Question
Download Solution PDFमानें कि A एक n x n आव्यूह है जिसके सभी शून्येतर अभिलक्षणिक मानों के समुच्चय में r अवयव हैं। तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
मान लीजिए A एक n x n आव्यूह है जिसके सभी शून्येतर आइगेन मानों के समुच्चय में ठीक r अवयव हैं।
मान लीजिए E = { a1 , a2 , . . . . . ar}
प्रत्येक शून्येतर आइगेन मान के लिए कम से कम एक आइगेन वेक्टर होता है।
r शून्येतर अलग-अलग आइगेन वेक्टर के लिए।
परिसर स्थान कम से कम r है।
इसलिए विकल्प 3 सही है।
विकल्प (1):
मान लीजिए A = \(\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\) तब आइगेन मान 0, 0 हैं ⇒ r = 0
rank(A) = 1 = 2 - 1 \(\nless \) 2 - 1
विकल्प (2) गलत है
Rank(A) = 1 \(\nless \) r = 0
विकल्प (1) गलत है
विकल्प (4):
A के r शून्येतर आइगेन मान हैं
⇒ A2 के r शून्येतर आइगेन मान हैं
लेकिन यदि A के r अलग-अलग आइगेन मान हैं इसका मतलब यह नहीं है कि A2 के r अलग-अलग आइगेन मान हैं।
मान लीजिए A = \(\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\) तब A के आइगेन मान i, -1 हैं
लेकिन A2 के आइगेन मान -1, -1 हैं जो अलग-अलग नहीं हैं।
विकल्प (4) गलत है
Last updated on Jun 23, 2025
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