Question
Download Solution PDFप्रश्नांश में एक प्रश्न है जिसके बाद दो कथन हैं। निम्नलिखित जानकारी का उपयोग कर प्रश्नांश का उत्तर दीजिए :
त्रिभुज Δ की दो बड़ी भुजाओं की लंबाइयाँ 25 सेमी और 24 सेमी हैं।
प्रश्न : सबसे छोटी भुजा की लंबाई कितनी है?
कथन I : Δ के कोण 1 : 2 : 3 के अनुपात में हैं।
कथन II : सम्मुख शीर्ष से Δ की सबसे बड़ी भुजा पर खींचे गए लंब की लंबाई 6.72 सेमी है।
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
1) यदि एक समकोण त्रिभुज में,
तीन कोणों का अनुपात = 30° : 60° : 90° (या 1 : 2 : 3), तब
इन कोणों की सम्मुख भुजाओं का अनुपात = 1 : √3 : 2
2) AC × BD = AB × AD
गणना:
कथन I:
Δ के कोण 1 : 2 : 3 के अनुपात में हैं।
जैसा कि हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज में सभी कोणों का योगफल 180° होता है।
इसलिए, Δ के कोण 30°, 60°, 90° हैं।
अतः,
इसलिए, भुजाओं का अनुपात 1 : √3 : 2 होना चाहिए।
पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग से,
x2 + 242 = 252
⇒ x2 + 576 = 625
⇒ x2 = 625 - 576
⇒ x2 = 49
⇒ x = 7
इसलिए, सबसे छोटी भुजा = 7 सेमी
लेकिन, 7, 24 और 25, 1 : √3 : 2 के अनुपात में नहीं हैं, लेकिन गुणधर्म के अनुसार,
यदि कोण का अनुपात = 1 : 2 : 3 है तो भुजाओं का अनुपात = 1 : √3 : 2 होगा।
इसलिए, कथन I में दी गई जानकारी पर्याप्त नहीं है।
कथन II:
पाइथागोरस प्रमेय से, हमें x = 7 प्राप्त हुआ है।
उपरोक्त गुणधर्म का प्रयोग करने पर,
BC × AD = AB × AC
7 × 24 = 25 × AD
AD = 168/25 = 6.72
इसलिए, यदि हम सबसे छोटी भुजा की लंबाई 7 सेमी लेते हैं, तो हमें Δ की सबसे लंबी भुजा पर इसके सम्मुख शीर्ष से खींचे गए लंब की लंबाई 6.72 सेमी प्राप्त होती है।
कथन 2 इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।
∴ विकल्प (1) सही उत्तर है।
Last updated on Jul 7, 2025
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