Heights and Distances MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Heights and Distances - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു ഗോപുരത്തിന് 50 മീറ്റർ ഉയരമുണ്ട്, ഇരുവശത്തുമുള്ള രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ നിന്നുള്ള മേൽക്കോൺ  യഥാക്രമം 30 ഉം 60 ഉം ഡിഗ്രിയാണ്.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ΔABD-യിൽ,

tan60° = \(\dfrac{50}{x}\)

⇒ √3 = \(\dfrac{50}{x}\)

⇒ x = \(\dfrac{50}{\sqrt{3}}\) →(1)

ΔACD-യിൽ,

tan30° = \(\dfrac{50}{y}\)

⇒ \(\dfrac{1}{√{3}}\) = \(\dfrac{50}{y}\)

⇒ y = 50√3 →(2)

BC = x + y

⇒ 50√3 + \(\dfrac{50}{\sqrt{3}}\)

⇒ \(\dfrac{150+50}{\sqrt{3}}\) = \(\dfrac{200}{\sqrt{3}}\) = 115.47 m

∴ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾക്കിടയിലുള്ള ദൂരം 115.47 മീ. ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത് 

125 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ടവറിൽ നിന്ന്, ഒരു കാറിന്റെ കീഴ്‌കോൺ 45° ആണ്.

ഉപയോഗിച്ച ആശയം

Tan 45° = 1

കണക്കുകൂട്ടൽ 

125 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ടവറിന്റെ ഉയരമാണ് AB.

കാർ നിൽക്കുന്ന ബിന്ദുവാണ് C.

Δ ABC യിൽ

Tan 45° = AB/BC

1 = AB/BC

AB = BC = 125 m.

ടവറും കാറും തമ്മിലുള്ള ദൂരം 125 m. ആണ്.

നൽകിയത്:

ടവറിന്റെ ഉയരം 50 മീറ്ററാണ്

ടവറിന്റെ അടിവാരത്തുള്ള ഒരു കുന്നിൻ മുകളിലെ മേൽക്കോൺ 60° ആണ്

കുന്നിന്റെ അടിയിൽ നിന്ന് ടവറിന്റെ മുകൾഭാഗത്തിന്റെ മേൽക്കോൺ 30° ആണ്

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ΔBAC യിൽ 

cot 30° = AC/50

⇒ √3 = AC/50

⇒ AC = 50√3 ടവർ B E 50 < 60 deg A

ΔACD യിൽ,

tan 60° = (CD)/(50√3)

⇒ √3 = (CD)/(50√3)

⇒ CD = (50√3) × √3

⇒ CD = 150m

അതിനാൽ, കുന്നിന്റെ ഉയരം = CD = 150 m

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം 150 m ആണ്.

ചിത്രത്തിൽ നിന്ന്,

ടവറിന്റെ ഉയരം (AB) = AC – BC

BCD ത്രികോണത്തിൽ,

⇒ tan D = ലംബം/പാദം = BC/CD

⇒ tan30° = 10/CD

⇒ CD = 10√3 m

ത്രികോണം ACD യിൽ,

⇒ tan D = ലംബം/പാദം = AC/CD

⇒ tan (60°) = AC/10√3

⇒ AC = 30 m

∴ ടവറിന്റെ ഉയരം = 30 - 10 = 20 m 

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഗോവണിയുടെ നീളം = 5 മീറ്റർ

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

പൈഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തം

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്,

ഭിത്തിയിൽ നിന്ന് ഗോവണിയുടെ പാദത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം

 \(= \sqrt{5^2 - 3^2}\)

⇒ 4 m

അത് ഇപ്പോൾ ആകുന്നത് 4 - 2.6 = 1.4 m

അതിനാൽ, ഉയരം \(= \sqrt{5^2 - 1.4^2}\)

⇒ \(\sqrt{25 - 1.96}\)

⇒ \(\sqrt{23.04}\)

⇒ 4.8

അതിനാൽ ഗോവണി 4.8 - 3 = 1.8 മീറ്റർ മുകളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

∴ ഗോവണിയുടെ മുകൾഭാഗം ഭിത്തിയിൽ മുകളിലേക്ക് 1.8 മീ. നീങ്ങുന്നു.

തന്നിരിക്കുന്നത്:

BC = 18 മീറ്റർ 

ആശയം:

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

Tanθ =ലംബം/പാദം 

Cosθ = പാദം/കർണ്ണം

കണക്കുകൂട്ടൽ:

വൃക്ഷത്തിന്റെ ഉയരം = AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

അതിനാൽ, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54/√3 

⇒ 54/√3 × √3 /√3  (ഛേദത്തിൽ നിന്നും മൂലം(root) ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനായി യുക്തി പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ)

⇒ 54√3 / 3 = 18√3

∴ വൃക്ഷത്തിന്റെ ഉയരം = 18√3.

ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്യം: ഇവിടെ, വൃക്ഷത്തിന്റെ ആകെ ഉയരം (AB + AC) ആണ്.

മുകളിലുള്ള ചോദ്യം കഴിഞ്ഞ വർഷത്തെ ചോദ്യമാണ്. NCERT  പത്താം ക്ലാസിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് എടുത്ത ചോദ്യം. ശരിയായ ഉത്തരം 18√3 ആയിരിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്നത്,

ഒരു സ്ത്രീ അവരുടെ വീട്ടിൽ നിന്ന് 30 മീറ്റർ അകലെ നിൽക്കുന്നു. അവരുടെ ശിരസ്സിൽ നിന്നും വീടിന്റെ മുകളറ്റത്തേക്കുള്ള മേൽക്കോൺ 30°ഉം, അവരുടെ പാദത്തിൽ നിന്ന് വീടിന്റെ മുകളറ്റത്തേക്കുള്ള മേൽക്കോൺ 60°ഉം ആണ്. 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ΔABC യിൽ,

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/30 

⇒ AB = 30/√3

⇒ AB = 30√3/(√3 × √3) 

⇒ AB = 10√3 മീ.

ΔAED യിൽ, 

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 മീ.

വീടിന്റ മൊത്തം ഉയരം = 10√3 + 20√3 = 30√3

സ്ത്രീയുടെ ഉയരം = CD = BE = 20√3

വീടിന്റെയും സ്ത്രീയുടെയും മൊത്തം ഉയരം = 30√3 + 20√3 = 50√3

∴ വീടിന്റെയും സ്ത്രീയുടെയും മൊത്തം ഉയരം 50√3 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഗോവണിയുടെ നീളം = 5 മീറ്റർ

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

പൈഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തം

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്,

ഭിത്തിയിൽ നിന്ന് ഗോവണിയുടെ പാദത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം

 \(= \sqrt{5^2 - 3^2}\)

⇒ 4 m

അത് ഇപ്പോൾ ആകുന്നത് 4 - 2.6 = 1.4 m

അതിനാൽ, ഉയരം \(= \sqrt{5^2 - 1.4^2}\)

⇒ \(\sqrt{25 - 1.96}\)

⇒ \(\sqrt{23.04}\)

⇒ 4.8

അതിനാൽ ഗോവണി 4.8 - 3 = 1.8 മീറ്റർ മുകളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

∴ ഗോവണിയുടെ മുകൾഭാഗം ഭിത്തിയിൽ മുകളിലേക്ക് 1.8 മീ. നീങ്ങുന്നു.

നൽകിയിരിക്കുന്നത് 

125 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ടവറിൽ നിന്ന്, ഒരു കാറിന്റെ കീഴ്‌കോൺ 45° ആണ്.

ഉപയോഗിച്ച ആശയം

Tan 45° = 1

കണക്കുകൂട്ടൽ 

125 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ടവറിന്റെ ഉയരമാണ് AB.

കാർ നിൽക്കുന്ന ബിന്ദുവാണ് C.

Δ ABC യിൽ

Tan 45° = AB/BC

1 = AB/BC

AB = BC = 125 m.

ടവറും കാറും തമ്മിലുള്ള ദൂരം 125 m. ആണ്.

ടവറിൻ്റെ ഉയരം H മീറ്റർ എന്നെടുക്കാം.

ΔABC യിൽ,

tan 60° = AB/BC

⇒ √3 = h/BC

⇒ BC = h/√3

ΔABD യിൽ

tan 30° = AB/BD

⇒ 1/√3 = h/ (50 + h/√3)

⇒ 1/√3 = h√3/(50√3 + h)

⇒ 50√3 + h = 3h

⇒ h = 25√3

∴ ടവറിൻ്റെ ഉയരം 25√3 മീ.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ആൺകുട്ടിയുടെ ഉയരം = 120 സെ.മീ

ബലൂണിന്റെ ഉയരം = 8820 സെ.മീ

പ്രാരംഭ മേൽക്കോൺ = 60°

അന്തിമ മേൽക്കോൺ = 30°

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ:

ബലൂൺ സഞ്ചരിക്കുന്ന ദൂരം D ആയിരിക്കട്ടെ

ΔACE യിൽ,

⇒ tan 60° = AE/CE

⇒ √3 = (8820 – 120)/CE

CE = 8700/√3 

\(CE = \frac{8700}{√3} × \frac{√3}{√3} = 2900√3\)

⇒ CE = 2900√3 

 ΔBCG യിൽ,

⇒ tan 30° = BG/CG

⇒ 1/√3 = (8820 – 120)/CG

⇒ CG = 8700√3 

ബലൂൺ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം = EG

⇒ EG = CG – CE

⇒ EG = 8700√3 – 2900√3

⇒ EG = 5800√3

∴ ഇടവേളയിൽ ബലൂൺ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം 5800√3 ആണ്

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു കഴുക്കോലിന്റെ ഉയരം = 20 മീ

മറ്റൊരു കഴുക്കോലിന്റെ ഉയരം = 14 മീ

തിരശ്ചീനമായി കഴുക്കോലുകളുടെ മുകളിൽ രൂപീകരിച്ച കോൺ = 30° 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ത്രികോണം AED യിൽ, AE/AD = sin 30° 

⇒ 6/AD = 1/2 

⇒ AD = 12 m 

∴ കമ്പിയുടെ നീളം 12 മീറ്ററാണ്.

കണക്കുകൂട്ടൽ 

സ്തംഭത്തിന്റെ ഉയരം AB = h ആയിരിക്കട്ടെ.

 Δ ABC യിൽ 

Tanθ = AB/BC = h/x

Tan45° = h/x

⇒ h = x                - - - (i)

 Δ ABD യിൽ 

Tan30° = h / (x + 20)

1√3 = h / (x + 20)

h = (x + 20) / √3      - - - - (ii)

സമവാക്യം i, ii എന്നിവയിൽ നിന്ന്,

⇒ (x + 20) / √3 = x

⇒ √3x = x + 20

⇒ √3x - x = 20

⇒ x(√3 - 1) = 20

⇒ x = 20 / (√3 - 1) 

⇒ x = 20(√3 + 1) / 2

⇒ x = 10(√3 + 1)

 (i) മത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, h = x ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം.

ഉയരം = 10(√3 + 1)

നൽകിയത്:

എതിർ കരയിലെ മരത്തിന്റെ കീഴ്‌ക്കോൺ = 60°

കരയിൽ നിന്ന് 36 മീറ്റർ പിന്നോട്ട്, മരത്തിന്റെ കീഴ്‌ക്കോൺ = 30° 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

മരത്തിന്റെ ഉയരം ആകട്ടെ = h 

നദിയുടെ വീതിയാകട്ടെ = a 

ത്രികോണം BCD യിൽ, CD/BC = tan 60° 

⇒ h/a = √3 

⇒ a = h/√3                       .........(1) 

ത്രികോണം ACD യിൽ, CD/AC = tan 30° 

⇒ h/(36 + a) = 1/√3                 

⇒ √3h = 36 + a 

⇒ a = √3h - 36                   .........(2) 

(1), (2) എന്നിവ താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് 

⇒  h/√3 = √3h - 36 

⇒ h = 3h - 36√3 

⇒ 2h = 36√3

⇒ h = 18√3 m 

 h ന്റെ മൂല്യം നൽകുമ്പോൾ = സമവാക്യം (1) ൽ, 18√3 m 

⇒ a = 18√3/√3  

⇒ a = 18 m 

∴ നദിയുടെ വീതി 18 m. ആണ്.

CE = പ്ലാറ്റ്‌ഫോം, AD = ടവർ

C, A എന്നിവ യഥാക്രമം പ്ലാറ്റ്‌ഫോമിന്റെയും ടവറുകളുടെയും മുകൾഭാഗങ്ങളായിരിക്കട്ടെ.

ΔABC-യിൽ നിന്ന്,

⇒ tan 30° = AB/50√3

⇒ AB = 50 m

∴ ടവറിന്റെ ഉയരം = 50 + 7 = 57 മീ