Random Variables Basics MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Random Variables Basics - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్
Last updated on Mar 20, 2025
Latest Random Variables Basics MCQ Objective Questions
Random Variables Basics Question 1:
f(x) విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 1 Detailed Solution
పద్ధతి:
రాండమ్ వేరియబుల్ 'x'ని విశ్లేషించడానికి రెండు విధులు ఉపయోగించబడతాయి.
1) PDF (సంభావ్యత పంపిణీ పద్ధతి)
2) pdf (సంభావ్యత సాంద్రత పద్ధతి)
CDF మరియు pdf వీటికి సంబంధించినవి:
PDF లక్షణాలు:
1)
∴ CDF విలువ 0 మరియు 1 మధ్య పరిమితంగా ఉంటుంది
2)
ఇక్కడ PX అనేది CDF
∴ సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0 కంటే ఎక్కువగా లేదా సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి CDF ఎల్లప్పుడూ మార్పు లేకుండా పెరిగే అంశంగా ఉంటుంది.
సాధన:
ఇచ్చిన సమస్య:
సమీకరణం (2) నుంచి:
4c = 1
కావున సరైన సమాధానం ఎంపిక (3).
Random Variables Basics Question 2:
ఒక సరసమైన ఆరు-భుజాల పాచిక వేయబడింది, పైభాగంలో X సంఖ్య ఉంటుంది. X యొక్క విస్తృతి :
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 2 Detailed Solution
సూత్రము
విస్తృతి X = σ2x = E[(X – μ)2] = E(X2) – [E(X)]2
సాధన
|
X |
P(X) |
|
1 |
1/6 |
|
2 |
1/6 |
|
3 |
1/6 |
|
4 |
1/6 |
|
5 |
1/6 |
|
6 |
1/6 |
E(X) = μx = μ
⇒ μ = ∑ xifi = ∑xiP(X = xj)
⇒ 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + 3 × 1/6 + 4 × 1/6 + 5 × 1/6 + 6 × 1/6
⇒ (1/6)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
⇒ 7/2
E(X2) = ∑xj2f(xj) = ∑xj2P(X = xj)
⇒ 12 × 1/6 + 22 × 1/6 + ------62 × 1/6
⇒ 1/6(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)
⇒ 1/6(1 +4 + 9 + 16 + 25 + 36)
⇒ 91/6
విస్తృతి X = E(X2) – [E(X)]2
⇒ 91/6 – (7/2)2
⇒ 91/6 – 49/4
∴ విస్తృతి X 35/12
Random Variables Basics Question 3:
P(3)=P(4)ని సంతృప్తి పరిచే పాయిజన్ వేరియట్x అయితేx యొక్క సగటును కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 3 Detailed Solution
ఇచ్చినది
P(3) = P(4)
భావన:
పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్=ఇది డిస్క్రీట్డిస్ట్రిబ్యూషన్ కూడా
పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ నామమాత్రపు పంపిణీ పరిమితిని పూర్తి చేస్తుంది.
పాయిజన్ పంపిణీ f(x) = (e-λ × λx)/x!
x = 0, 1, 2, 3---- మరియు λ = సగటు
లెక్కింపు
ఇక్కడ x = 3 and 4
⇒ (e-λ × λ3)/3! = (e-λ × λ4)/4!
⇒ λ = 4!/3!
⇒ λ = 4
∴ పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో x యొక్క సగటు 4
Random Variables Basics Question 4:
పాయిజన్ పంపిణీ యొక్క సగటు (మీన్) 9 అయితే దాని వ్యత్యాసం(వేరియాన్స్ ) ________కి సమానం.
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 4 Detailed Solution
ఇచ్చిన
పాయిజన్ పంపిణీ సగటు(మీన్) = 9
లెక్కింపు
విషం పంపిణీలో సగటు వ్యత్యాసానికి సమానం
∴ వ్యత్యాసం (వేరియాన్స్ ) 9
Random Variables Basics Question 5:
కింది సంభావ్యత పంపిణినీకలిగి ఉన్న యాదృచ్చిక వేరియబుల్ యొక్క అంచనా విలువ కనుగొనండి?
| X: | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| P: | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.1 | 0.1 |
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 5 Detailed Solution
లెక్కింపు
యాదృచ్చిక వేరియబుల్ అంచనా విలువ మనకు తెలుసు
f(x) = ∑xipi
I = 1, 2, 3,-----n
f(x) = P1x1 + P2x2 + P3x3 + P4x4 + P5x5
⇒ f(x) = 0.1 × 2 + 0.3 × 4 + 0.4 × 6 + 0.1 × 8 + 0.1 × 10
⇒ 0.2 + 1.2 + 2.4 + 0.8 + 1
∴ f(x) = 5.6
Top Random Variables Basics MCQ Objective Questions
P(3)=P(4)ని సంతృప్తి పరిచే పాయిజన్ వేరియట్x అయితేx యొక్క సగటును కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది
P(3) = P(4)
భావన:
పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్=ఇది డిస్క్రీట్డిస్ట్రిబ్యూషన్ కూడా
పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ నామమాత్రపు పంపిణీ పరిమితిని పూర్తి చేస్తుంది.
పాయిజన్ పంపిణీ f(x) = (e-λ × λx)/x!
x = 0, 1, 2, 3---- మరియు λ = సగటు
లెక్కింపు
ఇక్కడ x = 3 and 4
⇒ (e-λ × λ3)/3! = (e-λ × λ4)/4!
⇒ λ = 4!/3!
⇒ λ = 4
∴ పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో x యొక్క సగటు 4
పాయిజన్ పంపిణీ యొక్క సగటు (మీన్) 9 అయితే దాని వ్యత్యాసం(వేరియాన్స్ ) ________కి సమానం.
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చిన
పాయిజన్ పంపిణీ సగటు(మీన్) = 9
లెక్కింపు
విషం పంపిణీలో సగటు వ్యత్యాసానికి సమానం
∴ వ్యత్యాసం (వేరియాన్స్ ) 9
ఒక సరసమైన ఆరు-భుజాల పాచిక వేయబడింది, పైభాగంలో X సంఖ్య ఉంటుంది. X యొక్క విస్తృతి :
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFసూత్రము
విస్తృతి X = σ2x = E[(X – μ)2] = E(X2) – [E(X)]2
సాధన
|
X |
P(X) |
|
1 |
1/6 |
|
2 |
1/6 |
|
3 |
1/6 |
|
4 |
1/6 |
|
5 |
1/6 |
|
6 |
1/6 |
E(X) = μx = μ
⇒ μ = ∑ xifi = ∑xiP(X = xj)
⇒ 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + 3 × 1/6 + 4 × 1/6 + 5 × 1/6 + 6 × 1/6
⇒ (1/6)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
⇒ 7/2
E(X2) = ∑xj2f(xj) = ∑xj2P(X = xj)
⇒ 12 × 1/6 + 22 × 1/6 + ------62 × 1/6
⇒ 1/6(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)
⇒ 1/6(1 +4 + 9 + 16 + 25 + 36)
⇒ 91/6
విస్తృతి X = E(X2) – [E(X)]2
⇒ 91/6 – (7/2)2
⇒ 91/6 – 49/4
∴ విస్తృతి X 35/12
సాధారణ పంపిణీ కోసం, కింది వాటిలో ఏది నిజం?
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFలెక్కింపు
నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్= నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ సంపూర్ణ సుష్ట ఆకారంతో వస్తుంది అంటే పంపిణీ వక్రరేకను మధ్యలో విభజించి రెండు సమాన బహగలను ఉత్పత్తి చేయవచ్చు.
నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ ప్రక్రియ అనేది కింది విధంగా సూచించబడుతుంది.
f(x) = సంభావ్యత సాంద్రత ప్రక్రియ
σ = ప్రామాణిక విచలనం
μ = సగటు
సాధారణ పంపిణీలో కేంద్రం గురించి సమరూపత మరియు దానిలో సగటు=మధ్యగతం=మోడ్= μ
∴ నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో సగటు=మధ్యగతం=మోడ్= μ
కింది సంభావ్యత పంపిణినీకలిగి ఉన్న యాదృచ్చిక వేరియబుల్ యొక్క అంచనా విలువ కనుగొనండి?
| X: | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| P: | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.1 | 0.1 |
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFలెక్కింపు
యాదృచ్చిక వేరియబుల్ అంచనా విలువ మనకు తెలుసు
f(x) = ∑xipi
I = 1, 2, 3,-----n
f(x) = P1x1 + P2x2 + P3x3 + P4x4 + P5x5
⇒ f(x) = 0.1 × 2 + 0.3 × 4 + 0.4 × 6 + 0.1 × 8 + 0.1 × 10
⇒ 0.2 + 1.2 + 2.4 + 0.8 + 1
∴ f(x) = 5.6
Random Variables Basics Question 11:
f(x) విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 11 Detailed Solution
పద్ధతి:
రాండమ్ వేరియబుల్ 'x'ని విశ్లేషించడానికి రెండు విధులు ఉపయోగించబడతాయి.
1) PDF (సంభావ్యత పంపిణీ పద్ధతి)
2) pdf (సంభావ్యత సాంద్రత పద్ధతి)
CDF మరియు pdf వీటికి సంబంధించినవి:
PDF లక్షణాలు:
1)
∴ CDF విలువ 0 మరియు 1 మధ్య పరిమితంగా ఉంటుంది
2)
ఇక్కడ PX అనేది CDF
∴ సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0 కంటే ఎక్కువగా లేదా సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి CDF ఎల్లప్పుడూ మార్పు లేకుండా పెరిగే అంశంగా ఉంటుంది.
సాధన:
ఇచ్చిన సమస్య:
సమీకరణం (2) నుంచి:
4c = 1
కావున సరైన సమాధానం ఎంపిక (3).
Random Variables Basics Question 12:
P(3)=P(4)ని సంతృప్తి పరిచే పాయిజన్ వేరియట్x అయితేx యొక్క సగటును కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 12 Detailed Solution
ఇచ్చినది
P(3) = P(4)
భావన:
పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్=ఇది డిస్క్రీట్డిస్ట్రిబ్యూషన్ కూడా
పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ నామమాత్రపు పంపిణీ పరిమితిని పూర్తి చేస్తుంది.
పాయిజన్ పంపిణీ f(x) = (e-λ × λx)/x!
x = 0, 1, 2, 3---- మరియు λ = సగటు
లెక్కింపు
ఇక్కడ x = 3 and 4
⇒ (e-λ × λ3)/3! = (e-λ × λ4)/4!
⇒ λ = 4!/3!
⇒ λ = 4
∴ పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో x యొక్క సగటు 4
Random Variables Basics Question 13:
పాయిజన్ పంపిణీ యొక్క సగటు (మీన్) 9 అయితే దాని వ్యత్యాసం(వేరియాన్స్ ) ________కి సమానం.
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 13 Detailed Solution
ఇచ్చిన
పాయిజన్ పంపిణీ సగటు(మీన్) = 9
లెక్కింపు
విషం పంపిణీలో సగటు వ్యత్యాసానికి సమానం
∴ వ్యత్యాసం (వేరియాన్స్ ) 9
Random Variables Basics Question 14:
ఒక సరసమైన ఆరు-భుజాల పాచిక వేయబడింది, పైభాగంలో X సంఖ్య ఉంటుంది. X యొక్క విస్తృతి :
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 14 Detailed Solution
సూత్రము
విస్తృతి X = σ2x = E[(X – μ)2] = E(X2) – [E(X)]2
సాధన
|
X |
P(X) |
|
1 |
1/6 |
|
2 |
1/6 |
|
3 |
1/6 |
|
4 |
1/6 |
|
5 |
1/6 |
|
6 |
1/6 |
E(X) = μx = μ
⇒ μ = ∑ xifi = ∑xiP(X = xj)
⇒ 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + 3 × 1/6 + 4 × 1/6 + 5 × 1/6 + 6 × 1/6
⇒ (1/6)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
⇒ 7/2
E(X2) = ∑xj2f(xj) = ∑xj2P(X = xj)
⇒ 12 × 1/6 + 22 × 1/6 + ------62 × 1/6
⇒ 1/6(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)
⇒ 1/6(1 +4 + 9 + 16 + 25 + 36)
⇒ 91/6
విస్తృతి X = E(X2) – [E(X)]2
⇒ 91/6 – (7/2)2
⇒ 91/6 – 49/4
∴ విస్తృతి X 35/12
Random Variables Basics Question 15:
సాధారణ పంపిణీ కోసం, కింది వాటిలో ఏది నిజం?
Answer (Detailed Solution Below)
Random Variables Basics Question 15 Detailed Solution
లెక్కింపు
నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్= నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ సంపూర్ణ సుష్ట ఆకారంతో వస్తుంది అంటే పంపిణీ వక్రరేకను మధ్యలో విభజించి రెండు సమాన బహగలను ఉత్పత్తి చేయవచ్చు.
నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ ప్రక్రియ అనేది కింది విధంగా సూచించబడుతుంది.
f(x) = సంభావ్యత సాంద్రత ప్రక్రియ
σ = ప్రామాణిక విచలనం
μ = సగటు
సాధారణ పంపిణీలో కేంద్రం గురించి సమరూపత మరియు దానిలో సగటు=మధ్యగతం=మోడ్= μ
∴ నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో సగటు=మధ్యగతం=మోడ్= μ