নির্ধারকের মান $| \begin{matrix} 1 & a & b + c \\ 1 & b & c + a \\ 1 & c & a + b \end{matrix} |$

Question

Question

Answer 1

ধারণা :

একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বৈশিষ্ট্য:

যদি নির্ধারকের যেকোনো সারি বা কলামের প্রতিটি এন্ট্রি 0 হয়, তাহলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।
যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য A, |A| = |AT|
যদি আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) বিনিময় করি, তাহলে নির্ধারককে -1 দ্বারা গুণ করা হয়।
ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য।

গণনা :

$| \begin{matrix} 1 & a & b + c \\ 1 & b & c + a \\ 1 & c & a + b \end{matrix} |$

C2 → C2 + C3 প্রয়োগ করুন

$= | \begin{matrix} 1 & a + b + c & b + c \\ 1 & a + b + c & c + a \\ 1 & a + b + c & a + b \end{matrix} |$

কলাম 2 থেকে (a + b + c) কমন নিলে আমরা পাই,

$= (a + b + c) | \begin{matrix} 1 & 1 & b + c \\ 1 & 1 & c + a \\ 1 & 1 & a + b \end{matrix} |$

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং দ্বিতীয় কলাম সমান।

আমরা জানি যে, ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সারি (কলাম) একই হলে নির্ধারকের মান শূন্য হয়।

∴ $| \begin{matrix} 1 & a & b + c \\ 1 & b & c + a \\ 1 & c & a + b \end{matrix} |$ = 0