Probability and Statistics MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Probability and Statistics - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న కుటుంబంలో అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉండే సంభావ్యతను నిర్ణయించడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. పిల్లల సంఖ్యను జాబితా చేయండి:
   ఇచ్చిన సమాచారం 15 ఎంచుకున్న కుటుంబాలలోని పిల్లల సంఖ్యను సూచిస్తుంది:
   \(1, 2, 3, 1, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 1, 1\)
2. మొత్తం కుటుంబాల సంఖ్యను లెక్కించండి:
   మొత్తం \(15\) కుటుంబాలు ఉన్నాయి.
3. అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉన్న కుటుంబాలను గుర్తించండి:
   \(1\) లేదా \(2\) మంది పిల్లలు ఉన్న కుటుంబాల సంఖ్యను లెక్కించాలి.
   • 1 మంది పిల్ల ఉన్న కుటుంబాలు: \(1, 1, 1, 1, 1\) → \(5\) కుటుంబాలు
   • 2 మంది పిల్లలు ఉన్న కుటుంబాలు: \(2, 2, 2, 2\) → \(4\) కుటుంబాలు
   అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉన్న మొత్తం కుటుంబాలు: \(5 + 4 = 9\) కుటుంబాలు
4. సంభావ్యతను లెక్కించండి:
   సంభావ్యత \(P\) అనుకూల ఫలితాల సంఖ్యకు మొత్తం సాధ్యమయ్యే ఫలితాల సంఖ్యకు ఉన్న నిష్పత్తి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.
   \[ P(\text{at most 2 children}) = \frac{\text{Number of families with at most 2 children}}{\text{Total number of families}} = \frac{9}{15} \]
   భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయడం:
   \[ \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \]

చివరి సమాధానం:

యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న కుటుంబంలో అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉండే సంభావ్యత:

\[ \boxed{\dfrac{3}{5}} \]

4) గంటాకారం

ప్రధానంగా సాంకేతిక శాస్త్రం మరియు సంభావ్యతలలో ఉపయోగించే ఫ్రీక్వెన్సీ వక్రాలు, ముఖ్యంగా గంటాకార వక్రాన్ని అనుసరిస్తాయి, దీనిని సాధారణ విభాజనం అని కూడా అంటారు. ఈ వక్రం సమమితికంగా ఉంటుంది, ఎక్కువ డేటా సగటు చుట్టూ కేంద్రీకృతమై ఉంటుంది మరియు కేంద్రం నుండి దూరంగా వెళ్ళే కొద్దీ తక్కువ విలువలు కనిపిస్తాయి.

వివరణ:

ఒక శ్రేణిని నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించే మూడు బిందువులను చతుర్థాంశాలు అంటారు. అవి:

1. మొదటి చతుర్థాంశం (Q₁) - దీనిని దిగువ చతుర్థాంశం అని కూడా అంటారు, ఇది 25వ శతాంశాన్ని సూచిస్తుంది, అంటే 25% డేటా ఈ బిందువు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
2. రెండవ చతుర్థాంశం (Q₂) - దీనిని మధ్యగతం అని కూడా అంటారు, ఇది 50వ శతాంశాన్ని సూచిస్తుంది, అంటే 50% డేటా ఈ బిందువు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
3. మూడవ చతుర్థాంశం (Q₃) - దీనిని ఎగువ చతుర్థాంశం అని కూడా అంటారు, ఇది 75వ శతాంశాన్ని సూచిస్తుంది, అంటే 75% డేటా ఈ బిందువు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

డేటా పంపిణీ మరియు వ్యాప్తిని అర్థం చేసుకోవడానికి సాంఖ్యక విశ్లేషణలో చతుర్థాంశాలు ఉపయోగపడతాయి.

1) శతాంశాలు

ఒక ఓజివ్ వక్రం (సంకలన పౌనఃపున్య గ్రాఫ్) ప్రధానంగా శతాంశాలు, చతుర్థాంశాలు మరియు మధ్యగతం లను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది ఒక నిర్దిష్ట విలువ కంటే తక్కువగా ఉన్న డేటా పాయింట్ల నిష్పత్తిని గుర్తించడంలో సహాయపడుతుంది, దీని వలన శతాంశాల లెక్కలకు ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

• సగటును ఓజివ్ నుండి నేరుగా పొందలేము.
• పరిమాణాలు (చతుర్థాంశాలు మరియు దశాంశాల వంటివి) అంచనా వేయవచ్చు, కానీ ప్రాధమిక ఉపయోగం శతాంశాలు.
• సగటును ఓజివ్ నుండి ఉద్భవించలేకపోవడం వల్ల, "పైవన్నీ" అనేది తప్పు.

వివరణ:
పౌనఃపున్యం అనేది ఒక నిర్దిష్ట విలువ లేదా తరగతి డేటా సెట్‌లో ఎన్నిసార్లు కనిపిస్తుందో సూచిస్తుంది. వస్తువులను లేదా సంఘటనలను లెక్కించడం ఎల్లప్పుడూ పూర్ణ సంఖ్యలో ఫలితం ఇస్తుంది కాబట్టి, పౌనఃపున్యం ఎల్లప్పుడూ ఒక పూర్ణాంకం (ఉదాహరణకు, 1, 2, 10, 50, మొదలైనవి).

• ఒక ఫంక్షన్ (ఎంపిక 1): పౌనఃపున్యం అనేది ఒక ఫంక్షన్ కాదు, కానీ కొన్ని సందర్భాల్లో దీన్ని ఒక ఫంక్షన్‌గా సూచించవచ్చు.
• శాతంలో (ఎంపిక 3): సాపేక్ష పౌనఃపున్యం శాతంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు, కానీ సంపూర్ణ పౌనఃపున్యం ఎల్లప్పుడూ ఒక పూర్ణాంకం.
• మధ్య విలువ (ఎంపిక 4): మధ్య విలువ అనేది తరగతి విరామం యొక్క మధ్య బిందువును సూచిస్తుంది, పౌనఃపున్యం కాదు.

కాన్సెప్ట్:

ఇచ్చిన డేటా ప్రకారం,

9, 5, 8, 9, 9, 7, 8, 9, 8

5, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9

⇒ మధ్యస్థం = 8

⇒ బహుళకం = 9

బహుళకం= (9 + 5 + 8 + 9 + 9 + 7 + 8 + 9 + 8)/9 = 8

∴ మధ్యస్థం, బహుళకం, మాధ్యమం = (8, 9, 8)

ఇచ్చిన దత్తాంశం:  

P(A) = 0.60

P(B/A) = 0.10

భావన:    

P(A | B) ⋅ P(B) = P(B | A) ⋅ P(A)

సాధన:            

A ఈవెంట్‌గా ఉండనివ్వండి: ఉద్యోగులు గ్రాడ్యుయేట్

B ఈవెంట్‌గా ఉండనివ్వండి: ఉద్యోగులు విక్రయాల్లో ఉన్నారు

⇒ P(B) = P(A).P(B/A) + P(A'). P(B/A)'

⇒ 0.60 x 0.10 + 0.40 x 0.80

∴ యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఉద్యోగి విక్రయాలలో ఉండే సంభావ్యత 0.38

 Important Points

సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0 నుండి 1 మధ్య ఉంటుంది

ఇచ్చినవి:

డేటా = 7.5, 7.3, 7.2, 7.2, 7.4, 7.7, 7.7, 7.5, 7.3, 7.2, 7.6, 7.2

కాన్సెప్ట్:

సగటు: సగటు అనేది సంఖ్యల సేకరణలో సగటు లేదా అత్యంత సాధారణ విలువ

మధ్యమం: ఒక క్రమంలో అమర్చినప్పుడు ఇచ్చిన సంఖ్యల మధ్య విలువ.

బహుళకం: బహుళకం అనేది ఇచ్చిన సంఖ్యలలో మళ్లి మళ్ళి సంభవించే విలువ

లెక్కింపు:

మనం  డేటాను ఒక పద్ధతిలో అమర్చినప్పుడు

⇒ 7.2, 7.2, 7.2, 7.2, 7.3, 7.3, 7.4, 7.5, 7.5, 7.6, 7.7, 7.7

ఇచ్చిన డేటాలో 7.2 తరచుగా జరుగుతుందని మనం చూడవచ్చు,

ఇచ్చిన డేటా బహుళకం= 7.2

∴ అవసరమైన ఫలితం 7.2.

పద్ధతి:

ద్విపది:

\({\left( {q + p} \right)^n} = \sum {n_{{C_r}}}{q^n}{p^{n - r}}\)

ఎక్కడ p + q = 1

p అనేది విజయాన్ని పొందే సంభావ్యత మరియు q అనేది వైఫల్యం యొక్క సంభావ్యత

• ద్విపది యొక్క సగటు np
• వైవిధ్యం npq.
• ప్రామాణిక విచలనం భేదం యొక్క వర్గమూలం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇలా:

          \(S.D.=\;\sqrt {Variance} = \sqrt {npq} \) 

ఇచ్చినది

P(3) = P(4)

భావన:  

పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్=ఇది డిస్క్రీట్డిస్ట్రిబ్యూషన్ కూడా 

పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ నామమాత్రపు పంపిణీ పరిమితిని పూర్తి చేస్తుంది. 

పాయిజన్ పంపిణీ  f(x) = (e-λ × λx)/x! 

x = 0, 1, 2, 3---- మరియు  λ = సగటు 

లెక్కింపు 

ఇక్కడ x = 3 and 4

⇒ (e-λ × λ3)/3! = (e-λ × λ4)/4!

⇒ λ  = 4!/3!

⇒ λ = 4 

∴ పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో x యొక్క సగటు 4

ఇచ్చిన

పాయిజన్ పంపిణీ సగటు(మీన్) = 9

లెక్కింపు

విషం పంపిణీలో సగటు వ్యత్యాసానికి సమానం

∴ వ్యత్యాసం (వేరియాన్స్ ) 9

వివరణ:

కేంద్ర ధోరణి యొక్క కొలతలు డేటా యొక్క కొంత కేంద్ర లేదా మధ్య బిందువును వివరించే సారాంశాన్ని మనకుఅందిస్తాయి.

కేంద్ర ధోరణికి ఐదు ముఖ్యమైన చర్యలు ఉన్నాయి, అవి.

i) అంకగణిత సగటు,

ii) మధ్యగతం,

iii) బాహుళకం,

iv) రేఖాగణిత సగటు, మరియు

v) హార్మోనిక్ సగటు.

వీటిలో చివరి రెండు కొలతలు, అంటే, రేఖాగణిత సగటు మరియు హార్మోనిక్ మీన్, చాలా నిర్దిష్ట ఉపయోగాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు అందువల్ల తక్కువ తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి.

బాహుళకం(మోడ్): మోడ్ అనే పదం ఫ్రెంచ్ పదం "లా మోడ్" నుండి ఉద్భవించింది, ఇది పంపిణీ యొక్క అత్యంత నాగరీకమైన విలువలను సూచిస్తుంది ఎందుకంటే ఇది సిరీస్‌లో అత్యధిక సార్లు పునరావృతమవుతుంది. మోడ్ అనేది చాలా తరచుగా గమనించబడిన డేటా విలువ. ఇది మో ద్వారా సూచించబడుతుంది.

• మోడ్ చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతుంది మరియు దాని గణన సులభం, కానీ ఇది చాలా అస్థిరంగా ఉంటుంది మరియు ఒక విరామం నుండి మరొకదానికి పౌనఃపున్యాలలో చిన్న మార్పులతో మారవచ్చు.
• అయితే, ఒకే మోడ్‌ను ఉపయోగించగల పరిస్థితులు ఉన్నాయి.
• ఉదాహరణకు, ఒక షూ కంపెనీ అది ఏ సైజు షూని ఎలా ఎక్కువగా ఉత్పత్తి చేయాలి అని కోరుకుంటే, అది మోడ్‌ను కేంద్ర ధోరణికి కొలమానంగా ఉపయోగిస్తుంది. షూస్ యొక్క అత్యంత తరచుగా విక్రయించబడే పరిమాణం మోడ్.

అంకగణిత సగటు:

• అంకగణిత సగటు అనేది కేంద్ర ధోరణికి అత్యంత సాధారణంగా ఉపయోగించే కొలత.
• సగటు కేంద్ర ధోరణిని సూచిస్తుంది. ఇది పరిశీలనల సంఖ్యతో భాగించబడిన అన్ని పరిశీలనల విలువల మొత్తంగా నిర్వచించబడింది మరియు సాధారణంగా X చే సూచించబడుతుంది.
• సాధారణంగా X1, X2, X3, ..., XN వంటి N పరిశీలనలు ఉంటే, అంకగణిత సగటు దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది
• సగటు = \({X1 + X2 + X3 +...+ Xn}\over n\) .
• ఇది ఇండెక్స్ i లేకుండా సరళమైన రూపంలో వ్రాయబడుతుంది.
• ఆ విధంగా అర్థం = N ∑ ఇక్కడ, ΣX = అన్ని పరిశీలనల మొత్తం మరియు N = మొత్తం పరిశీలనల సంఖ్య.

మధ్యగతం అనేది పంపిణీని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించే వేరియబుల్ యొక్క స్థాన విలువ, ఒక భాగం మధ్యగతం విలువ కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన అన్ని విలువలను కలిగి ఉంటుంది మరియు మరొకటి దాని కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన అన్ని విలువలను కలిగి ఉంటుంది.

• డేటా సెట్ మాగ్నిట్యూడ్ క్రమంలో అమర్చబడినప్పుడు మధ్యగతం"మధ్య" మూలకం. మధ్యగతంవేర్వేరు విలువల స్థానం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది కాబట్టి, అతిపెద్ద విలువ యొక్క పరిమాణం పెరిగితే అది ప్రభావితం కాకుండా ఉంటుంది.
• డేటాను చిన్నది నుండి పెద్దదానికి క్రమబద్ధీకరించడం మరియు మధ్య విలువను కనుగొనడం ద్వారా మధ్యస్థాన్ని సులభంగా గణించవచ్చు

లెక్కింపు:

17, 18, 17, 17, 13, 18, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 17, 3

బాహుళకం చాలా తరచుగా కనిపించే విలువను సూచిస్తుంది (ఈ సందర్భంలో ఇది 17).

లెక్కింపు 

నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్= నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ సంపూర్ణ సుష్ట ఆకారంతో వస్తుంది అంటే పంపిణీ వక్రరేకను మధ్యలో విభజించి రెండు సమాన బహగలను ఉత్పత్తి చేయవచ్చు.  

నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ ప్రక్రియ అనేది  కింది విధంగా సూచించబడుతుంది.

\(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{1}{2}}}{\left( {\frac{{x - \mu }}{\sigma }} \right)^2}\)

f(x) = సంభావ్యత సాంద్రత ప్రక్రియ 

σ = ప్రామాణిక విచలనం 

μ = సగటు

సాధారణ పంపిణీలో కేంద్రం గురించి సమరూపత మరియు దానిలో సగటు=మధ్యగతం=మోడ్= μ 

∴ నార్మల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లో సగటు=మధ్యగతం=మోడ్= μ  

సూత్రము

విస్తృతి X = σ2x = E[(X – μ)2] = E(X2) – [E(X)]2

సాధన

E(X) = μx = μ

⇒ μ = ∑ xifi = ∑xiP(X = xj)

⇒ 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + 3 × 1/6 + 4 × 1/6 + 5 × 1/6 + 6 × 1/6

⇒ (1/6)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

⇒ 7/2

E(X2) = ∑xj2f(xj) = ∑xj2P(X = xj)

⇒ 12 × 1/6 + 22 × 1/6 + ------62 × 1/6

⇒ 1/6(12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62)

⇒ 1/6(1 +4 + 9 + 16 + 25 + 36)

⇒ 91/6

విస్తృతి X = E(X2) – [E(X)]2

⇒ 91/6 – (7/2)2

⇒ 91/6 – 49/4

∴ విస్తృతి X 35/12

లెక్కింపు 

యాదృచ్చిక వేరియబుల్ అంచనా విలువ మనకు తెలుసు 

f(x) = ∑xipi

 I = 1, 2, 3,-----n

f(x) = P1x1 + P2x2 + P3x3 + P4x4 + P5x5

⇒ f(x) = 0.1 × 2 + 0.3 × 4 + 0.4 × 6 + 0.1 × 8 + 0.1 × 10

⇒ 0.2 + 1.2 + 2.4 + 0.8 + 1

∴ f(x) = 5.6