సంభావ్యత MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Probability - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇక్కడ అనుసరించిన తర్కం:

రెండు పాచికల మొత్తం 10 అని ఇచ్చినప్పుడు, కనీసం ఒకసారి 5 సంఖ్య కనిపించే సంభావ్యతను కనుగొనడానికి, ఈ దశలను అనుసరించవచ్చు:

1. మొత్తం 10 వచ్చే మొత్తం ఫలితాలను నిర్ణయించండి: $(x, y)$ (x, y)
   x + y = 10x + y = 10 అయ్యే జతలు:

   సరైన ఫలితాలు:

   కాబట్టి, మొత్తం 10 వచ్చే మొత్తం ఫలితాలు 3.

   • (4, 6)
   • (5, 5)
   • (6, 4)
   • (3, 7) - 7 అనేది డైలో లేనందున సాధ్యం కాదు.
   • (2, 8) - సాధ్యం కాదు.
   • (1, 9) - సాధ్యం కాదు.
   • (4, 6)
   • (5, 5)
   • (6, 4)

2. కనీసం ఒక పాచికలో 5 కనిపించే అనుకూల ఫలితాలను నిర్ణయించండి: కనీసం ఒక పాచికలో 5 ఉన్న జతలు:

   కాబట్టి, అనుకూల ఫలితాలు 1.

   • (5, 5)

3. సంభావ్యతను లెక్కించండి: మొత్తం 10 అని ఇచ్చినప్పుడు కనీసం ఒక పాచికలో 5 కనిపించే సంభావ్యత $P$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

• P = అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య / మొత్తం ఫలితాలు = 1 / 3

• కాబట్టి, మొత్తం 10 అని ఇచ్చినప్పుడు కనీసం ఒకసారి 5 సంఖ్య కనిపించే సంభావ్యత 1/3.

వివరణ:

రెండు పాచికలు వేయబడ్డాయి మరియు వాటి మొత్తం = 7

ఇప్పుడు, సాధ్యమయ్యే విధానాలు

(1, 6) (6, 1) (2, 5) (5, 2) (3, 4) (4, 3)

∴ మొత్తానికి మొత్తం విధానాల సంఖ్య (7) = 6

ఇప్పుడు అనుకూలమైన విధానాలు,

2కి అనుకూలమైన సందర్భాలు కనీసం ఒక్కసారైనా కనిపిస్తాయి = 2 {(2, 5), (5, 2)}

∴ సంఖ్య 2 కనిపించిన సంభావ్యత

కనీసం ఒక్కసారి \(= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

ఒక సంచిలో 3 తెలుపు, 2 నీలం మరియు 5 ఎరుపు బంతులు ఉన్నాయి.

మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 3 + 2 + 5 = 10

ఎరుపు రంగులో లేని బంతుల సంఖ్య = 10 - 5 = 5

భావన :

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, మరొక సంఘటన ఇప్పటికే సంభవించినట్లయితే, ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత కొలతను షరతులతో కూడిన సంభావ్యతగా సూచిస్తారు.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను గణించడానికి, మునుపటి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత మరియు తదుపరి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత గుణించబడుతుంది.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యత ద్వారా ఇవ్వబడింది

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)

E 1 మరియు E 2 ఈవెంట్‌లు.

సాధన:

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఉర్న్‌లో 5 ఎర్ర బంతులు, 5 నల్లని బంతులు ఉంటాయి.

ఒక బంతి యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడుతుంది.

కేస్ (i): మొదటి బంతి ఎరుపు బంతి

రెండో డ్రాలో ఎర్ర బంతి వచ్చే అవకాశం ఉంది

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

కేసు (ii): మొదటి బంతి నల్ల బంతి

రెండో డ్రాలో ఎర్ర బంతి వచ్చే అవకాశం ఉంది

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

అవసరమైన సంభావ్యత (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

ఒక సంచిలో 3 తెలుపు, 2 నీలం మరియు 5 ఎరుపు బంతులు ఉన్నాయి.

మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 3 + 2 + 5 = 10

ఎరుపు రంగులో లేని బంతుల సంఖ్య = 10 - 5 = 5

భావన :

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, మరొక సంఘటన ఇప్పటికే సంభవించినట్లయితే, ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత కొలతను షరతులతో కూడిన సంభావ్యతగా సూచిస్తారు.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను గణించడానికి, మునుపటి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత మరియు తదుపరి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత గుణించబడుతుంది.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యత ద్వారా ఇవ్వబడింది

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)

E 1 మరియు E 2 ఈవెంట్‌లు.

సాధన:

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఉర్న్‌లో 5 ఎర్ర బంతులు, 5 నల్లని బంతులు ఉంటాయి.

ఒక బంతి యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడుతుంది.

కేస్ (i): మొదటి బంతి ఎరుపు బంతి

రెండో డ్రాలో ఎర్ర బంతి వచ్చే అవకాశం ఉంది

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

కేసు (ii): మొదటి బంతి నల్ల బంతి

రెండో డ్రాలో ఎర్ర బంతి వచ్చే అవకాశం ఉంది

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

అవసరమైన సంభావ్యత (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

పద్ధతి:

ద్విపది:

\({\left( {q + p} \right)^n} = \sum {n_{{C_r}}}{q^n}{p^{n - r}}\)

ఎక్కడ p + q = 1

p అనేది విజయాన్ని పొందే సంభావ్యత మరియు q అనేది వైఫల్యం యొక్క సంభావ్యత

• ద్విపది యొక్క సగటు np
• వైవిధ్యం npq.
• ప్రామాణిక విచలనం భేదం యొక్క వర్గమూలం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇలా:

          \(S.D.=\;\sqrt {Variance} = \sqrt {npq} \) 

ఒక సంచిలో 3 తెలుపు, 2 నీలం మరియు 5 ఎరుపు బంతులు ఉన్నాయి.

మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 3 + 2 + 5 = 10

ఎరుపు రంగులో లేని బంతుల సంఖ్య = 10 - 5 = 5

భావన :

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, మరొక సంఘటన ఇప్పటికే సంభవించినట్లయితే, ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత కొలతను షరతులతో కూడిన సంభావ్యతగా సూచిస్తారు.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను గణించడానికి, మునుపటి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత మరియు తదుపరి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత గుణించబడుతుంది.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యత ద్వారా ఇవ్వబడింది

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)

E 1 మరియు E 2 ఈవెంట్‌లు.

సాధన:

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఉర్న్‌లో 5 ఎర్ర బంతులు, 5 నల్లని బంతులు ఉంటాయి.

ఒక బంతి యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడుతుంది.

కేస్ (i): మొదటి బంతి ఎరుపు బంతి

రెండో డ్రాలో ఎర్ర బంతి వచ్చే అవకాశం ఉంది

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

కేసు (ii): మొదటి బంతి నల్ల బంతి

రెండో డ్రాలో ఎర్ర బంతి వచ్చే అవకాశం ఉంది

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

అవసరమైన సంభావ్యత (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

వివరణ:

రెండు పాచికలు వేయబడ్డాయి మరియు వాటి మొత్తం = 7

ఇప్పుడు, సాధ్యమయ్యే విధానాలు

(1, 6) (6, 1) (2, 5) (5, 2) (3, 4) (4, 3)

∴ మొత్తానికి మొత్తం విధానాల సంఖ్య (7) = 6

ఇప్పుడు అనుకూలమైన విధానాలు,

2కి అనుకూలమైన సందర్భాలు కనీసం ఒక్కసారైనా కనిపిస్తాయి = 2 {(2, 5), (5, 2)}

∴ సంఖ్య 2 కనిపించిన సంభావ్యత

కనీసం ఒక్కసారి \(= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

భావన:

\(\rm mean = \frac{{1 + 2 + 3 + \ldots \cdots \cdots + 10}}{{10}} = 5.5\)

ఇవ్వబడింది, P(X ≤ 4) = \(\frac{{1}}{{5}}\), విభాజనం యొక్క సౌష్టవం నుండి, P(X ≥ 7) = \(\frac{{1}}{{5}}\) 

మొత్తం సంభావ్యత ఒకటికి సమానం అని మనకు తెలుసు, అందువల్ల  

\(\rm P(-\infty < x ≤ 4) + P(4 < x < 7) + P(7 ≤ x ≤ \infty) = 1\)

\(\rm \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{5} + P\left( {4 < x < 7} \right) + \frac{1}{5} = 1\\ \rm P\left( {4 < x < 7} \right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \end{array}\)

పద్ధతి:

ద్విపది:

\({\left( {q + p} \right)^n} = \sum {n_{{C_r}}}{q^n}{p^{n - r}}\)

ఎక్కడ p + q = 1

p అనేది విజయాన్ని పొందే సంభావ్యత మరియు q అనేది వైఫల్యం యొక్క సంభావ్యత

• ద్విపది యొక్క సగటు np
• వైవిధ్యం npq.
• ప్రామాణిక విచలనం భేదం యొక్క వర్గమూలం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇలా:

          \(S.D.=\;\sqrt {Variance} = \sqrt {npq} \)