Center of Mass and Linear Momentum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Center of Mass and Linear Momentum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

मान लीजिये कि एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या n है। सममिति से, इसका द्रव्यमान केंद्र O प्रत्येक शीर्ष से समदूरस्थ होगा, अर्थात यह परिवृत्त वृत्त के केंद्र पर स्थित है। मान लीजिये कि परिवृत्त वृत्त की त्रिज्या r है और h किसी भी भुजा से O की लंबवत दूरी है। केंद्र O पर किसी भी भुजा द्वारा अंतरित कोण 2π/n है और ∠PON = π/n है।

जब बहुभुज शीर्ष P के परितः घूमता है (बिना फिसले या खिसके), बिंदु O, P पर केंद्रित r त्रिज्या के वृत्त में गति करता है। बिंदु O अधिकतम ऊँचाई (आकृति में बिंदु O') पर पहुँचता है जब PO', PQ के लंबवत होता है। इस प्रकार, द्रव्यमान केंद्र O के बिंदुपथ की ऊँचाई में अधिकतम वृद्धि इस प्रकार दी गई है:

Δ = r - h = h / cos(π/n) - h = h x (1 / cos(π/n) - 1)

इस प्रकार षट्भुज के लिए n= 6, ऊँचाई में परिवर्तन होगा Δ = h√3 [ 2- √3]

और स्थितिज ऊर्जा होगी mgΔ = mgh√3 [ 2- √3]

प्रयुक्त अवधारणा:

जब दो वस्तुएँ मुक्त रूप से गिर रही होती हैं (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए), तो उनकी गति गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा नियंत्रित होती है। निम्नलिखित बिंदु प्रासंगिक हैं:

त्वरण: सभी वस्तुओं को उनके द्रव्यमान की परवाह किए बिना गुरुत्वाकर्षण के कारण समान त्वरण (g = 9.8 m/s²) का अनुभव होता है।

संवेग: संवेग (p) = द्रव्यमान x वेग। चूँकि पिंडों के द्रव्यमान भिन्न हैं, इसलिए उनके संवेग भिन्न होंगे।

गतिज ऊर्जा: गतिज ऊर्जा = (1/2) x द्रव्यमान x वेग²। चूँकि द्रव्यमान भिन्न है, इसलिए गतिज ऊर्जा भी भिन्न होगी।

स्थितिज ऊर्जा: स्थितिज ऊर्जा = द्रव्यमान x g x ऊँचाई। पुनः, भिन्न द्रव्यमानों के कारण स्थितिज ऊर्जाएँ भिन्न होंगी।

∴ दोनों पिंडों के लिए समान मात्रा केवल त्वरण है।

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है: त्वरण।

सही विकल्प: (1) 21 NS है। 

v₁ = √(2gh₁)

= √(2 × 9.8 × 40)

= √784 = 28 m/s

v₂ = √(2gh₂) = √(2 × 9.8 × 10)

= √196 = 14 m/s

आवेग = Δp = m(v_f − v_i) = m(v₂ − (−v₁))

= (1/2)(14 − (−28))

संकल्पना:

• किसी निकाय के द्रव्यमान के केंद्र को किसी वस्तु या वस्तुओं की प्रणाली के सापेक्ष परिभाषित स्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह प्रणाली के सभी भागों की औसत स्थिति है, जिसे उनके द्रव्यमान के अनुसार भारित किया जाता है।
• एकसमान घनत्व वाली दृढ़ वस्तुओं की  स्थिति में, द्रव्यमान का केंद्र निकाय के केंद्र बिंदु पर स्थित होता है।
• उदाहरण के लिए - एक समान डिस्क, वलय आदि के द्रव्यमान का केंद्र इसके केंद्र में होगा। कुछ निकायों या निकायों की प्रणाली में, द्रव्यमान का केंद्र वस्तु पर नहीं होता है।
• गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके माध्यम से गुरुत्वाकर्षण बल किसी वस्तु या प्रणाली पर कार्य करता है। यदि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को एक समान मान लिया जाए।
• गुरुत्वाकर्षण का केंद्र तब द्रव्यमान के केंद्र के समान ही स्थिति में होता है। लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता हो।

स्पष्टीकरण:

द्रव्यमान का केंद्र गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खा भी सकता है और नहीं भी। 

बलयुग्म

• समान परिमाण के बलों का एक युग्म जो क्रिया की विभिन्न रेखाओं के साथ विपरीत दिशाओं में कार्य कर रहा हो, बलयुग्म या बलाघूर्ण के रूप में जाना जाता है।
• एक युग्म बिना स्थानांतरण के घूर्णन उत्पन्न करता है। 

उदाहरण:

• जब हम किसी बोतल का ढक्कन पलट कर खोलते हैं तो हमारी उंगलियां ढक्कन पर एक बल युग्म लगा रही होती हैं।

Additional Information

संकल्पना:

प्रभाव के दौरान ऊर्जा का क्षय प्रतिस्थापन गुणांक कहलाता है, जो एक अदिश राशि है।

e = (पृथक्करण का वेग) / (समीपगमन का वेग)

e = (v₁ - v₂) / (u₂ - u₁)

जहाँ, v = प्रभाव के बाद पिंड का वेग, u = प्रभाव से पहले पिंड का वेग

पूर्णतः प्रत्यास्थ संघट्ट के लिए, e = 1

अप्रत्यास्थ संघट्ट के लिए, e < 1

एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट के लिए, e = 0

नोट:

जब दो पिंड टकराते हैं, तो वे ऊर्जा का आदान-प्रदान करते हैं, और स्पष्ट रूप से उच्च ऊर्जा वाला पिंड अपनी कुछ ऊर्जा निम्न ऊर्जा वाले पिंड को स्थानांतरित करेगा। इसलिए, जिस पिंड का प्रारंभ में वेग अधिक था, अब उसका वेग कम होगा।

अवधारणा:

संवेग:

संवेग किसी निकाय के द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है। यह एक सदिश राशि है, जिसमें परिमाण और दिशा होती है।

• संवेग की इकाई kg m/s है।
• आयाम:[MLT^-1]

संवेग संरक्षण का नियम:

इस संरक्षण के नियम के अनुसार एक संवृत प्रणाली का कुल रैखिक संवेग समय के माध्यम से स्थिर रहता है, प्रणाली के भीतर अन्य संभावित परिवर्तन की परवाह किए बिना ।

P₁ = P₂

m₁ v₁ = m₂ v₂

जहाँ, P₁ =प्रणाली का प्रारंभिक संवेग, P₂ = प्रणाली का अंतिम संवेग, m₁ = पहले निकाय का द्रव्यमान, v₁ =पहले निकाय का वेग, m₂ =दूसरे निकाय का द्रव्यमान और v₂ = दूसरे निकाय का वेग।

गणना:

दिया गया है:  m₁ = 2 kg    m₂ = 3 kg     u₁ = 5 m/s        u₂ ​=  0 m/s

मान लीजिये संयुक्त निकाय का उभयनिष्ठ वेग V m/s है

संयुक्त निकाय का वेग      M = 2 + 3 = 5 kg

संवेग के संरक्षण के अनुसार

m₁ v₁ + m₂ v₂ = M V

⇒ (2 × 5) + (3 × 0) = 5 V

⇒ 10 + 0 = 5 V

⇒ V = 2 m/s

इसलिए दोनों गोलों का संयुक्त वेग 2 m/s है ।

अवधारणा:

गति का दूसरा नियम:

• संवेग परिवर्तन की दर लागू किये गये बल के समानुपाती होती है।

$F={\displaystyle \frac{\Delta p}{t}}$

F × t = Δ p

F बल है, t समय है, Δ p संवेग में परिवर्तन

गणना:

दिया गया है: प्रारंभिक संवेग p_i = 10 kg m s-1, बल (F) = 30 N, और समय (t) = 3 सेकंड

मान लीजिये अंतिम संवेग p_f है

• संवेग में परिवर्तन

⇒ Δ p = F × t

⇒ Δ p = 30 N × 3 s = 90 N s = 90 kg m s-1

• जैसा कि हम जानते हैं कि संवेग में परिवर्तन अंतिम संवेग और प्रारंभिक संवेग के बीच के अंतर के बराबर होता है, अर्थात,

⇒ Δ p = pf - pi 

⇒ pf = Δ p + pi

⇒ pf = 90 kg m s-1 + 10 kg m s-1 = 100 kg m s-1

• अत: सही विकल्प 100 kg m s-1 है

अवधारणा:

• संवेग (P) : द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग कहते हैं।
• संवेग का SI मात्रक kg m/s है।
• संवेग (P) = द्रव्यमान (m) × वेग (v)

व्याख्या :

P = m v

माना पिंड का प्रारंभिक वेग v

चूँकि पिंड का द्रव्यमान स्थिर है

तो, P1 = m v      ----(i)

प्रश्न के अनुसार

पिंड का नया वेग = 2v

नया संवेग (P2) = m × 2v

⇒ P2 = 2mv        ----(ii)

(ii) को (i) से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{2mv}{mv}$

⇒ P2 = 2 P1

∴ गति दोगुनी हो जाएगी।

Key Points 

• यदि किसी पिंड का वेग दोगुना कर दिया जाए तो उसका संवेग दुगना हो जाता है क्योंकि वेग उसके संवेग के समानुपाती होता है। अतः विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

• संघट्टन का प्रकार जिसमें गतिज ऊर्जा का नुकसान होता है और संघट्टन के बाद दोनों टकराने वाले कण एक साथ चलते हैं, उसे पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट कहा जाता है।
• इस प्रकार के संघट्ट में प्रत्यानयन का गुणांक 0 के बराबर होता है।
• इस संघट्ट में प्रणाली का संवेग स्थिर रहता है।

• संघट्ट से पूर्व संवेग(P1) = संघट्ट के बाद संवेग (P2)

P1 = m1u1 + m2u2

P2 = m1v1 + m2v2

गणना:

यहाँ, कार की गति 0 m/s है।

⇒ संघट्ट के बाद गति 8 m/s है।

"संवेग के संरक्षण का सिद्धांत" के अनुसार

⇒ इसलिए, 8 = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2) जहाँ m1 ट्रक का द्रव्यमान है, v1 ट्रक का वेग है, v2 कार का वेग है और m2 कार का द्रव्यमान है।

⇒ 8 = (2000 × 10 + m₂ × 0)/(2000 + m₂)

⇒ 16000 + 8 m₂ = 20000

इसलिए कार का द्रव्यमान 500 kg है।

अवधारणा :

• संवेग: गति में निकाय का एक गुण जो निकाय के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के बराबर होता है, संवेग कहलाता है।

P = mv

जहाँ P निकाय का संवेग है, m निकाय का द्रव्यमान है, और v निकाय का वेग है।

• संवेग संरक्षण: जब किसी प्रणाली में कोई बाहरी बल नहीं होता है तो प्रणाली का कुल संवेग (P) को संरक्षित किया जाएगा।
• गतिज ऊर्जा: किसी निकाय में उसकी गति के कारण होने वाली ऊर्जा को गतिज ऊर्जा के रूप में जाना जाता है।

संवेग के संदर्भ में गतिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी गई है:

$K=\frac{P^2}{2m}$

जहाँ K निकाय की गतिज ऊर्जा है, P निकाय का संवेग है और m निकाय का द्रव्यमान है।

गणना :

$K=\frac{P^2}{2M}$

माना कि P का प्रारंभिक मान = 100, m = 100

30% की वृद्धि के बाद P = 130

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i=\frac{P_i^2}{2m}=\frac{{100}^2}{2\times 100}=50$

अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f=\frac{P_f^2}{2m}=\frac{{130}^2}{2\times 100}=169/2$

गतिज ऊर्जा में % वृद्धि = $\frac{(K_f-K_i)}{K_i}\times 100=\frac{(\frac{169}{2}-50)}{50}\times 100=69$ %

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

• चिरसम्मत यांत्रिकी में जब एक वस्तु को कुछ प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है और जैसे-जैसे यह ऊपर जाता है वैसे इसका प्रारंभिक वेग गुरुत्वाकर्षण त्वरण के कारण कम होते रहता है, चूँकि यह नीचे की ओर क्रिया करता है।
• उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग शून्य हो जायेगा और उस स्थान तक पहुंचने के लिए लिए गए समय की गणना शुद्धगतिक समीकरण का प्रयोग करके की जा सकती है, जिसे निम्न रूप में व्यक्त किया गया है

v = u + gt

जहाँ अंतिम वेग = v, u = प्रारंभिक वेग, g= गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण और t = समय

व्याख्या:

दिया गया है:

तय की गई दुरी, s = 10 m

अंतिम वेग, v = 0 m/s

गुरुत्वीय त्वरण, g = 9.8 m/s²

वस्तु का त्वरण, a = –9.8 m/s² (उपर की ओर गति)

• वह वेग ज्ञात कीजिये जिसके साथ वस्तु को ऊपर की तरफ फेंका गया था

⇒ v2 = u2 + 2as

⇒ 0 = u2 + 2 × (–9.8 m/s2) × 10 m

⇒ –u2 = –2 × 9.8 × 10 m2/s2

⇒ u = 196 m2/s2

⇒ u = 14 m/s

अवधारणा:

• प्रक्षेप्य गति: प्रक्षेप्य गति, गुरुत्वीय त्वरण के अंतर्गत वायु में प्रक्षेपित किसी वस्तु की गति है।
• वस्तु को प्रक्षेप्य कहा जाता है, और इसके पथ को इसका प्रक्षेप पथ कहा जाता है।
  • प्रारंभिक वेग: प्रारंभिक वेग को x घटकों और y घटकों के रूप में दिया जा सकता है।

ux = u cosθ

uy = u sinθ

जहाँ, u का अर्थ प्रारंभिक वेग का परिमाण और θ का अर्थ प्रक्षेप कोण होता है।

• अधिकतम ऊँचाई: अधिकतम ऊँचाई तब होती है, जब vy = 0 होता है।

जहाँ, h अधिकतम ऊँचाई होती है।

• परास: गति की परास प्रतिबंध y = 0 द्वारा निर्धारित की जाती है।

जहाँ, R प्रक्षेप्य द्वारा तय की गई कुल दूरी होती है।

गतिज ऊर्जा (KE) = (1/2)m V2

गणना:

दिया गया है:

(ऊर्ध्वाधर के साथ कोण = 30°)

θ = 60° (क्षैतिज के साथ कोण 90o - 30o = 60o )

ux = u cosθ = u cos 60° = (1/2) u

uy = u sinθ = u sin 60° =√3/2 / 2

जमीन पर गतिज ऊर्जा, (KE) = (1/2)m u2 = K

शीर्ष पर, वेग = V = u / 2

शीर्ष पर गतिज ऊर्जा, (KE') = (1/2)m (u/2)2 = mu2/8 = K/4

इसलिए विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

• संवेग: संवेग किसी निकाय या कण के द्रव्यमान एवं वेग का गुणनफल है। यह एक सदिश राशि है।
  • संवेग परिमाण की मानक इकाई किलोग्राम-मीटर प्रति सेकंड (kg·m/s) है।

P = m v

जहाँ P = संवेग, m = निकाय का द्रव्यमान, v = निकाय का वेग

• रैखिक संवेग का संरक्षण: रेखीय संवेग संरक्षण के अनुसार गति में एक निकाय अपना कुल संवेग (द्रव्यमान और सदिश वेग का गुणनफल है) को बनाए रखता है जब तक कि उस पर कोई बाह्य बल नही लगाया जाता है।
• गणितीय रूप से-

प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग

P1 = P2

हम कह सकते हैं कि

M1V1 + M2V2 = 0

जहाँ M₁ = प्रक्षेप्य का द्रव्यमान, V₁ = प्रक्षेप्य का वेग, M₂ = टैंक का द्रव्यमान और V₂ = टैंक की अज्ञात प्रतिक्षेप गति

गणना:

दिया गया है कि-

M1 = 3 kg, V1 = 24 m/s, M2 = 0.4 टन = 400 kg

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

M1V1 + M2V2 = 0

(3 × 24) + (400 × V₂) = 0

V₂ = -0.18 m/s,

टैंक 0.18 m/s के परिमाण के साथ पीछे की दिशा में प्रतिक्षेप करता है।

तो विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति:

$x_{cm}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2+\dots +m_n{x}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}$

द्रव्यमान के केंद्र का वेग:

$V_{cm}=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2+\dots +m_n{v}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}$

द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण:

$a_{cm}=\frac{m_1{a}_1+m_2{a}_2+\dots +m_n{a}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}$

गणना:

${\overrightarrow{V}}_{cm}=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}$

$=\frac{2\times 20-4\times 10}{2+4}$ (ऋणात्मक, क्योंकि दोनों विपरीत दिशा में गति कर रहे हैं)

अवधारणा:

• गतिज ऊर्जा (K.E): अपनी गति के आधार पर एक निकाय के पास ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है ।

गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति इस प्रकार है:

$KE=\frac{1}{2}m{v}^2$

जहां m = निकाय का द्रव्यमान और v = निकाय का वेग

• संवेग (p): द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग कहा जाता है।

संवेग (p) = द्रव्यमान (m) × वेग (v)

गतिज ऊर्जा और रैखिक संवेग के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है:

जैसा कि हम जानते हैं,

 $KE=\frac{1}{2}m{v}^2$

अंश और हर को m से विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं

$KE=\frac{1}{2}\frac{m^2{v}^2}{m}=\frac{1}{2}\frac{{\left(mv\right)}^2}{m}=\frac{1}{2}\frac{p^2}{m}$ [p = mv]

$\therefore KE=\frac{1}{2}\frac{p^2}{m}$

$p=\sqrt{2mKE}$

गणना:

दिया गया है:

K.E1 = K.E2 = K.E (मान लीजिए)

m₁ = 1 kg और m₂ = 4 kg

संवेग और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है:

$P=\sqrt{2mK.E}$

लेकिन चूँकि K.E समान है।

∴ $P\propto \sqrt{m}$

अथवा $\frac{P_1}{P_2}=\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=1:2$

इसलिए विकल्प 1 सही है।