वृत्त, जीवायें और स्पर्शरेखा MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Circles, Chords and Tangents - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

उनके क्षेत्रफलों का योगफल =  74 π वर्ग सेमी

उनके केंद्रों के बीच की दूरी = 12 सेमी 

प्रयुक्त सूत्र:

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

गणना:

माना कि वृत्त 1 की त्रिज्या = x

इसलिए, वृत्त 2 की त्रिज्या = 12 - x

वृत्त 1 का क्षेत्रफल = π(x)²

वृत्त 2 का क्षेत्रफल = π(12 - x)²

प्रश्नानुसार ⇒ π(x)² + π(12 - x)² = 74π

⇒ x² + 144 - 24x + x² = 74 

⇒ 2x² - 24x + 70 = 0

⇒ x² - 12x + 35 = 0

⇒ (x - 7)(x - 5) = 0

⇒ x = 7 ⇒ x = 5 

∴ छोटे वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। 

दिया गया है:

PQ एक वृत्त के लघु वृत्तखंड में एक जीवा है।

R, लघु चाप PQ पर एक बिंदु है।

बिंदु P और Q पर स्पर्श रेखाएँ बिंदु T पर मिलती हैं।

∠PRQ = 102°

प्रयुक्त सूत्र:

केंद्र पर किसी चाप द्वारा बनाया गया कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसके द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली जीवा और स्पर्श रेखा के बीच का कोण, एकांतर खंड में कोण के बराबर होता है (स्पर्श रेखा-जीवा प्रमेय)।

एक चतुर्भुज में कोणों का योग 360° होता है।

गणना:

मान लीजिए कि O वृत्त का केंद्र है।

P, R, Q और दीर्घ चाप PQ पर किसी अन्य बिंदु S द्वारा निर्मित चक्रीय चतुर्भुज पर विचार करें।

दीर्घ खंड में किसी भी बिंदु पर जीवा PQ द्वारा बनाया गया कोण, ∠PRQ का संपूरक होगा।

परिधि पर दीर्घ चाप PQ द्वारा बनाया गया कोण ∠PRQ = 102° है।

परिधि पर लघु चाप PQ द्वारा (दीर्घ खंड पर) बनाया गया कोण 180° - 102° = 78° होगा।

∠PSQ = 180° - ∠PRQ (क्योंकि यदि S दीर्घ चाप पर है तो PRQS एक चक्रीय चतुर्भुज है)।

इसलिए, ∠PSQ = 180° - 102° = 78°

केंद्र O पर लघु चाप PQ द्वारा बनाया गया कोण, अर्थात् ∠POQ, परिधि पर दीर्घ खंड में इसके द्वारा बनाए गए कोण (∠PSQ) का दोगुना है।

⇒ ∠POQ = 2 × ∠PSQ

⇒ ∠POQ = 2 × 78°

⇒ ∠POQ = 156°

अब, चतुर्भुज TPOQ पर विचार करें। TP और TQ क्रमशः P और Q पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।

चतुर्भुज TPOQ में कोणों का योग 360° है।

⇒ ∠PTQ + ∠TPO + ∠POQ + ∠TQO = 360°

⇒ ∠PTQ + 90° + 156° + 90° = 360°

⇒ ∠PTQ + 336° = 360°

⇒ ∠PTQ = 360° - 336°

⇒ ∠PTQ = 24°

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

AB || CD (AB, CD के समानांतर है)

तिर्यक रेखा और AB के बीच का कोण = 80°

दूसरी तिर्यक रेखा और CD के बीच का कोण = 20°

O पर कोण = x

प्रयुक्त अवधारणा:

जब दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करती है, तो एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं।

किसी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

रचना:

बिंदु O से गुजरने वाली AB और CD के समानांतर एक रेखा EF खींचिए।

गणना:

चूँकि AB || EF, एकांतर अंतः कोण बराबर हैं।

इसलिए, ∠BAO = ∠AOE = 80°

चूँकि CD || EF, एकांतर अंतः कोण बराबर हैं।

इसलिए, ∠DCO = ∠COF = 20°

अब, बिंदु O पर कोण x (∠AOC) पर विचार करें। यह कोण ∠AOE और ∠COF का योग है।

x = ∠AOE + ∠COF

x = 80° + 20°

x = 100°

इसलिए, x का मान 100° है।

AT = 6 सेमी, AB = 10 सेमी तथा TB = ?

∵ TB ┴ AT

समकोण △ATB में

पाइथागोरस प्रमेय के द्वारा

(AB)² = (AT)² + (TB)²

⇒ (10)² = 6² + (TB)²

⇒ TB = 8

वृत्त की त्रिज्या (r) TB है = 8 सेमी

हमें ज्ञात है कि व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है

अवधारणा:

चूंकि हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा समान जीवा को लंबवत रूप से प्रतिछेदित करती है।

गणना:

पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 15/2 और दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 13/2

उभयनिष्ट जीवा की लंबाई = AB = 12 सेमी

माना कि c = उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई/2 = 12/2 = 6

केंद्रों के बीच की दूरी को प्राप्त करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं

⇒ √((r1)² - c²) + √((r2)² – c²)

⇒ √{(7.5)² - 6²} + √{(6.5)² – 6²}

⇒ √20.25 + √6.25

⇒ 4.5 + 2.5 = 7 सेमी

दिया गया है∶

AB ∥ CD, और 

AB = 10 सेमी, CD = 24 सेमी

त्रिज्याएँ OA और OC = 13 सेमी

प्रयुक्त सूत्र∶

केंद्र से जीवा पर लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।

पाइथागोरस प्रमेय

गणना∶

AB और CD पर लंबवत OP खींचिए, तथा

AB ∥ CD, इसलिए, बिंदु O, Q, P संरेख हैं।

हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

AP = 1/2 AB = 1/2 × 10 = 5 सेमी

CQ = 1/2 CD = 1/2 × 24 = 12 सेमी

OA और OC को मिलाइए 

तब, OA = OC = 13 सेमी

समकोण ΔOPA से, हमें प्राप्त है

OP² = OA² -  AP²      [पाइथागोरस प्रमेय]

⇒ OP² = 13²- 5²

⇒ OP2 = 169 - 25 = 144

⇒ OP = 12 सेमी

समकोण ΔOQC से, हमें प्राप्त है

OQ² = OC²- CQ²      [पाइथागोरस प्रमेय]

⇒ OQ2 = 13² - 12²

⇒ OQ2 = 169 - 144 = 25

⇒ OQ = 5 

इसलिए, PQ = OP - OQ = 12 -5 = 7 सेमी

∴ जीवाओं के बीच की दूरी 7 सेमी है।

अवधारणा:

त्रिज्या संपर्क बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।

चतुर्भुज के सभी कोणों का योग = 360°

गणना:

PA और PB बाहरी बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।

∠OAP = ∠OBP = 90° (त्रिज्या संपर्क के बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है)

अब, चतुर्भुज OAPB में,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360° 

75° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

इस प्रकार, दो त्रिज्याओं, OA और OB के बीच का कोण 105° है।

दिया गया है:

प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = 7 सेमी

BD = दो वृत्तों के बीच अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा = 48 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

सीधी अनुप्रस्थ स्पर्शरेखाओं की लंबाई = √(वृत्तों के बीच की दूरी का वर्ग - वृत्तों की त्रिज्या के योग का वर्ग)

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई =√(वृत्तों के बीच की दूरी का वर्ग - वृत्तों की त्रिज्या के बीच के अंतर का वर्ग)

गणना:

AC = सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई

BD = सीधी अनुप्रस्थ स्पर्श रेखाओं की लंबाई

माना, दो वृत्तों के बीच की दूरी = x सेमी है,

इसलिए, BD = √[x2 - (7 + 7)2]

⇒ 48 = √(x2 - 142)

⇒ 48² = x2  - 196 [दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं]

⇒ 2304 = x2 - 196

⇒ x2 = 2304 + 196 = 2500

⇒ x = √2500 = 50 सेमी

साथ ही, AC = √[502 - (7 - 7)2]

⇒ AC = √(2500 - 0) = √2500 = 50 सेमी

∴ BD की लंबाई 48 सेमी है, AC की लंबाई 50 सेमी है।

हम जानते हैं,

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लम्बाई = √[d² - (R - r)²]

जहाँ d वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी तथा R और r वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं

PQ = √[(R + r)² - (R - r)²]

⇒ PQ = √[R² + r² + 2Rr - (R² + r² - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ² = 4Rr

अवधारणा:

तिर्यक प्रमेय 

यदि एक वृत्त की जीवा AB और जीवा CD एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है, तो

PA × PB = PC × PD

गणना:

माना वृत्त की त्रिज्या = r 

⇒ 8 × 20 = (18 - r) × (18 + r)

⇒ 160 = 324 - r2

⇒ r2 = 164

⇒ r = 12.8062 

∴ वृत्त की त्रिज्या 12.8 सेमी के निकटतम है। 

दिया गया है:

LC = 6, CD = 11, LB = 4 और AB = x 

प्रयुक्त सूत्र:

LC × LD = LB × AL 

गणना:

प्रश्न के अनुसार

LC × LD = LB × AL 

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x) 

⇒ 4 + x = 51/2 

⇒ 4 + x = 25.5 

⇒ x = AB = 21.5 

∴ AB की लंबाई 21.5 सेमी है।

दिया गया है:

AX = 24

XB = k

CX = (k + 2)

XD = 16

प्रयुक्त सूत्र:

यदि दो जीवाएं AB और CD एक दूसरे को बिंदु X पर प्रतिछेदित करतीं हैं।

तो, AX × XB = CX × XD

गणना:

AX × XB = CX × XD

⇒ 24 × k = (k + 2) × 16

⇒ 3k = 2(k + 2)

⇒ 3k - 2k = 4

⇒ k = 4

अतः, k का मान 4 हैI

दिया गया है:

\(∠ ARS = 125^\circ\)

अवधारणा:

अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।

एक वृत्त के एक ही खण्ड में बनने वाले कोणों की माप बराबर होगी।

गणना:

B और R को मिलाने पर BR बनती है।

∠ARS + ∠ARP = 180°  [रेखीय युग्म]

⇒ ∠ARP = 180° - 125° = 55° 

∠ARB = 90°    [अर्धवृत्त में बना कोण] 

⇒ ∠ARP + ∠BRP =  90° 

⇒ ∠BRP = 90° - 55° = 35° 

∠BRP = ∠PAB = 35°  [एक ही खंड में बने कोण]

∴ ∠PAB = 35°

दिया गया है:

AB = 4 सेमी और BC = 5 सेमी

अवधारणा:

स्पर्शरेखा छेदक खंड प्रमेय: यदि एक स्पर्शरेखा और छेदक एक वृत्त के बाहर एक सामान्य बिंदु पर मिलते हैं, तो बनाए गए खंडों का संबंध दो छेदक किरणों के समान होता है।

⇒ AD² = AB (AB + BC)      

गणना:

स्पर्श रेखा छेदक प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है,

AD2 = AB (AB + BC)     

⇒ AD2 = 4 (4 + 5)

⇒ AD2 = 36

⇒ AD = 6 सेमी

दिया गया है:

∠BAC = 60°

प्रयुक्त अवधारणा:

एक वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर उसके द्वारा बनाए गए किसी भी बिंदु पर कोण का दोगुना होता है।

गणना:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120°