Center of Mass MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Center of Mass - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

मान लीजिये कि एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या n है। सममिति से, इसका द्रव्यमान केंद्र O प्रत्येक शीर्ष से समदूरस्थ होगा, अर्थात यह परिवृत्त वृत्त के केंद्र पर स्थित है। मान लीजिये कि परिवृत्त वृत्त की त्रिज्या r है और h किसी भी भुजा से O की लंबवत दूरी है। केंद्र O पर किसी भी भुजा द्वारा अंतरित कोण 2π/n है और ∠PON = π/n है।

जब बहुभुज शीर्ष P के परितः घूमता है (बिना फिसले या खिसके), बिंदु O, P पर केंद्रित r त्रिज्या के वृत्त में गति करता है। बिंदु O अधिकतम ऊँचाई (आकृति में बिंदु O') पर पहुँचता है जब PO', PQ के लंबवत होता है। इस प्रकार, द्रव्यमान केंद्र O के बिंदुपथ की ऊँचाई में अधिकतम वृद्धि इस प्रकार दी गई है:

Δ = r - h = h / cos(π/n) - h = h x (1 / cos(π/n) - 1)

इस प्रकार षट्भुज के लिए n= 6, ऊँचाई में परिवर्तन होगा Δ = h√3 [ 2- √3]

और स्थितिज ऊर्जा होगी mgΔ = mgh√3 [ 2- √3]

व्याख्या:

किसी वस्तु का द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु होता है जहाँ द्रव्यमान का वितरण सभी दिशाओं में समान होता है। एकसमान घनत्व वाली सममित वस्तुओं के लिए, द्रव्यमान केंद्र ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है। हालाँकि, कुछ वस्तुओं के लिए, द्रव्यमान केंद्र वस्तु के भौतिक पिंड के बाहर स्थित हो सकता है।

एक पेंसिल एक समान घनत्व वाली वस्तु है, इसलिए इसका द्रव्यमान केंद्र इसके पिंड के भीतर स्थित होता है। इसी प्रकार, एक पासा और एक शॉटपुट भी एकसमान घनत्व वाली वस्तुएँ हैं, इसलिए उनके द्रव्यमान केंद्र उनके पिंडों के भीतर स्थित होते हैं।

हालाँकि, एक चूड़ी एक खोखले केंद्र के साथ एक वृत्ताकार वलय है। द्रव्यमान वलय की परिधि के चारों ओर वितरित होता है, इसलिए द्रव्यमान केंद्र वलय के ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है, जो चूड़ी के भौतिक पदार्थ के बाहर होता है।

∴ सही उत्तर विकल्प 3: एक चूड़ी है।

व्याख्या:

दो अन्योन्य क्रिया करने वाले कणों की इस बंद प्रणाली में, चूँकि कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है। यह संवेग संरक्षण का एक मूल सिद्धांत है।

यह दिया गया है कि कणों के द्रव्यमान समान हैं (m₁ = m₂), और द्रव्यमान केंद्र विरामावस्था में है, इसलिए उनके संवेग परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।

इसलिए, कण m₂ का प्रक्षेप पथ, द्रव्यमान केंद्र के पार परावर्तित m1 के प्रक्षेप पथ का दर्पण प्रतिबिम्ब होना चाहिए। यह सुनिश्चित करता है कि दो कणों के संवेग एक दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे द्रव्यमान केंद्र की स्थिर स्थिति बनी रहती है।

परिणामस्वरूप, m₂ की गति m₁ की विपरीत दिशा में होगी, जिसमें द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर m₁ के पथ से सममित रूप से संबंधित पथ होगा।

प्रयुक्त अवधारणा:

छड़ों के एक निकाय के द्रव्यमान केंद्र (COM) का निर्धारण भारित औसत सूत्र का उपयोग करके किया जाता है:

X_COM = (Σm_ix_i) / Σm_i

Y_COM = (Σm_iy_i) / Σm_i

जहाँ:

m_i = प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान

(x_i, y_i) = प्रत्येक छड़ का केंद्र

गणना:

दिया गया द्रव्यमान और लंबाई:

छड़ AB: द्रव्यमान = 2m, केंद्र (a, 0) पर

छड़ BC: द्रव्यमान = 3m, केंद्र (2a, a) पर

छड़ CD: द्रव्यमान = 4m, केंद्र (a, 2a) पर

छड़ DA: द्रव्यमान = 5m, केंद्र (0, a) पर

द्रव्यमान मानों का योग:

⇒ कुल द्रव्यमान, M = 2m + 3m + 4m + 5m = 14m

X_COM ज्ञात करें:

⇒ XCOM = [(2m × a) + (3m × 2a) + (4m × a) + (5m × 0)] / 14m

⇒ XCOM = (2a + 6a + 4a) / 14

⇒ XCOM = (12a) / 14 = 6a/7

Y_COM ज्ञात करें:

⇒ YCOM = [(2m × 0) + (3m × a) + (4m × 2a) + (5m × a)] / 14m

⇒ YCOM = (0 + 3a + 8a + 5a) / 14

⇒ YCOM = (16a) / 14 = 8a/7

द्रव्यमान केंद्र (6a/7, 8a/7) पर स्थित है।

इस प्रकार a = 1m का मान विकल्प 1 देता है।

गणना:

चकती का द्रव्यमान = m

काटे गए भाग का द्रव्यमान = $\frac{\mathrm{m}}{16}$

$X_{com}=\frac{m\times 0-\frac{m}{16}\times 15}{m-\frac{m}{16}}$ = 1 cm

अवधारणा:

द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति:

$x_{cm}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2+\dots +m_n{x}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}$

द्रव्यमान के केंद्र का वेग:

$V_{cm}=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2+\dots +m_n{v}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}$

द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण:

$a_{cm}=\frac{m_1{a}_1+m_2{a}_2+\dots +m_n{a}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}$

गणना:

${\overrightarrow{V}}_{cm}=\frac{m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}$

$=\frac{2\times 20-4\times 10}{2+4}$ (ऋणात्मक, क्योंकि दोनों विपरीत दिशा में गति कर रहे हैं)

अवधारणा:

द्रव्यमान का केंद्र (RCM):

• कणों की प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र वह एकल बिंदु होता है जो उसी तरीके से गति करता है जिसमें एक एकल कण जिसमें प्रणाली का कुल द्रव्यमान है और जो उसी बाहरी बल द्वारा कार्यरत होकर गति करता है।
• गणितीय रूप से n - कणों के द्रव्यमान का केंद्र होगा-

${\overrightarrow{R}}_{CM}=\frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2+m_3{\overrightarrow{r}}_3-------m_n{\overrightarrow{r}}_n}{m_1+m_2+m_3-------m_n}$

• द्रव्यमान m₁ और m₂ होनेवाली दो-कण प्रणाली को मान लीजिए जो क्रमशः r₁ और r₂पर X-अक्ष पर स्थित हैं

• दो कणों के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु c पर है जो निम्न द्वारा दिया गया है:

$r_{cm}=\frac{m_1{r}_1+m_2{r}_2}{m_1+m_2}$

यहाँ,

m1 = पहले कण का द्रव्यमान, m2 = दूसरे कण का द्रव्यमान, r1 = इसके उद्गम से पहले कण की दूरी, r2 = इसके उद्गम से दूसरे कण की दूरी, rcm = इसके उद्गम से कणों के द्रव्यमान के केंद्र की दूरी

व्याख्या:

• दो कणों के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु c पर है जो निम्न द्वारा दिया गया है:

$r_{cm}=\frac{m_1{r}_1+m_2{r}_2}{m_1+m_2}$

यदि m₁ = m₂ = m 

$\Rightarrow r_{cm}=\frac{m_1{r}_1+m_2{r}_2}{m_1+m_2}=\frac{r_1+r_2}{2}$

• इसलिए, दो-कण प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र का सूत्र है 

$\Rightarrow r_{cm}=\frac{m_1{r}_1+m_2{r}_2}{m_1+m_2}$

अवधारणा

• द्रव्यमान का केंद्र: निकाय के द्रव्यमान का केंद्र एक बिंदु है जिस पर निकाय के पूरे द्रव्यमान केंद्रित माना जाता हैं।

 दो निकाय प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र के त्वरण की गणना इस परकार की जाती है:

$a_{com}=\frac{m_1{a}_1+m_2{a}_2}{m_1+m_2}$

जहाँ a_com द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण है, m₁ और m₂ दो निकायों का द्रव्यमान हैं, a₁ और a₂ त्वरण है

गणना:

दिया गया है: a₁ = 0 और a₂ = a;  दोनों कण समान हैं इसलिए द्रव्यमान समान होगा

मान लीजिये यह 'm' है

द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण:

$a_{com}=\frac{m_1{a}_1+m_2{a}_2}{m_1+m_2}$

$a_{com}=\frac{m\times 0+ma}{m+m}$

$a_{com}=\frac{ma}{2m}=\frac{a}{2}$

तो सही उत्तर विकल्प 2 है।

सही विकल्प 2 है।

अवधारणा :

• द्रव्यमान का केंद्र (RCM): निकाय के द्रव्यमान का केंद्र एक ऐसा बिंदु है जहां निकाय के संपूर्ण द्रव्यमान को उसकी स्थानांतरीय गति का वर्णन करने के लिए संकेंद्रित माना जाता है।
  • कणों की प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र वह एकल बिंदु होता है जो उसी एकल बिंदु की तरह गति करता है जिसमें प्रणाली का कुल द्रव्यमान है और समान बाहरी बल द्वारा कार्य किया गया है।
• n - कण के लिए गणितीय रूप से द्रव्यमान का केंद्र निम्न रूप में लिखा जाता है

${\overrightarrow{R}}_{CM}=\frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2+m_3{\overrightarrow{r}}_3-------m_n{\overrightarrow{r}}_n}{m_1+m_2+m_3-------m_n}$

व्याख्या:

• चूंकि एकसमान घन एक सममित निकाय है जिसके पूरे निकाय में इसके द्रव्यमान वितरण में कोई भिन्नता नहीं है। इसलिए यह इसका द्रव्यमान का केंद्र इसके भौगोलिक केंद्र पर होगा।

अवधारणा

• द्रव्यमान का केंद्र: निकाय के द्रव्यमान का केंद्र एक बिंदु है जिस पर निकाय के पूरे द्रव्यमान केंद्रित माना जाता हैं।

 दो निकाय प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र के त्वरण की गणना इस परकार की जाती है:

$x_{com}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2+m_3{x}_3}{m_1+m_2+m_3}$

जहाँ xcom x-निर्देशांक में द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति है, m1, m_2, और m3 तीन निकायों के द्रव्यमान x1, x2, और x₃, x-निर्देशांक पर अलग अलग द्रव्यमानों की स्थिति है

गणना:

दिया गया है: x1 = 0 x₂ = 5cm और x3 = 10 cm; m₁ = 1kg, m₂ = 2kg, और m₃ = 2kg

द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति:

$x_{com}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2+m_3{x}_3}{m_1+m_2+m_3}$

$x_{com}=\frac{1\times 0+2\times 5+2\times 10}{1+2+2}=\frac{30}{5}=6cm$

• तो उद्गम से द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति 6cm होगी।
• इसलिए सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

किसी वस्तु में कणों की संख्या को निकाय के सापेक्ष एक बिंदु को द्रव्यमान केंद्र के रूप में परिभाषित किया जाता है। x के द्रव्यमान केंद्र सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है:

${\mathrm{X}}_{\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{b}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{c}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{c}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{c}}}$

जहाँ,

x_a, x_b, और x_c कणों की स्थिति के x निर्देशांक हैं

m_a, m_b, और m_c कणों के द्रव्यमान हैं।

गणना:

प्रश्न से, हमें तीन कणों का द्रव्यमान केंद्र ज्ञात करना है।

माना कि तीन कण a, b और c हैं।

सबसे पहले, हमें a, b और c का निर्देशांक ज्ञात करना होगा।

⇒ (x, y)_a = (0, 0)

⇒ (x, y)_b = (1, 0)

$\because \left[\begin{array}{c}\tan 60=\frac{{\mathrm{y}}_{\mathrm{c}}}{0.5}\\ \Rightarrow \sqrt{3}\times 0.5={\mathrm{y}}_{\mathrm{c}}\\ \therefore {\mathrm{y}}_{\mathrm{c}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$

$\Rightarrow {\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)}_{\mathrm{c}}=\left(0.5,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

x के द्रव्यमान का केंद्र सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है:

${\mathrm{X}}_{\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{b}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{c}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{c}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{c}}}$

मानों को प्रतिस्थापित करने पर,

$\Rightarrow {\mathrm{X}}_{\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{50\left(0\right)+100\left(1\right)+150\left(\frac{1}{2}\right)}{50+100+150}$

$\Rightarrow {\mathrm{X}}_{\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{100+75}{300}$

$\Rightarrow {\mathrm{X}}_{\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{175}{300}$

$\therefore {\mathrm{X}}_{\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{7}{12}\mathrm{m}$

y के द्रव्यमान का केंद्र सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है:

${\mathrm{Y}}_{\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{{\mathrm{y}}_{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{b}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{c}}{\mathrm{m}}_{\mathrm{c}}}{{\mathrm{m}}_{\mathrm{a}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{c}}}$

जहाँ,

y_a, y_b, और y_c कणों की स्थिति के y निर्देशांक हैं

m_a, m_b, और mc कणों के द्रव्यमान हैं।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर,

$\Rightarrow {\mathrm{Y}}_{\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{50\left(0\right)+100\left(0\right)+150\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{50+100+150}$

$\Rightarrow {\mathrm{Y}}_{\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{75\left(\sqrt{3}\right)}{300}$

अवधारणा:

द्रव्यमान का केंद्र (R_CM):

• कणों की प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र वह एकल बिंदु होता है जो उसी तरीके से गति करता है जिसमें एक एकल कण प्रणाली का कुल द्रव्यमान गति करता है और उसी बाहरी बल द्वारा कार्यरत होता है।
• गणितीय रूप से N - कण के द्रव्यमान का केंद्र होगा-

${\overrightarrow{R}}_{CM}=\frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2+m_3{\overrightarrow{r}}_3-------m_n{\overrightarrow{r}}_n}{m_1+m_2+m_3-------m_n}$

व्याख्या:

• यहां, आगे की दिशा में ट्रॉली पर दौड़ती हुई लड़की दौड़ती हुई ट्रॉली पर केवल आंतरिक बल लगाएगी।
• केवल बाहरी बल निकाय के केंद्र गति को प्रभावित कर सकते हैं।
•  इस प्रकार, यहां आंतरिक बल ट्रॉली-लड़की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र के वेग में कोई बदलाव नहीं करेगा। इस प्रकार, विकल्प 3 सही है।
•  

अवधारणा:

• द्रव्यमान का केंद्र: निकाय का द्रव्यमान केंद्र एक बिंदु है जिस पर निकाय का पूरा द्रव्यमान केंद्रित प्रतीत होता है।
• बिंदु द्रव्यमान: निकाय, उस बिंदु पर एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में कार्य कर सकता है जिस पर सभी द्रव्यमान केंद्रित प्रतीत होते हैं अर्थात द्रव्यमान का केंद्र।
• गुरुत्वाकर्षण का केंद्र: निकाय के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, एक बिंदु है जिस पर निकाय के वजन को माना जा सकता है।

व्याख्या:

• विकल्प 1:गुरुत्वाकर्षण का केंद्र: निकाय के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, एक बिंदु है जिस पर निकाय के वजन को माना जा सकता है।
  • यह वह बिंदु है जहां गुरुत्वाकर्षण का बल निकाय पर कार्य करता है।
  • इसलिए यह कथन सही है।
•  विकल्प 2: द्रव्यमान का केंद्र: निकाय का केंद्र एक बिंदु है जिस पर निकाय का सम्पूर्ण द्रव्यमान केंद्रित प्रतीत होता है।
  • द्रव्यमान के केंद्र में, एक निकाय को एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में माना जा सकता है।
  • इसलिए यह कथन सही है।
• विकल्प 3: निकाय के द्रव्यमान का केंद्र निकाय के अंदर हो, ऐसा आवश्यक नहीं है।
  • उदाहरण के लिए, एक वलय के द्रव्यमान का केंद्र इसके केंद्र में स्थित है, जहां कोई द्रव्यमान नहीं है अर्थात द्रव्यमान का केंद्र निकाय से बाहर है।
  • इसलिए यह कथन गलत है ।

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

सही उत्तर विकल्प 4 ) है अर्थात निकाय के अंदर या बाहर

अवधारणा :

• द्रव्यमान का केंद्र: निकाय के द्रव्यमान का केंद्र द्रव्यमान के संबंध में निकाय के सभी हिस्सों की भारित औसत स्थिति है।
  • द्रव्यमान के केंद्र का उपयोग गणना में आसानी के लिए बिंदु द्रव्यमानों के रूप में अनियमित वस्तुओँ का प्रतिनिधित्व करने में किया जाता है।
  • सरल आकृतियों की वस्तुओँ के लिए, द्रव्यमान का केंद्र केन्द्रक पर निहित होता है।
  • अनियमित आकृतियों के लिए, द्रव्यमान का केंद्र, भारित स्थिति सदिश के सदिश योगफल द्वारा ज्ञात किया जाता है।

व्याख्या:

• द्रव्यमान के केंद्र का स्थान दो कारकों पर निर्भर करता है - निकाय की आकृति और द्रव्यमान का वितरण।
• वस्तु ठोस होने पर द्रव्यमान का केंद्र निकाय के अंदर स्थित हो सकता है।
• एक वृत्ताकार वलय के मामले में, द्रव्यमान का केंद्र इसके ज्यामितीय केंद्र पर स्थित होता है जो इसके निकाय के बाहर एक बिंदु पर होता है।
• चूंकि द्रव्यमान का केंद्र एक ऐसा बिंदु है जहां प्रणाली का पूरा द्रव्यमान केंद्रित होता है, यह आवश्यक नहीं है कि यह बिंदु निकाय के अंदर होना चाहिए।
• तो, एक निकाय के द्रव्यमान का केंद्र निकाय के अंदर या बाहर हो सकता है।

अवधारणा :

• द्रव्यमान का केंद्र: किसी पिंड के द्रव्यमान का केंद्र एक ऐसा बिंदु है जिस पर निकाय के सभी द्रव्यमान केंद्रित होते हैं।

• x-दिशा में तीन-निकाय प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति की गणना निम्न द्वारा की जाती है:

$\Rightarrow x_{com}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2}$

$\Rightarrow y_{com}=\frac{m_1{y}_1+m_2{y}_2}{m_1+m_2}$

जहाँ xcom x- निर्देशांक में द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति है, ycom , y- निर्देशांक में द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति है, m1, m2, और m3 तीन निकायों के द्रव्यमान है,  x1, x2, और x3 x-निर्देशांक में अलग-अलग द्रव्यमानों की स्थिति है, y1, y2, और y3 y-निर्देशांक में भिन्न-भिन्न द्रव्यमानों की स्थिति है।

गणना :

दिया गया है कि (x1,y1) = (6, 6); (x2,y2) = (x, y) cm; m1 = 1 kg, m2 = 2 kg;  (xcom,ycom) = (0, 0) 

• x - अक्ष में द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति:

$\Rightarrow x_{com}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2}$

$\Rightarrow 0=\frac{1\times 6+2\times x}{1+2}$

⇒ x = - 3

x - अक्ष में द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति

$\Rightarrow y_{com}=\frac{m_1{y}_1+m_2{y}_2}{m_1+m_2}$

$\Rightarrow 0=\frac{1\times 6+2\times y}{1+2}$

⇒ y = - 3

• तो दुसरे द्रव्यमान की स्थिति (x, y) = (-3, -3) होगी। इसलिए सही उत्तर विकल्प 3 है।