Indefinite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Indefinite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

\(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
खंडश: समाकलन से: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

गणना:

\(\int e^{\sin x} \sin 2x \, dx = \int e^{\sin x} (2 \sin x \cos x) \, dx\)

⇒ मान लीजिए, \(\sin x = t\), तब \(\cos x \, dx = dt\)

समाकल बन जाता है, \(\int e^t (2t) \, dt = 2 \int t e^t \, dt\)

⇒ \(2 \int t e^t \, dt = 2 \left( te^t - \int e^t \, dt \right) = 2 \left( te^t - e^t \right) + C\)

⇒ \(2 \left( (\sin x) e^{\sin x} - e^{\sin x} \right) + C = 2e^{\sin x}(\sin x - 1) + C\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना

दिया गया है:

\(\int e^x \left[ \frac{x^2+1}{(x+1)^2} \right] dx\)

\(x^2 + 1 = x^2 - 1 + 2 = (x^2 - 1) + 2\)

इसलिए, समाकल बन जाता है:

\(\int e^x \left[ \frac{(x^2-1) + 2}{(x+1)^2} \right] dx\)

⇒ \(\int e^x \left[ \frac{(x-1)(x+1) + 2}{(x+1)^2} \right] dx\)

⇒ \(\int e^x \left[ \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \right] dx\)

\(\frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}\)

समाकल बन जाता है:

⇒ \(\int e^x \left[ 1 - \frac{2}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \right] dx\)

⇒ \(\int e^x \left[ 1 - 2\left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} \right) \right] dx\)

हम जानते हैं कि \(\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C\)

मान लीजिए, \(f(x) = \frac{x-1}{x+1}\), तब

\(f'(x) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}\)

इसलिए, हम लिख सकते हैं:

⇒ \(\int e^x \left[ \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} \right] dx = e^x \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C\)

∴ \(\int e^x \left[ \frac{x^2+1}{(x+1)^2} \right] dx = e^x \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

Solving the indefinite integral,

\( \displaystyle I_1=\int { x{ sec }^{ 2 } } xdx \\ \)

Applying integral by parts,

\( \Rightarrow \displaystyle I_1=x\tan { x } -\int { \tan { x } } dx \)

\( \Rightarrow \displaystyle I_1= x\tan { x } +\ln { cosx } +C \)

The value of the indefinite integral,

\( \Rightarrow \displaystyle I= \left[x\tan { x } +\ln { cosx } \right]_0^\frac{\pi}{4} \)

\( \Rightarrow \displaystyle I= \left[\dfrac{\pi}{4}\tan { \dfrac{\pi}{4} } +\ln { \cos \dfrac{\pi}{4} } \right]-[0-\ln(\cos 0)] \)

\( \Rightarrow I=\dfrac { \pi }{ 4 } +\ln { \dfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } \)

व्याख्या:

U(x).V(x) = \(x\sqrt{x^2+1}\)

= \(\sqrt{x^4+x^2}\)

इसलिए, विकल्प (a) सही है

संकल्पना:

1 + cos 2x = 2cos² x

1 - cos 2x = 2sin² x

\(\rm \int \cos x\;dx = \sin x + c\)

गणना:

I = \(\rm \int cos^2 x\;dx\)

= \(\rm \int \frac{1+\cos 2x}{2}\;dx\)

= \(\rm \frac{1}{2}\int (1+\cos 2x)\;dx\)

= \(\rm \frac{1}{2} \left[x+\frac{\sin 2x}{2} \right ] + c\)

= \(\rm \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} + c\)

संकल्पना:

\(\rm \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= \sin^{-1 } \left(\frac{x}{a} \right ) + c\)

गणना:

I = \(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-25x^2}}dx\)

= \(\rm \int \frac {1}{\sqrt{16-(5x)^2}}dx\)

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = \(\rm \frac {dt}{5}\)

अब, 

I = \(\rm \frac {1}{5}\int \frac {1}{\sqrt{4^2-t^2}} dt\)

= \(\rm \frac 1 5 \sin^{-1} \left(\frac t 4 \right)\) + c

= \(\rm \frac 1 5 \sin^{-1} \left(\frac {5x} {4} \right)\) + c

संकल्पना:

\(\rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +c\)

गणना:

I = \(\rm \int \sqrt{2x+3}\;dx\)

माना कि 2x + 3 = t² है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2dx = 2tdt

⇒ dx = tdt

अब, 

I = \(\rm \int \sqrt{t^2}\; \times tdt\)

= \(\rm \int t^2 \;dt\)

= \(\rm \frac {t^3}{3} + c\)

∵ 2x + 3 = t2

⇒  (2x + 3)1/2 = t

⇒ (2x + 3)3/2 = t3

⇒ I = \(\rm \frac {(2x+3)^{3/2}}{3} + c\)

संकल्पना:

\(\rm \int \sin x \; dx = -\cos x + c\)

गणना:

I = \(\rm \int \sin 5x\;dx \)

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = \(\rm \frac{dt}{5} \)

अब,

I = \(\rm \frac 1 5 \int \sin t\;dt \)

= \(\rm \frac 1 5 (-\cos t) + c\)

= \(\rm \frac{-\cos 5x}{5} + c\)

संकल्पना:

मानक समाकल से:

\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qacqGHRiI8daWcaaWdaeaapeGaamizaiaadIhaa8aabaWdbiaadIha % paWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadggapaWaaWbaaS % qabeaapeGaaGOmaaaaaaGccqGH9aqpdaWcaaWdaeaapeGaaGymaaWd % aeaapeGaaGOmaiaadggaaaGaamiBaiaad+gacaWGNbWaaqWaa8aaba % Wdbmaalaaapaqaa8qacaWG4bGaeyOeI0IaamyyaaWdaeaapeGaamiE % aiabgUcaRiaadggaaaaacaGLhWUaayjcSdaaaa!4EB0! \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}} = \frac{1}{{2a}}log\left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right|\)\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{x^2} - a^2}}=\frac{1}{2a}log \ |\frac{x-a}{x+a}|+C, \ x>a\)

गणना:

\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 4}}dx\)

\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{({e^{x})^2} - (2)^2}}dx\)

माना कि t = e^x है। 

dt = e^x dx

\(\smallint \frac{{{dt}}}{{({t)^2} - (2)^2}}\)

मानक समाकल से:

\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8 % qacqGHRiI8daWcaaWdaeaapeGaamizaiaadIhaa8aabaWdbiaadIha % paWaaWbaaSqabeaapeGaaGOmaaaakiabgkHiTiaadggapaWaaWbaaS % qabeaapeGaaGOmaaaaaaGccqGH9aqpdaWcaaWdaeaapeGaaGymaaWd % aeaapeGaaGOmaiaadggaaaGaamiBaiaad+gacaWGNbWaaqWaa8aaba % Wdbmaalaaapaqaa8qacaWG4bGaeyOeI0IaamyyaaWdaeaapeGaamiE % aiabgUcaRiaadggaaaaacaGLhWUaayjcSdaaaa!4EB0! \smallint \frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}} = \frac{1}{{2a}}log\left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right|\)\(\smallint \frac{{{dt}}}{{({t)^2} - (2)^2}}=\frac{1}{4}log \ |\frac{t-a}{t+a}|+C\)

उपरोक्त समीकरण में t = ex रखने पर:

\(\smallint \frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 4}}dx=\frac{1}{4}\log \left| {\frac{{{e^x} - 2}}{{{e^x} + 2}}} \right| + C\)

सूचना:

समाकलन के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र निम्न हैं:

\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{a^2} - x^2}}=\frac{1}{2a}log \ |\frac{a+x}{a-x}|+C, \ x

\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{\sqrt{{a^2} - x^2}}}}=sin^{-1}(\frac{x}{a})+C\)

\(\smallint \frac{{{dx}}}{{{\sqrt{{x^2} + a^2}}}}=log (\ x + \sqrt{a^2+x^2}) +C\)

धारणा:

• \(\smallint {\rm{se}}{{\rm{c}}^2}{\rm{x\;dx}} = \tan {\rm{x}} + {\rm{\;C}}\)
• \(\smallint \sec {\rm{x}}\tan {\rm{x\;dx}} = \sec {\rm{x}} + {\rm{c}}\)

गणना:

माना कि I = \(\smallint \frac{{\sin {\rm{x}}}}{{{{\left( {\cos {\rm{x}}} \right)}^3}}}{\rm{dx}}\) 

\( = {\rm{\;}}\smallint \tan {\rm{x\;}}{\sec ^2}{\rm{x\;dx}}\)

माना कि tan x = t

⇒ sec²x dx = dt

इसलिए समाकल बन जाता है।

\(= {\rm{\;}}\smallint {\rm{t\;dt}}\)

\( = \frac{{{{\rm{t}}^2}}}{2} + {\rm{\;C}}\)

t = tan x पुनः स्थानापन्न करें।

इसप्रकार,

\( = {\rm{\;}}\frac{{{{\tan }^2}{\rm{x}}}}{2} + {\rm{\;C}}\)

अवधारणा:

\(\rm \int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

\(\rm \int f(x)dx^2\) = \(\rm \int (1 + x^{2} + x^{4})d(x^2)\) .....(i)

गणना:

माना, x2 = u

समीकरण (i) से

\(\rm \int f(x)dx^2\) = \(\rm \int (1 + u + u^{2})du\)

= u + \(\rm \frac{u^{2}}{2}\) + \(\rm \frac{u^{3}}{3}\) + C

अब  u का मान रखते हुए,

​⇒ \(\rm \int f(x)dx^2\) = x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C

∴ आवश्यक समाकलन x2 +​ \(\rm \frac{x^{4}}{2}\) + \(\rm \frac{x^{6}}{3}\) + C है

धारणा:

• \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{n}+1}}}}{{\rm{n+1}}} + {\rm{c}}\)

गणना:

माना कि I = \(\smallint {\sin ^3}x\cos x\;dx\)

माना कि sin x = t

अब दोनों पक्षों का अवकलन करते हुए हम प्राप्त करते हैं

⇒ cos x dx = dt

अब

\({\rm{I\;}} = \smallint {\sin ^3}{\rm{x}}\cos {\rm{x\;dx}} = {\rm{\;}}\smallint {{\rm{t}}^3}{\rm{dt}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{t}}^4}}}{4} + {\rm{c}}\)

\(\Rightarrow {\rm{I\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\sin }^4}{\rm{x}}}}{4} + {\rm{c}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}{\rm{x}}} \right)}^2}}}{4} + {\rm{c\;}}\)

∴ विकल्प 4 सही उत्तर है

अवधारणा:

• cos 2x = cos²x - sin²x

गणना:

\(\int\frac{\cos2x}{\cos^2x.\sin^2x}dx\)

= \(\int\frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{\cos^2x.\sin^2x}dx \)

= \(\rm \int \left ( \frac{1}{sin^{2}x}-\frac{1}{cos^{2}x} \right )dx\)

= \(\rm \int \frac{1}{sin^{2}x}dx-\int \frac{1}{cos^{2}x} dx\)

= \(\rm \int cosec^{2}xdx-\int sec^{2}x dx\)

= -cot x - tan x + C

अवधारणा:

\(\rm \displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx= \log x + c\)

गणना:

\(\rm \text{Let I}=\displaystyle\int \dfrac{1}{1+e^x}dx \\=\rm\displaystyle\int \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1}dx \)

मान लीजिये कि e^-x + 1 = t

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलती है

⇒ -e^-x dx = dt

∴ e-x dx = -dt

\(\rm =\displaystyle\int \dfrac{-dt}{t}\\= -\log t + c\\=-\log (e^{-x}+1)+c\\=\log \left(\frac{1}{e^{-x}+1} \right )+c\\=\log \left(\frac{e^x}{1+e^x} \right )+c\)