Integration using Partial Fractions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integration using Partial Fractions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

हम जानते हैं कि समाकल इस रूप का है:

$f(x)=\frac{1}{2}{\log }_e\left(\frac{x^2+3}{x^2+1}\right)+C$

अब, हम स्थिरांक C ज्ञात करने के लिए f(3) का दिया गया मान प्रतिस्थापित करते हैं:

⇒ $f(3)=\frac{1}{2}{\log }_e\left(\frac{6}{5}\right)+C$

हमें दिया गया है कि:

⇒ $f(3)=\frac{1}{2}({\log }_{e}5-{\log }_{e}6)$

f(3) के दो व्यंजकों की तुलना करने पर:

⇒ $\frac{1}{2}{\log }_e\left(\frac{6}{5}\right)+C=\frac{1}{2}({\log }_{e}5-{\log }_{e}6)$

चूँकि दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि C = 0 है।

इस प्रकार, फलन बन जाता है:

⇒ $f(x)=\frac{1}{2}{\log }_e\left(\frac{x^2+3}{x^2+1}\right)$

अब, हम f(4) की गणना कर सकते हैं:

⇒ $f(4)=\frac{1}{2}{\log }_e\left(\frac{16+3}{16+1}\right)=\frac{1}{2}{\log }_e\left(\frac{19}{17}\right)$

इस प्रकार, f(4) का मान है:

⇒ $\frac{1}{2}{\log }_e\left(\frac{19}{17}\right)$

$\frac{1}{2}({\log }_{e}19-{\log }_{e}17)$

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया है:

$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

अवधारणा:

आंशिक भिन्नों की अवधारणा का प्रयोग कीजिए,

$\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}$

और समाकलन के सूत्र का प्रयोग कीजिए, 

$\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}|+\mathrm{c}$

गणना:

$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\int \frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)}\mathrm{d}\mathrm{x}$

आंशिक भिन्नों की अवधारणा का प्रयोग कीजिए,

$\frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{x}-1}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{x}+2}$

अब, हरों की तिर्यक रूप से गुणा कीजिए, 

$2\mathrm{x}+3=\mathrm{A}({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2)+\mathrm{B}({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x})+\mathrm{C}({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x})$

दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना कीजिए।

$\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=0$ ....(1)

$\mathrm{A}+2\mathrm{B}-\mathrm{C}=2$ ...........(2) और

$-2\mathrm{A}=3$

$⟹\mathrm{A}=\frac{-3}{2}$

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,

$2\mathrm{A}+3\mathrm{B}=2$

तब A का मान प्रतिस्थापित करने पर, 

$2\times \frac{-3}{2}+3\mathrm{B}=2$

$⟹\mathrm{B}=\frac{5}{3}$

अब A और B का मान समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

$\mathrm{C}=\frac{-1}{6}$

अब इन सभी मानों को समाकल में रखने पर, 

$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\int \frac{-3}{2}.\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{5}{3}.\frac{1}{\mathrm{x}-1}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{-1}{6}.\frac{1}{\mathrm{x}+2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=-\frac{3}{2}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}|+\frac{5}{3}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}-1|-\frac{1}{6}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}+2|+\mathrm{c}$

$=\frac{5}{3}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}-1|-\frac{3}{2}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}|-\frac{1}{6}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}+2|+\mathrm{c}$

अतः विकल्प (2) सही है।

गणना:

दिया गया है:

$\int \frac{x}{(x-1)(x-2)}dx$

$\frac{x}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$

⇒ $x=A(x-2)+B(x-1)$

$1=A(1-2)+B(1-1)\Rightarrow A=-1$

$2=A(2-2)+B(2-1)\Rightarrow B=2$

समाकल निम्नवत हो जाता है:

⇒ $\int (\frac{-1}{x-1}+\frac{2}{x-2})dx$

⇒ $-\int \frac{1}{x-1}dx+2\int \frac{1}{x-2}dx$

⇒ $-\ln |x-1|+2\ln |x-2|+C$

⇒ $\ln \left|\frac{(x-2{)}^2}{x-1}\right|+C$

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना

दिया गया है:

माना $f(x)=\int \frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)}dx$

आंशिक भिन्न वियोजन का उपयोग करके:

$\frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+3}$

चूँकि, अंश केवल 'x' है, B और D शून्य होने चाहिए।

$\frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)}=\frac{Ax}{x^2+1}+\frac{Cx}{x^2+3}$

दोनों पक्षों को $(x^2+1)(x^2+3)$ से गुणा करने पर:

$x=Ax(x^2+3)+Cx(x^2+1)$

$x=A{x}^3+3Ax+C{x}^3+Cx$

$x=(A+C)x^3+(3A+C)x$

गुणांकों की तुलना करने पर:

$A+C=0⟹C=-A$

$3A+C=1$

$C=-A$ प्रतिस्थापित करने पर:

$3A-A=1$

$2A=1⟹A=\frac{1}{2}$

$C=-\frac{1}{2}$

$f(x)=\int (\frac{1/2x}{x^2+1}-\frac{1/2x}{x^2+3})dx$

$f(x)=\frac{1}{2}\int \frac{x}{x^2+1}dx-\frac{1}{2}\int \frac{x}{x^2+3}dx$

माना $u=x^2+1⟹du=2xdx$

माना $v=x^2+3⟹dv=2xdx$

$f(x)=\frac{1}{4}\int \frac{du}{u}-\frac{1}{4}\int \frac{dv}{v}$

$f(x)=\frac{1}{4}\ln |u|-\frac{1}{4}\ln |v|+K$

$f(x)=\frac{1}{4}\ln |x^2+1|-\frac{1}{4}\ln |x^2+3|+K$

$f(x)=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x^2+1}{x^2+3}\right|+K$

दिया गया है $f(3)=\frac{1}{4}\log \left(\frac{5}{6}\right)$

$f(3)=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{3^2+1}{3^2+3}\right|+K$

$f(3)=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{10}{12}\right|+K$

$f(3)=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{5}{6}\right|+K$

$\frac{1}{4}\log \left(\frac{5}{6}\right)=\frac{1}{4}\log \left(\frac{5}{6}\right)+K⟹K=0$

$f(x)=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x^2+1}{x^2+3}\right|$

f(0) ज्ञात करना है:

$f(0)=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{0^2+1}{0^2+3}\right|$

$f(0)=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{1}{3}\right|$

∴ $f(0)=\frac{1}{4}\log \left(\frac{1}{3}\right)$

इसलिए विकल्प 1 सही है।

गणना

दिया गया समाकल है:

$\int \frac{\log (1+x^4)}{x^3}dx=f(x)\log \left(\frac{1}{g(x)}\right)+{\tan }^{-1}(h(x))+c$

मान लीजिए, $u=\log (1+x^4)$ और $dv=\frac{1}{x^3}dx$.

तब $du=\frac{4x^3}{1+x^4}dx$ और $v=-\frac{1}{2x^2}$.

खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:

$\int \frac{\log (1+x^4)}{x^3}dx=uv-\int vdu$

$=-\frac{\log (1+x^4)}{2x^2}-\int (-\frac{1}{2x^2})\frac{4x^3}{1+x^4}dx$

$=-\frac{\log (1+x^4)}{2x^2}+\int \frac{2x}{1+x^4}dx$

मान लीजिए, $x^2=t$ है, इसलिए $2xdx=dt$ 

समाकल बन जाता है:

$\int \frac{2x}{1+x^4}dx=\int \frac{dt}{1+t^2}={\tan }^{-1}(t)+C={\tan }^{-1}(x^2)+C$

$\int \frac{\log (1+x^4)}{x^3}dx=-\frac{\log (1+x^4)}{2x^2}+{\tan }^{-1}(x^2)+C$

$f(x)\log \left(\frac{1}{g(x)}\right)+{\tan }^{-1}(h(x))+c$ से तुलना करने पर:

$f(x)=\frac{1}{2x^2}$

$g(x)=1+x^4$

$h(x)=x^2$

$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}=\frac{x^2}{2}$

$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2x^2}+\frac{x^2}{2}=\frac{1+x^4}{2x^2}$

$h(x)[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)]=x^2\left(\frac{1+x^4}{2x^2}\right)=\frac{1+x^4}{2}$

∴ $h(x)[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)]=\frac{1+x^4}{2}=\frac{g(x)}{2}$

संकल्पना:

आंशिक भिन्न:

गणना:

यहाँ हमें $\int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}$ का मान ज्ञात करना है। 

माना कि $\frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}$ है। 

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1) के दोनों पक्षों में x = 0 रखने पर हमें A = 1/2 प्राप्त होता है,

(1) के दोनों पक्षों में x = - 2 रखने पर हमें B = - 1/2 प्राप्त होता है,

$\Rightarrow \frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x+4}$

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+2}$

चूँकि हम जानते हैं कि $\int \frac{dx}{x}=\log \left|x\right|+C$ जहाँ C एक स्थिरांक है। 

$\Rightarrow \int \frac{dx}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\log \left|\frac{x}{x+2}\right|+C$ जहाँ C एक स्थिरांक है। 

प्रयुक्त सूत्र:

$\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}+\mathrm{C}$

logax - logay = $\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{a}}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$

गणना:

$\int \frac{dx}{x(x^2+1)}$

= $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+1}$

= $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}-\int \frac{\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+1}$

= ln x - $\frac{1}{2}\mathrm{l}\mathrm{n}|1+{\mathrm{x}}^2|$ + c

=  $\frac{1}{2}\ln x^2-$$\frac{1}{2}\mathrm{l}\mathrm{n}|1+{\mathrm{x}}^2|$ + c

= $\frac{1}{2}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^2+1}\right)+\mathrm{C}$

∴$\int \frac{dx}{x(x^2+1)}$  

$\frac{1}{2}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^2+1}\right)+\mathrm{C}$ के बराबर है|

संकल्पना:

आंशिक भिन्न विधि का प्रयोग करने पर 

$\frac{1}{(\mathrm{x}-\mathrm{a}).(\mathrm{x}-\mathrm{b})}$ = $\frac{A}{(x-a)}$ + $\frac{B}{(x-b)}$

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\log \left|\mathrm{x}\right|+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{(\mathrm{x}-2)\left(\mathrm{x}-1\right)}$

⇒ $\frac{1}{(\mathrm{x}-2).(\mathrm{x}-1)}$ = $\frac{A}{(x-2)}$ + $\frac{B}{(x-1)}$

⇒ 1 = A(x - 1) + B(x - 2)

दोनों पक्षों में गुणांक की तुलना करने पर

x का गुणांक A + B = 0 है। 

स्थिरांक 1 का गुणांक = -A - 2B

समीकरण को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

A = 1, B = -1

⇒ $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{(\mathrm{x}-2)\left(\mathrm{x}-1\right)}$ = $\int \frac{dx}{(x-2)}$ - $\int \frac{dx}{(x-1)}$

⇒ log|x - 2| - log|x - 1| + c       

= $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left|\frac{(\mathrm{x}-2)}{(\mathrm{x}-1)}\right|+\mathrm{c}$                             [∵ log m - log n = log($\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$)]

संकल्पना:

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = $\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}$+ C ; n ≠ -1
• $\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\ln \mathrm{x}$ + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

गणना:

I = $\int \frac{5\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

I = $\int \frac{5\mathrm{x}}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+4)}\mathrm{d}\mathrm{x}$

I = $\int \frac{(\mathrm{x}+4)+(4\mathrm{x}-4)}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+4)}\mathrm{d}\mathrm{x}$

I = $\int \frac{1}{\mathrm{x}-1}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{4}{\mathrm{x}+4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

I = ln (x - 1) + 4 ln (x + 4) + c

संकल्पना:

• $\int \frac{1}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{x}+\mathrm{a}|+\mathrm{C}$
• $\int \frac{1}{(\mathrm{x}+\mathrm{a}{)}^{\mathrm{n}}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{1}{(1-\mathrm{n})(\mathrm{x}+\mathrm{a}{)}^{\mathrm{n}+1}}+\mathrm{C}$

गणना:​

हल करना है: $\int \frac{2{\mathrm{x}}^3}{({\mathrm{x}}^2+7{)}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

माना कि हम $\int \frac{2{\mathrm{x}}^3}{({\mathrm{x}}^2+7{)}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}$ में x2 = t ⇒2xdx = dt रखते हैं। 

⇒ $\int \frac{2{\mathrm{x}}^3}{({\mathrm{x}}^2+7{)}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\int \frac{\mathrm{t}}{(\mathrm{t}+7{)}^2}\mathrm{d}\mathrm{t}$

यह समाकल्य एक उपयुक्त परिमेय भिन्न है। इसलिए, आंशिक भिन्न के रूप का प्रयोग करने पर, हम इसे निम्न रूप से लिखते हैं

⇒ $\frac{\mathrm{t}}{(\mathrm{t}+7{)}^2}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{t}+7}+\frac{\mathrm{B}}{(\mathrm{t}+7{)}^2}$

⇒ t = At + 7A + B 

t का गुणांक और दोनों पक्षों पर स्थिरांक पदों की तुलना करने पर, हमें A = 1 और 7A + B = 0 प्राप्त होता है

इन समीकरणों को हल करने पर, हमें A = 1 और B = -7 प्राप्त होता है

$\Rightarrow \frac{\mathrm{t}}{(\mathrm{t}+7{)}^2}=\frac{1}{\mathrm{t}+7}-\frac{7}{(\mathrm{t}+7{)}^2}$

⇒ $\int \frac{\mathrm{t}}{(\mathrm{t}+7{)}^2}\mathrm{d}\mathrm{t}=\int \frac{1}{\mathrm{t}+7}\mathrm{d}\mathrm{t}-\int \frac{7}{(\mathrm{t}+7{)}^2}\mathrm{d}\mathrm{t}$

⇒ $\int \frac{\mathrm{t}}{(\mathrm{t}+7{)}^2}\mathrm{d}\mathrm{t}=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|\mathrm{t}+7|+\frac{7}{(\mathrm{t}+7)}+\mathrm{C}$ 

अब उपरोक्त समीकरण में t = x² रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ $\int \frac{2{\mathrm{x}}^3}{({\mathrm{x}}^2+7{)}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}|{\mathrm{x}}^2+7|+\frac{7}{({\mathrm{x}}^2+7)}+\mathrm{C}$

प्रयुक्त अवधारणा:
${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$
साथ ही, sin (π/2 - x) = cos x 
और cos (π/2 - x) = sin x 
$\sin x=\frac{2\tan x/2}{1+{\tan }^{2}x/2},$ $\cos x=\frac{1-{\tan }^{2}x/2}{1+{\tan }^{2}x/2}$

साथ ही, $\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c$

गणना:

माना $I={\int }_0^{\pi /2}\frac{{\cos }^{2}x}{\sin x+\cos x}dx\dots (1)$
 ⇒ $I={\int }_0^{\pi /2}\frac{{\cos }^2(\pi /2-x)}{\sin ({\pi }_2-x)+\cos ({\pi }_2-x)}dx$
 ⇒ $I={\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{2}x}{\sin x+\cos x}dx\cdots \text{(2)}$
(1) और (2) को जोड़ने पर,
 ⇒ $2I={\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x+\cos x}dx$
 ⇒ $2I={\int }_0^{\pi /2}\frac{1}{\sin x+\cos x}dx$

अब, माना $I_1=\int \frac{1}{\sin x+\cos x}dx$

$\Rightarrow I_1=\int \frac{dx}{\frac{2{\tan }^{2}x/2}{1+{\tan }^{2}x/2}+\frac{1-{\tan }^{2}x/2}{1+{\tan }^{2}x/2}}$
⇒ $I_1=\int \frac{1+{\tan }^{2}x/2}{2\tan x/2+1-{\tan }^{2}x/2}dx$

⇒ $I_1=\int \frac{{\sec }^{2}x/2dx}{2\tan x/2+1-{\tan }^{2}x/2}$

tan x/2 = t रखने पर, 
 ⇒ $\frac{1}{2}{\sec }^{2}x/2=\frac{dt}{dx}$
 ⇒ ${\sec }^{2}x/2dx=2dt$

⇒ I_{1$=2\int \frac{dt}{2t+1-t^2}$}
⇒ I1 $=-2\int \frac{dt}{t^2-2t-1}$
⇒ I1$=-2\int \frac{dt}{t^2-2t-1+1-1}$
⇒ I1 $=-2\int \frac{dt}{(t-1{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}$
⇒ I1 $=2\int \frac{dt}{(\sqrt{2}{)}^2-(t-1{)}^2}$
 ⇒I1 $=2\frac{1}{2\sqrt{2}}\log \left|\frac{\sqrt{2}+t-1}{\sqrt{2}-t+1}\right|+c$
⇒ I1 $=\frac{1}{\sqrt{2}}\log \left|\frac{\sqrt{2}+\tan x/2-1}{\sqrt{2}-\tan x/2+1}\right|+c$
I में I₁ का उपर्योग करने पर, 

$\Rightarrow I=\frac{1}{2\sqrt{2}}[\ln \left|\frac{\sqrt{2}+\tan \pi /4-1}{\sqrt{2}-\tan \pi /4+1}\right|-\ln \left|\frac{\sqrt{2}+\tan 0-1}{\sqrt{2}-\tan 0+1}\right|]$
$\Rightarrow I=\frac{1}{2\sqrt{2}}[\ln \left|\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right|-\ln \left|\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right|]$
$\Rightarrow I=\frac{1}{2\sqrt{2}}[-\ln \left|\frac{(\sqrt{2}-1{)}^2}{(\sqrt{2}{)}^2-1^2}\right|]$
$\Rightarrow I=\frac{-1}{2\sqrt{2}}\ln \left|\frac{2+1-2\sqrt{2}}{2-1}\right|$
$\Rightarrow I=\frac{-1}{2\sqrt{2}}\ln |3+2\sqrt{2}|$