संभाव्यता MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Probability - मोफत PDF डाउनलोड करा

संकल्पना:

बेज प्रमेय:

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A|B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}|{\rm{A}}){\rm{\;\;P}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}\)

जेथे A आणि B घटना आहेत आणि P(B).

P(A|B) ही एक सशर्त संभाव्यता आहे: B सत्य आहे हे लक्षात घेऊन A घटना घडण्याची संभाव्यता 

P(B|A) ही एक सशर्त संभाव्यता आहे: A सत्य आहे हे लक्षात घेऊन B घटना  घडण्याची शक्यता.

P(A) आणि P(B) अनुक्रमे A आणि B चे निरीक्षण करण्याच्या संभाव्यता आहेत.

गणना:

समजा

A: यंत्र A द्वारे उत्पादित खेळणी.

B: यंत्र B द्वारे उत्पादित खेळणी.

C: यंत्र C द्वारे उत्पादित खेळणी.

D: सदोष खेळणी.

दिलेले आहे:

P(A) = 0.30; P(B) = 0.40; P(C) = 0.30

A द्वारे उत्पादित सदोष खेळण्यांची संभाव्यता= P(D|A) = 0.02 

B द्वारे उत्पादित सदोष खेळण्यांची संभाव्यता = P(D|B) = 0.03 

C द्वारे उत्पादित सदोष खेळण्यांची संभाव्यता = P(D|C) = 0.01 

एक खेळणे निवडले गेले आहे, ते सदोष असल्याचे आढळले आहे आणि B = P(B|D) द्वारे उत्पादित केले आहे याची आपल्याला संभाव्यता निश्चित करणे आवश्यक आहे.

बेज प्रमेय वापरून,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)

P(D) = सदोष खेळण्याची संभाव्यता

= P(B)P(D|B) + P(A)P(D|A) + P(C)P(D|C)

= 0.40 × 0.03 + 0.30 × 0.02 + 0.30 × 0.01

= (12 + 6 + 3) × 10-3

= 21 × 10-3

आता, \({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)

\(= \frac{{0.03\; \times \;0.40}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

\(= \frac{{12\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

= 4/7

एका बॅगमध्ये 3 पांढरे, 2 निळे आणि 5 लाल रंगाचे चेंडू आहेत.

चेंडूची एकूण संख्या = 3 + 2 + 5 = 10

लाल नसलेल्या चेंडूची संख्या = 10 - 5 = 5

संकल्पना:

संभाव्यता सिद्धांतामध्ये, जर एखादी घटना आधीच घडली असेल तर एखाद्या घटनेची संभाव्यता मोजली जाते, त्याला सशर्त संभाव्यता म्हणून संबोधले जाते.

सशर्त संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी, मागील घटनेची संभाव्यता आणि त्यानंतरच्या घटनेची संभाव्यता गुणाकार केली जाते.

सशर्त संभाव्यता याद्वारे दिली जाते

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{ E_1}} \right)}}\)

जेथे E1 आणि E2 या घटना आहेत.

गणना:

दिल्याप्रमाणे:

एका कलशात 5 लाल चेंडू आणि 5 काळे चेंडू असतात.

एक चेंडू यादृच्छिकपणे उचलला जातो.

स्थिती (i): पहिला चेंडू हा लाल चेंडू आहे

दुसऱ्या ड्रॉमध्ये लाल चेंडू मिळण्याची संभाव्यता आहे

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

स्थिती (ii): पहिला चेंडू हा काळा चेंडू आहे

दुसऱ्या ड्रॉमध्ये लाल चेंडू मिळण्याची संभाव्यता आहे

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

आवश्यक संभाव्यता (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

संकल्पना:

द्विपदी वितरण

\(P\left( {X = r} \right) = {n_{{c_r}}}{p^r}{q^{n - r}}\)

मध्य = np

प्रचरण = npq

प्रमाण विचलन\( = \sqrt {npq} \)

गणना:

मध्य = np = 1

प्रचरण = npq = 3/4

\( \Rightarrow p = \frac{1}{4},q = \frac{3}{4},n = 4\)

\(P\left( {X = 3} \right) = {4_{{c_3}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{4 - 3}} \)

\(P(X=3)= 4 \times \frac{1}{{64}} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{{64}}\)

एका बॅगमध्ये 3 पांढरे, 2 निळे आणि 5 लाल रंगाचे चेंडू आहेत.

चेंडूची एकूण संख्या = 3 + 2 + 5 = 10

लाल नसलेल्या चेंडूची संख्या = 10 - 5 = 5

संकल्पना:

संभाव्यता सिद्धांतामध्ये, जर एखादी घटना आधीच घडली असेल तर एखाद्या घटनेची संभाव्यता मोजली जाते, त्याला सशर्त संभाव्यता म्हणून संबोधले जाते.

सशर्त संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी, मागील घटनेची संभाव्यता आणि त्यानंतरच्या घटनेची संभाव्यता गुणाकार केली जाते.

सशर्त संभाव्यता याद्वारे दिली जाते

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{ E_1}} \right)}}\)

जेथे E1 आणि E2 या घटना आहेत.

गणना:

दिल्याप्रमाणे:

एका कलशात 5 लाल चेंडू आणि 5 काळे चेंडू असतात.

एक चेंडू यादृच्छिकपणे उचलला जातो.

स्थिती (i): पहिला चेंडू हा लाल चेंडू आहे

दुसऱ्या ड्रॉमध्ये लाल चेंडू मिळण्याची संभाव्यता आहे

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

स्थिती (ii): पहिला चेंडू हा काळा चेंडू आहे

दुसऱ्या ड्रॉमध्ये लाल चेंडू मिळण्याची संभाव्यता आहे

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

आवश्यक संभाव्यता (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

समजा E₁, E₂ आणि E₃ हे अनुक्रमे A, B, C बॉक्स निवडण्याच्या घटना दर्शवतात आणि A ही यादृच्छिकपणे निवडलेला स्क्रू सदोष असल्याची घटना दर्शवते.

तर,

P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/3,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_1}} \right) = \frac{1}{5}\)

\({\rm{P}}\left( {\frac{{\rm{A}}}{{{{\rm{E}}_2}}}} \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_3}} \right) = \frac{1}{7}\)

तर, बेजच्या प्रमेयानुसार, आवश्यक संभाव्यता

= P(E1/A)

संकल्पना:

बेज प्रमेय:

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A|B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}|{\rm{A}}){\rm{\;\;P}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}\)

जेथे A आणि B घटना आहेत आणि P(B).

P(A|B) ही एक सशर्त संभाव्यता आहे: B सत्य आहे हे लक्षात घेऊन A घटना घडण्याची संभाव्यता 

P(B|A) ही एक सशर्त संभाव्यता आहे: A सत्य आहे हे लक्षात घेऊन B घटना  घडण्याची शक्यता.

P(A) आणि P(B) अनुक्रमे A आणि B चे निरीक्षण करण्याच्या संभाव्यता आहेत.

गणना:

समजा

A: यंत्र A द्वारे उत्पादित खेळणी.

B: यंत्र B द्वारे उत्पादित खेळणी.

C: यंत्र C द्वारे उत्पादित खेळणी.

D: सदोष खेळणी.

दिलेले आहे:

P(A) = 0.30; P(B) = 0.40; P(C) = 0.30

A द्वारे उत्पादित सदोष खेळण्यांची संभाव्यता= P(D|A) = 0.02 

B द्वारे उत्पादित सदोष खेळण्यांची संभाव्यता = P(D|B) = 0.03 

C द्वारे उत्पादित सदोष खेळण्यांची संभाव्यता = P(D|C) = 0.01 

एक खेळणे निवडले गेले आहे, ते सदोष असल्याचे आढळले आहे आणि B = P(B|D) द्वारे उत्पादित केले आहे याची आपल्याला संभाव्यता निश्चित करणे आवश्यक आहे.

बेज प्रमेय वापरून,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)

P(D) = सदोष खेळण्याची संभाव्यता

= P(B)P(D|B) + P(A)P(D|A) + P(C)P(D|C)

= 0.40 × 0.03 + 0.30 × 0.02 + 0.30 × 0.01

= (12 + 6 + 3) × 10-3

= 21 × 10-3

आता, \({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)

\(= \frac{{0.03\; \times \;0.40}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

\(= \frac{{12\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

= 4/7

एका बॅगमध्ये 3 पांढरे, 2 निळे आणि 5 लाल रंगाचे चेंडू आहेत.

चेंडूची एकूण संख्या = 3 + 2 + 5 = 10

लाल नसलेल्या चेंडूची संख्या = 10 - 5 = 5

संकल्पना:

संभाव्यता सिद्धांतामध्ये, जर एखादी घटना आधीच घडली असेल तर एखाद्या घटनेची संभाव्यता मोजली जाते, त्याला सशर्त संभाव्यता म्हणून संबोधले जाते.

सशर्त संभाव्यतेची गणना करण्यासाठी, मागील घटनेची संभाव्यता आणि त्यानंतरच्या घटनेची संभाव्यता गुणाकार केली जाते.

सशर्त संभाव्यता याद्वारे दिली जाते

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{ E_1}} \right)}}\)

जेथे E1 आणि E2 या घटना आहेत.

गणना:

दिल्याप्रमाणे:

एका कलशात 5 लाल चेंडू आणि 5 काळे चेंडू असतात.

एक चेंडू यादृच्छिकपणे उचलला जातो.

स्थिती (i): पहिला चेंडू हा लाल चेंडू आहे

दुसऱ्या ड्रॉमध्ये लाल चेंडू मिळण्याची संभाव्यता आहे

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

स्थिती (ii): पहिला चेंडू हा काळा चेंडू आहे

दुसऱ्या ड्रॉमध्ये लाल चेंडू मिळण्याची संभाव्यता आहे

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

आवश्यक संभाव्यता (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

संकल्पना:

द्विपदी वितरण

\(P\left( {X = r} \right) = {n_{{c_r}}}{p^r}{q^{n - r}}\)

मध्य = np

प्रचरण = npq

प्रमाण विचलन\( = \sqrt {npq} \)

गणना:

मध्य = np = 1

प्रचरण = npq = 3/4

\( \Rightarrow p = \frac{1}{4},q = \frac{3}{4},n = 4\)

\(P\left( {X = 3} \right) = {4_{{c_3}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{4 - 3}} \)

\(P(X=3)= 4 \times \frac{1}{{64}} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{{64}}\)

समजा E₁, E₂ आणि E₃ हे अनुक्रमे A, B, C बॉक्स निवडण्याच्या घटना दर्शवतात आणि A ही यादृच्छिकपणे निवडलेला स्क्रू सदोष असल्याची घटना दर्शवते.

तर,

P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/3,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_1}} \right) = \frac{1}{5}\)

\({\rm{P}}\left( {\frac{{\rm{A}}}{{{{\rm{E}}_2}}}} \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_3}} \right) = \frac{1}{7}\)

तर, बेजच्या प्रमेयानुसार, आवश्यक संभाव्यता

= P(E1/A)

संकल्पना:

बेज प्रमेय:

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A|B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}|{\rm{A}}){\rm{\;\;P}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}\)

जेथे A आणि B घटना आहेत आणि P(B).

P(A|B) ही एक सशर्त संभाव्यता आहे: B सत्य आहे हे लक्षात घेऊन A घटना घडण्याची संभाव्यता 

P(B|A) ही एक सशर्त संभाव्यता आहे: A सत्य आहे हे लक्षात घेऊन B घटना  घडण्याची शक्यता.

P(A) आणि P(B) अनुक्रमे A आणि B चे निरीक्षण करण्याच्या संभाव्यता आहेत.

गणना:

समजा

A: यंत्र A द्वारे उत्पादित खेळणी.

B: यंत्र B द्वारे उत्पादित खेळणी.

C: यंत्र C द्वारे उत्पादित खेळणी.

D: सदोष खेळणी.

दिलेले आहे:

P(A) = 0.30; P(B) = 0.40; P(C) = 0.30

A द्वारे उत्पादित सदोष खेळण्यांची संभाव्यता= P(D|A) = 0.02 

B द्वारे उत्पादित सदोष खेळण्यांची संभाव्यता = P(D|B) = 0.03 

C द्वारे उत्पादित सदोष खेळण्यांची संभाव्यता = P(D|C) = 0.01 

एक खेळणे निवडले गेले आहे, ते सदोष असल्याचे आढळले आहे आणि B = P(B|D) द्वारे उत्पादित केले आहे याची आपल्याला संभाव्यता निश्चित करणे आवश्यक आहे.

बेज प्रमेय वापरून,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)

P(D) = सदोष खेळण्याची संभाव्यता

= P(B)P(D|B) + P(A)P(D|A) + P(C)P(D|C)

= 0.40 × 0.03 + 0.30 × 0.02 + 0.30 × 0.01

= (12 + 6 + 3) × 10-3

= 21 × 10-3

आता, \({\rm{P}}\left( {{\rm{B|D}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{D|B}}} \right){\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right)}}{{{\rm{P}}\left( {\rm{D}} \right)}}\)

\(= \frac{{0.03\; \times \;0.40}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

\(= \frac{{12\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}{{21\; \times \;{{10}^{ - 3}}}}\)

= 4/7