Integration using Substitution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integration using Substitution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

माना कि $3-x^2=t^2$

⇒ $-2xdx=2tdt$

⇒ $xdx=-tdt$

⇒ $x^2=3-t^2$

⇒ $f(x)=\int x^2\sqrt{3-x^2}\cdot xdx$

$=\int (3-t^2)\cdot t\cdot (-tdt)+c$

$=\int (t^4-3t^2)dt+c$

$=\frac{t^5}{5}-t^3+c$

$f(x)=\frac{(3-x^2{)}^{5/2}}{5}-(3-x^2{)}^{3/2}+c$

⇒ $f(\sqrt{2})=\frac{(3-2{)}^{5/2}}{5}-(3-2{)}^{3/2}+c$

$=\frac{1^{5/2}}{5}-1^{3/2}+c=\frac{1}{5}-1+c=-\frac{4}{5}$

⇒ $\frac{1}{5}-1+c=-\frac{4}{5}$

⇒ $-\frac{4}{5}+c=-\frac{4}{5}$

C = 0

$f(x)=\frac{(3-x^2{)}^{5/2}}{5}-(3-x^2{)}^{3/2}$

⇒ $f(1)=\frac{(3-1{)}^{5/2}}{5}-(3-1{)}^{3/2}$

$=\frac{2^{5/2}}{5}-2^{3/2}$

$=2^{3/2}(\frac{2^{2/2}}{5}-1)=2\sqrt{2}(\frac{2}{5}-1)$

$=2\sqrt{2}(-\frac{3}{5})=-\frac{6\sqrt{2}}{5}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

d(u × v) = u × dv + v × du

गणना:

$\int \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\mathrm{x}+1)}{{\cos }^2(\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना, xe^x = t 

t के संबंध में अवकल निम्नानुसार है:

(xe^x + e^x) dx = dt 

ex (x + 1) dx = dt 

अब, ∫(1/cos²t) dt

⇒ ∫sec²t dt 

⇒ tant + c

∴​ $\int \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\mathrm{x}+1)}{{\cos }^2(\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = tan(xe^x) + c

प्रयुक्त सूत्र:

cos2x = cos²x - sin²x

tanx = sinx/cosx

$\int \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = sin^-1x + c

गणना:

माना,

I = $\int \frac{\sec \mathrm{x}}{\surd \cos 2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

⇒ I =  $\int \frac{\sec \mathrm{x}}{\sqrt{{\cos }^2\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

⇒ I = $\int \frac{\sec \mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\sqrt{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

⇒ I = $\int \frac{{\sec }^2\mathrm{x}}{\sqrt{1-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना tanx = t 

t के सापेक्ष में अवकलन 

⇒ I = (sec²x) dx = dt

⇒ I = $\int \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{t}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{t}$

⇒ sin^-1t + c

∴ sin^-1(tanx) + c

हल

⇒ $\int \frac{dx}{1+\sin x}$

पद को उसके संयुग्मी से विभाजित और गुणा करते हैं

⇒ $\int \frac{dx}{1+\sin x}$ × $\frac{1-sinx}{1+sinx}$dx

⇒ $\int \frac{1-sinx}{1-{\sin }^{2}x}$  ...(1 - sin²x = cos²x)

⇒ $\int \frac{1-sinx}{co{s}^{2}x}$ = $\int \frac{1}{co{s}^{2}x}-\frac{sinx}{co{s}^{2}x}$ 

चूँकि, (1/cos²x = sec²x and sin/cos²x = tan x × sec x) 

⇒ ∫(sec²x - tan x sec x) dx

⇒ ∫sec²x dx - ∫tan x sec x dx

⇒ tan x - sec x + c

सही विकल्प 2 है। 

संकल्पना:

$\int \frac{1}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \frac{1}{\sqrt{16-25{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{1}{\sqrt{16-(5\mathrm{x}{)}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{5}$

अब, 

I = $\frac{1}{5}\int \frac{1}{\sqrt{4^2-{\mathrm{t}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{1}{5}{\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{t}}{4}\right)$ + c

= $\frac{1}{5}{\sin }^{-1}\left(\frac{5\mathrm{x}}{4}\right)$ + c

संकल्पना:

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \sqrt{2\mathrm{x}+3}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि 2x + 3 = t² है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2dx = 2tdt

⇒ dx = tdt

अब, 

I = $\int \sqrt{{\mathrm{t}}^2}\times \mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\int {\mathrm{t}}^2\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{{\mathrm{t}}^3}{3}+\mathrm{c}$

∵ 2x + 3 = t2

⇒  (2x + 3)1/2 = t

⇒ (2x + 3)3/2 = t3

⇒ I = $\frac{(2\mathrm{x}+3{)}^{3/2}}{3}+\mathrm{c}$

संकल्पना:

$\int \sin \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=-\cos \mathrm{x}+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \sin 5\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{5}$

अब,

I = $\frac{1}{5}\int \sin \mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{1}{5}(-\cos \mathrm{t})+\mathrm{c}$

= $\frac{-\cos 5\mathrm{x}}{5}+\mathrm{c}$

अवधारणा:

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{C}$

$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4)\mathrm{d}({\mathrm{x}}^2)$ .....(i)

गणना:

माना, x2 = u

समीकरण (i) से

$\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = $\int (1+\mathrm{u}+{\mathrm{u}}^2)\mathrm{d}\mathrm{u}$

= u + $\frac{{\mathrm{u}}^2}{2}$ + $\frac{{\mathrm{u}}^3}{3}$ + C

अब  u का मान रखते हुए,

​⇒ $\int \mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2$ = x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C

∴ आवश्यक समाकलन x2 +​ $\frac{{\mathrm{x}}^4}{2}$ + $\frac{{\mathrm{x}}^6}{3}$ + C है

संकल्पना:

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \sqrt{4\mathrm{x}-3}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि 4x - 3 = t² है 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 4dx = 2tdt

⇒ dx =$\frac{\mathrm{t}}{2}$dt

अब, 

I = $\int \sqrt{{\mathrm{t}}^2}\times \frac{\mathrm{t}}{2}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{1}{2}\int {\mathrm{t}}^2\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{{\mathrm{t}}^3}{6}+\mathrm{c}$

= $\frac{(4\mathrm{x}-3{)}^{3/2}}{6}+\mathrm{c}$

अवधारणा:

समाकल का गुण:

• ∫ x n dx = $\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}$ + C; n ≠ -1
• $\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\ln \mathrm{x}$ + C

गणना:

माना I = $\int \frac{\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

I = $\frac{1}{2}\int \frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना 1 + x 2 = t

⇒ 2x dx = dt

I = $\frac{1}{2}\int \frac{1}{\mathrm{t}}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{1}{2}\log \mathrm{t}+\mathrm{c}$

= $\frac{1}{2}\log (1+{\mathrm{x}}^2)+\mathrm{c}$

= $\log \sqrt{(1+{\mathrm{x}}^2)}+\mathrm{c}$             [∵ n log m = log mn]

गणना:

दिया हुआ:$I_1={\displaystyle {\int }_e^{e^2}{\displaystyle \frac{dx}{\log x}}}$ और $I_2={\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{e^x}{x}}dx}$

⇒ $I_1={\displaystyle {\int }_e^{e^2}{\displaystyle \frac{dx}{\log x}}}$ , log x = z रखें

जैसे कि x = e^z

जैसे कि dx = e^z dz 

जब x = e, z = loge तब

x = e², z = log e² = 2 log e = z 

जैसे कि I₁ = ${\displaystyle {\int }_1^2}$(e^z dz) / z =  ${\displaystyle {\int }_1^2}$(e^x/z) dx = I2 

जैसे कि I₁ = I₂

⇒ I1 - I2 = 0 

संकल्पना:

sin 2x = 2sin x cos x

∫(1/x)dx = log x + c

∫tanx dx = sec²x + c  

गणना:

माना कि I = $\int \frac{2}{\sin 2\mathrm{x}.\log \left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}\right)}$         ....(1)

log (tan x) = t लेने पर

$\frac{1}{\tan \mathrm{x}}(\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{d}\mathrm{t}$

⇒ $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{d}\mathrm{t}$

⇒ $\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{d}\mathrm{t}$

⇒ dx = sin x.cos x dt

समीकरण (i) में log (tan x) और dx का मान रखने पर 

अब, I = $\int \frac{2}{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}.\mathrm{t}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= ∫ $\frac{1}{\mathrm{t}}$dt

= log t + c

= log [log(tan x)] + c

अवधारणा:

$\int \frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}$

${\mathrm{x}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{x}}$

गणना:

माना, I = $\int \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$                    (∵ ${\mathrm{x}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{x}}$)

= $\int \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+1}\mathrm{d}\mathrm{x}$

अब, माना ex = t

⇒ ex dx = dt

∴ I = $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{{\mathrm{t}}^2+1}$

= $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{t}+\mathrm{c}$                         (∵ $\int \frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}$ )

= $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})+\mathrm{c}$                     (∵ ex = t)

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

$\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\log |\mathrm{x}|+\mathrm{c}$

गणना:

I = ∫ cot 2x dx

$=\int \frac{\cos 2\mathrm{x}}{\sin 2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि sin 2x = t है। 

x के संबंध में अवकलज करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ 2 cos 2x dx = dt

⇒ cos 2x dx = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{2}$

$\mathrm{I}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\mathrm{t}}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{1}{2}\log |\mathrm{t}|+\mathrm{c}$

= $\frac{1}{2}\log |\sin 2\mathrm{x}|+\mathrm{c}$