \end{array}\)

संकल्पना:

एक चपटी प्लेट पर प्रवाह में, परिसीमा परत के लिए विभिन्न प्रकार की मोटाई परिभाषित की जाती है,

(i) परिसीमा परत मोटाई (δ): इसे निकाय की सतह से दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें वेग मुख्यधारा के वेग (U_∞) का 99% तक पहुँच जाता है। 

(ii) विस्थापन मोटाई (δ* या δ⁺): इसे उस दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके द्वारा परिसीमा परत गठन के कारण द्रव्यमान प्रवाह दर में कमी की क्षतिपूर्ति के लिए निकाय की सतह को स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

आदर्श द्रव प्रवाह की द्रव्यमान प्रवाह दर =\(\mathop \smallint \limits_0^δ \rho {u_\infty }dy\)

वास्तविक द्रव प्रवाह की द्रव्यमान प्रवाह दर =\(\mathop \smallint \limits_0^δ \rho udy\)

हानि की क्षतिपूर्ति विस्थापन परत की मोटाई से की जाती है,

\( \Rightarrow \rho {δ ^*}{u_\infty } = \mathop \smallint \limits_0^δ \rho {u_\infty }dy - \;\mathop \smallint \limits_0^δ \rho udy\)

\(\Rightarrow {δ ^*} = \mathop \smallint \limits_0^δ \left( {1 - \frac{u}{{{u_\infty }}}} \right)dy\)

(iii) संवेग मोटाई (θ): इसे वास्तविक सीमा सतह से दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जैसे कि इस दूरी के माध्यम से मुख्यधारा के वेग (u_∞) के अनुरूप संवेग प्रवाह (प्रति सेकंड स्थानांतरित संवेग) कमी या संवेग में हानि के बराबर है,जो परिसीमा परत निर्माण के कारण होती है।

इस प्रकार दिया जाता है:

\(\theta = \mathop \smallint \limits_0^δ \frac{u}{{{u_\infty }}}\left( {1 - \frac{u}{{{u_\infty }}}} \right)dy\)

(iv) ऊर्जा मोटाई (δ_E): इसे वास्तविक परिसीमा सतह से दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि दूरी δ_E के माध्यम से मुख्यधारा के वेग u_∞ के अनुरूप ऊर्जा प्रवाह परिसीमा परत के निर्माण के कारण ऊर्जा की कमी या हानि के बराबर है।

इस प्रकार दिया जाता है:

\({δ _E} = \mathop \smallint \limits_0^δ \frac{u}{{{u_\infty }}}\left( {1 - \frac{{{u^2}}}{{u_\infty ^2}}} \right)dy\)

आकृति गुणक (H)=\(\frac{\delta^*}{\theta}\)

गणना:

दिया गया है:

वेग प्रोफ़ाइल:\(\frac{u}{U_{\infty}}~=~\frac{y}{δ}\)

विस्थापन मोटाई (δ*):

\(\Rightarrow {δ ^*} = \mathop \smallint \limits_0^δ \left( {1 - \frac{u}{{{u_\infty }}}} \right)dy\)

\(\eqalign{ & {\delta ^ \star } = \mathop \smallint \limits_0^\delta \left( {1 - {u \over {{u_\infty }}}} \right)dy \cr & = \mathop \smallint \limits_0^\delta \left( {1 - {y \over \delta }} \right)dy \cr & = \left[ {y - {{{y^2}} \over {2\delta }}} \right]_0^\delta = \delta - {\delta \over 2} = {\delta \over 2} \cr}\)

संकल्पना:

सीमा परत सिद्धांत:

• जब एक समतल स्थिर प्लेट पर व्यापक वेग का एक तरल प्रवाहित होता है तो तरल की निचली परत ठोस सतह के साथ सीधे संपर्क करती है और इसका वेग शून्य तक पहुँच जाता है।
• दो परतों के बीच संसंजक बलों के कारण निचली परत आसन्न परत के लिए प्रतिरोध प्रदान करती है और इस कारण से एक तरल पदार्थ में वेग प्रवणता विकसित होती है।
• सतह वेग प्रवणता पर एक पतला क्षेत्र महत्वपूर्ण है, जिसे सीमा परत के रूप में जाना जाता है।

सीमा परत की मोटाई को निम्न द्वारा दिया गया है

ब्लासियस समीकरण द्वारा दी गई समतल प्लेट के लिए पटलीय सीमा परत है:

\(\delta =\frac{5x}{\sqrt{Re}}\)

\(Re = \frac{\rho Ux}{\mu} \Rightarrow Re\propto x\)

\(\delta =\frac{5x}{\sqrt{Re}} \Rightarrow \delta \propto \sqrt x\)

जहां, x = दूरी जहां सीमा परत प्राप्त करनी है, Re = रेनॉल्ड्स संख्या, ρ = तरल का घनत्व, V = तरल का वेग

µ = गतिशील श्यानता तरल

पटलीय प्रवाह के लिए रेनॉल्ड्स संख्या 2 × 105 से कम होनी चाहिए।
निम्न द्वारा दी गई समतल प्लेट के लिए अशांत सीमा परत

अशांत प्रवाह के लिए Re > 107

\(\begin{array}{l} \delta = \frac{{0.379x}}{{{{\left( {Re} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}\\ \delta \propto {x^{1 - \frac{1}{5}}}\\ \delta \propto {x^{\frac{4}{5}}} \end{array}\)

कॉन्सेप्ट:

कर्षण बल (F_d) वस्तु पर तब लगाता है जब यह तरल माध्यम से स्थानांतरित होता है।

कर्षण को समतल प्लेट द्वारा अनुभव किए गए प्रभावी आकर्षण के रूप में परिभाषित किया जाता है जब तरल इस पर से प्रवाहित होता है।

दाब कर्षण आवर्त गतियों से उद्भव होता है जो निकाय के पारित होने द्वारा तरल में स्थापित होता है; यह कर्षण प्रवाह में प्रक्षिप्त जल के निर्माण के साथ संबंधित होता है।

घर्षण कर्षण तरल और वह सतह जिसपर यह प्रवाहित होता है, के बीच घर्षण से उद्भव होता है।

\({{\rm{F}}_{\rm{d}}} = \frac{{{{\rm{C}}_{\rm{d}}} \times {\rm{\rho }} \times {\rm{A}} \times {{\rm{V}}^2}}}{2}\)

कर्षण गुणांक\(,{\rm{\;}}{{\rm{C}}_{\rm{d}}} = \frac{{24}}{{{{\rm{R}}_{\rm{e}}}}}\) when Re < 0.2

Drag Coefficient, Cd = \({24\over R_e}({1+{3\over 16R_e}})\) when 0.2 < Re < 5

जहाँ C_d कर्षण गुणांक है और R_e रेनॉल्ड संख्या है।

गणना:

\({{\rm{R}}_{\rm{e}}} = \frac{{{\rm{V}} \times {\rm{d}}}}{{\rm{\nu }}} = \frac{{0.02 \times 0.02}}{{10 \times {{10}^{ - 4}}}} = 0.4\)

\({{\rm{C}}_{\rm{d}}} = \frac{{24}}{{0.4}} = 60\)

Note:

the The given answer is as per official  exam of SSC JE.

व्याख्या:

• δ द्वारा दर्शाई गई सीमा परत की मोटाई को स्वेच्छाचारी रूप से सीमा पृष्ठ से उस दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें वेग मुख्य धारा के वेग के 99% तक पहुँच जाता है।

• लामिना की सीमा परतों के लिए, सीमा परत की मोटाई पृष्ठ से दूरी के वर्गमूल के समानुपाती होती है। इसलिए, सीमा परत की मोटाई का अधिकतम मान पृष्ठ पर होता है, जहां दूरी शून्य होती है।

• त्रिज्या R के एक पाइप में सीमा परत की अधिकतम मोटाई R है।

• उपद्रवी सीमा परतों के लिए, सीमा परत की मोटाई अधिक तेजी से बढ़ती है, लेकिन इसका अभी भी अधिकतम मान लगभग R/2 है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि इस बिंदु पर विक्षोभ की तीव्रता ऐसी होती है कि विक्षुब्ध उतार-चढ़ाव का संवेग विसरण प्रभाव विस्कोस प्रभावों के कारण संवेग हानि को संतुलित करता है, जिसके परिणामस्वरूप सीमा परत के किनारे पर अधिकतम वेग प्रवणता होती है।

सही उत्तर 5.5 सेमी है।

• ब्लॉक द्वारा धारण की जाने वाली कुल गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा और घर्षण के खिलाफ किए गए कार्य में जाती है।
• आपूर्ति की गई K.E. = घर्षण के खिलाफ किया गया कार्य + स्प्रिंग की P.E.
  • \({1\over2} mv^2= Fx+{1\over2} kx^2\)
• मान लीजिए कि x स्प्रिंग का संपीड़न है।
• यहाँ:
  • द्रव्यमान = 2 kg,υ = 4 m/s
  • गतिज घर्षण की शक्ति, F = 15 N
  • स्प्रिंग स्थिरांक, K = 10000 N / m
• \({1\over 2}×2×4^2=15x+{10000\over 2}x^2\)
• \( 5000x^2+15x−16=0\)
• \(x=0.055m=5.5cm\)

Additional Information

• गतिज ऊर्जा, ऊर्जा का वह रूप जो किसी वस्तु या कण की गति के कारण होता है।
  • यदि कार्य, जो ऊर्जा को स्थानांतरित करता है, एक वस्तु पर शुद्ध बल लागू करके किया जाता है, तो वस्तु गति करती है और जिससे गतिज ऊर्जा प्राप्त होती है।
• काइनेटिक घर्षण को एक बल के रूप में परिभाषित किया जाता है जो चलती सतहों के बीच कार्य करता है।
  • सतह पर चलने वाला शरीर अपने आंदोलन की विपरीत दिशा में एक बल का अनुभव करता है।
  • बल का परिमाण दो सामग्रियों के बीच गतिज घर्षण के गुणांक पर निर्भर करेगा।

वर्णन:

परिसीमा परत:

जब वास्तविक तरल पदार्थ किसी ठोस निकाय या ठोस दिवार से होकर प्रवाहित होता है, तो तरल पदार्थ के कण के अनुसार गति करते हैं और बिना-सर्पी वाली स्थिति होती है अर्थात् तरल पदार्थ का वेग परिसीमा के वेग के समान होगा।

परिसीमा से काफी दूरी पर वेग उच्च होगा और इस भिन्नता के परिणामस्वरूप वेग प्रवणता मौजूद होगी।

परिसीमा-परत मोटाई:

इसे किसी बिंदु की लंबवत दिशा में मापित ठोस निकाय की परिसीमा से दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ तरल पदार्थ का वेग मुक्त धारा वेग (U) के लगभग 0.99 गुना के बराबर होता है। इसे प्रतीक (δ) द्वारा दर्शाया गया है। 

विस्थापन मोटाई (δ* or δ+): 

यह उस दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके द्वारा सीमा परत के गठन के कारण द्रव्यमान प्रवाह दर में कमी की भरपाई के लिए निकाय की सतह को स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

आदर्श द्रव प्रवाह की द्रव्यमान प्रवाह दर = \(\mathop \smallint \limits_0^\delta \rho {u_\infty }dy\)

वास्तविक द्रव प्रवाह की द्रव्यमान प्रवाह दर = \(\mathop \smallint \limits_0^\delta \rho udy\)

विस्थापन परत की मोटाई द्वारा नुकसान की भरपाई होती है,

\( \Rightarrow \rho {\delta ^*}{u_\infty } = \mathop \smallint \limits_0^\delta \rho {u_\infty }dy - \;\mathop \smallint \limits_0^\delta \rho udy\)

\(\Rightarrow {\delta ^*} = \mathop \smallint \limits_0^\delta \left( {1 - \frac{u}{{{u_\infty }}}} \right)dy\)

संवेग मोटाई (θ): 

इसे वास्तविक सीमा सतह से दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है यह गति अभिवाह (हस्तांतरित गति प्रति सेकंड) मुख्य धारा वेग (u∞) इस दूरी θ के माध्यम से सीमा परत गठन करने के लिए गति में कमी या नुकसान के बराबर है।

निम्न रूप में दिया गया है

\(\theta = \mathop \smallint \limits_0^\delta \frac{u}{{{u_\infty }}}\left( {1 - \frac{u}{{{u_\infty }}}} \right)dy\)

ऊर्जा की मोटाई (δE): 

इसे वास्तविक सीमा सतह से दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जैसे कि मुख्यधारा वेग u∞ से संबंधित ऊर्जा अभिवाह दूरी δE के माध्यम से सीमा परत गठन ऊर्जा की कमी या नुकसान के बराबर है। 

निम्न रूप में दिया गया है

\({\delta _E} = \mathop \smallint \limits_0^\delta \frac{u}{{{u_\infty }}}\left( {1 - \frac{{{u^2}}}{{u_\infty ^2}}} \right)dy\)

एक स्थूलाग्र निकाय को उस निकाय के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसकी सतह प्रवाह में रखे जाने पर धारा-रेखाओं के साथ संरेखित नहीं होती है।

इसलिए निकाय श्यान या घर्षण ड्रैग के संदर्भ में कम प्रतिरोध प्रदान करता है।

निकाय के एक बड़े वेक क्षेत्र की ओर अग्रसर होने के बाद भंवर के गठन के कारण बहुत बड़ा दबाव ड्रैग होता है।

जबकि एक धारारेखा निकाय को उस निकाय के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसकी सतह प्रवाह में रखे जाने पर धारारेखाओं के साथ संरेखित होती है।

अवधारणा:

प्रवाह की दिशा में दबाव प्रवणता स्थिर और ऋणात्मक है।

प्रवाह पृथक्करण तब होता है जब दबाव प्रवणता धनात्मक होती है और वेग प्रवणता ऋणात्मक होती है।

एक अनुकूल दबाव प्रवणता वह है जिसमें दबाव प्रवाह की दिशा में घटता है (यानी, dp/dx < 0)

दूसरी ओर, एक प्रतिकूल दबाव प्रवणता वह होती है जिसमें दबाव प्रवाह की दिशा में बढ़ता है (यानी, dp/dx > 0)