हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन n_i से nf तक संक्रमण करता है, यदि प्रारंभिक अवस्था में इलेक्ट्रॉन का आवर्तकाल अंतिम अवस्था में 27 गुना है, तो n_i और nf के बीच संबंध क्या है?

अवधारणा:

बोर मॉडल परमाणु का एक मॉडल था, जो 1913 में नील्स बोर द्वारा प्रस्तुत किया गया था। यह एक निकाय है, जिसमें एक छोटा, सघन नाभिक होता है, जिसके परितः इलेक्ट्रॉन परिक्रमण करते हैं। यह सौर मंडल की संरचना के समान है। अंतर केवल इतना है कि यहां आकर्षण बल स्थिर वैद्युत है जबकि सौर मंडल में गुरुत्वाकर्षण बल प्रदान करता है। परमाणु का बोर मॉडल प्लैंक के विकिरण पर आधारित था।

बोर मॉडल के अभिगृहीत:

1. इलेक्ट्रॉन नाभिक के परितः कुछ स्थिर और असतत कक्षाओं में ऊर्जा का विकिरण किए बिना परिक्रमण करता है। ऊर्जा का विकिरण तभी होता है जब एक इलेक्ट्रॉन एक ऊर्जा स्तर से दूसरे ऊर्जा स्तर पर उत्तेजित होता है। ये स्थिर कक्षाएँ स्थिर कक्षाएँ कहलाती हैं और नाभिक से एक निश्चित दूरी पर होती हैं। इन असतत कक्षाओं के बीच कोई अन्य कक्षा नहीं होती है।
2. इन स्थिर कक्षाओं के लिए, कोणीय संवेग प्लैंक स्थिरांक (h) का एक पूर्णांक गुणज होता है अर्थात $mvr=n\hslash$ जहाँ n = 1, 2, 3, ... को मुख्य क्वांटम संख्या के रूप में जाना जाता है और ħ = h/2π. n=1 के लिए, r = 0.0529 nm, जिसे बोर त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। इन कक्षाओं में निश्चित ऊर्जाएँ होती हैं और इन्हें ऊर्जा कोश या ऊर्जा स्तर के रूप में जाना जाता है।
3. ऊर्जा का नुकसान या लाभ केवल एक अनुमत कक्षा से दूसरी कक्षा में उत्तेजित होने से होता है, जो निम्नलिखित संबंध के अनुसार ऊर्जा स्तरों के अंतर के अनुसार विद्युत चुंबकीय विकिरण को अवशोषित या उत्सर्जित करता है: ,

एक वृत्ताकार कक्षा में गतिमान पिंड के लिए, आवर्तकाल को एक चक्र पूरा करने में पिंड द्वारा लिया गया समय के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}$..........(1)

बोर मॉडल के अनुसार, नाभिक के परितः एक कक्षा में परिक्रमण करने वाले इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग ${\displaystyle \frac{nh}{2\pi }}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है। 

अर्थात, $mvr={\displaystyle \frac{nh}{2\pi }}$............(2)

(1) और (2) का उपयोग करने पर और $r=r_0{n}^2$

$T_n={\displaystyle \frac{2\pi r_0{n}^3}{v_0}}$

अर्थात $T_n\propto n^3$

गणना:

माना T_i प्रारंभिक आवर्तकाल है और T_f अंतिम आवर्तकाल है।

प्रश्नानुसार,

$T_i=27T_f$

इसके अलावा, $T_n\propto n^3$

इसलिए, ${\displaystyle \frac{T_i}{T_f}}={\displaystyle \frac{n_i^3}{n_f^3}}$

$27={\displaystyle \frac{n_i^3}{n_f^3}}$

$⟹n_i^3=27n_f^3$

$⟹n_i=3n_f$

इसलिए विकल्प-1 सही है।