ऊँचाई और दूरी MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Heights and Distances - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

टॉवर की ऊँचाई (h) = 250\(\sqrt{3}\) मीटर

टॉवर के पाद से बिंदु की दूरी (b) = 250 मीटर

प्रयुक्त सूत्र:

एक समकोण त्रिभुज में, tan\(\theta\) = \(\frac{लम्ब}{आधार}\)

यहाँ, लम्ब = टॉवर की ऊँचाई

आधार = टॉवर के पाद से दूरी

परिकलन:

माना \(\theta\) उन्नयन कोण है।

tan\(\theta\) = \(\frac{टॉवर की ऊँचाई}{टॉवर के पाद से दूरी}\)

tan\(\theta\) = \(\frac{250\sqrt{3}}{250}\)

⇒ tan\(\theta\) = \(\sqrt{3}\)

हम जानते हैं कि tan(60°) = \(\sqrt{3}\)

⇒ \(\theta\) = 60°

इसलिए, उन्नयन कोण 60° है।

दिया गया है:

छड़ की लंबाई : परछाई की लंबाई = 2 : √12

प्रयुक्त सूत्र:

tan θ = छड़ की ऊँचाई ÷ परछाई की लंबाई

गणना:

⇒ tan θ = 2 ÷ √12

⇒ tan θ = 2 ÷ 2√3 = 1 ÷ √3

⇒ θ = 30°

इसलिए, सूर्य का उन्नयन कोण 30° है।

दिया गया है:

क्षैतिज दूरी = 48 मीटर; उन्नयन कोण = \(30°\)

प्रयुक्त सूत्र:

\(\tan θ = \frac{\text{height}}{\text{distance}}\)

गणना:

⇒ \(\tan30° = \frac{h}{48}\)

⇒ \(\frac{1}{√3} = \frac{h}{48}\)

⇒ h = \(48 × \frac{1}{√3} = \frac{48}{√3}\) = 16√3

इसलिए, मीनार की ऊँचाई 16√3 मीटर है।

दिया गया है:

tan \(\theta = \frac{15}{8}\)

जमीन से सीढ़ी की ऊँचाई (लम्ब) = 30 मीटर

प्रयुक्त सूत्र:

tan \(\theta = \frac{\text{Height}}{\text{Base}}\)

\(\Rightarrow \text{Base} = \frac{\text{Height}}{\tan \theta}\)

गणना:

tan \(\theta = \frac{\text{Height}}{\text{Base}}\)

\(\frac{15}{8}\) \( = \frac{\text{30}}{\text{Base}}\)

⇒ आधार = \(\frac{30}{\frac{15}{8}} = 2 × 8 = 16\) मीटर

इसलिए, सही उत्तर 16 मीटर है।

दिया गया:

पेड़ की ऊंचाई (विपरीत दिशा) = 1 मीटर

छाया की लंबाई (आसन्न पक्ष) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) मीटर

प्रयुक्त सूत्र:

एक समकोण त्रिभुज में उन्नयन कोण की स्पर्शज्या निम्न प्रकार दी जाती है:

tan(θ) = विपरीत पक्ष / आसन्न पक्ष

गणना:

मान लीजिए θ सूर्य का उन्नयन कोण है।

tan(θ) = पेड़ की ऊंचाई / छाया की लंबाई

tan(θ) = \(\frac{1}{1/\sqrt{3}}\)

tan(θ) = \(1 \times \sqrt{3}\)

tan(θ) = \(\sqrt{3}\)

हम जानते हैं कि tan(60°) = \(\sqrt{3}\) .

इसलिए, θ = 60°

∴ सूर्य का उन्नयन कोण 60° है।

दिया हुआ:

BC = 18 मीटर

अवधारणा:

उपयोग किया गया सूत्र:

Tanθ = लंब/आधार

Cosθ = आधार/कर्ण

गणना:

पेड़ की ऊंचाई =  AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

इसलिए, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54 / √3 = 18√3

∴ पेड़ की ऊँचाई = 18√3.

ध्यान देनी वाली बात: यहाँ, पेड़ की कुल ऊचाई (AB + AC) है। 

उपरोक्त प्रश्न पिछले वर्ष का प्रश्न है जो सीधे NCERT कक्षा 10 वीं से लिया गया है। सही उत्तर 18√3 होगा

हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके उन्नयन कोण ज्ञात कर सकते हैं:

गणना:

जमीन से दो बिंदुओं के बीच की ऊँचाई के अंतर को "h" और दो बिंदुओं के बीच की क्षैतिज दूरी को "d" के रूप में माने।

उन्नयन कोण ज्ञात करने के लिए tan फलन का प्रयोग करेने पर:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\) 

उन्नयन कोण के लिए गणना:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d})\)

इस स्थिति में, h = 20 मीटर और d = 20√3 मीटर है।  

इसलिए:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

अतः उन्नयन कोण 30° है।

दिया गया है,

ΔABC में,

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/30 

⇒ AB = 30/√3

⇒ AB = 30√3/(√3 × √3) 

⇒ AB = 10√3 m

ΔAED में,

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 m

घर की कुल ऊंचाई = 10√3 + 20√3 = 30√3

महिला की ऊंचाई = CD = BE = 20√3

घर की कुल ऊंचाई और महिलाएं = 30√3 + 20√3 = 50√3

∴ घर और महिलाओं की कुल ऊंचाई 50√3 है

दिया गया है​:

एक बिंदु पर एक अधूरी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण = 30°

बिंदु पर पूर्ण मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण = 60°

मीनार से बिंदु तक की दूरी = 78 मीटर

गणना:

यहाँ, OC = अधूरे मीनार की ऊंचाई

AC = पूर्ण मीनार की ऊंचाई होगी

ΔOBC में, tan 30° = OC/BC

⇒ 1/√3 = OC/78  [∵ tan 30° = 1/√3]

⇒ OC = 78/√3

⇒ OC = (78 × √3)/(√3 × √3) = 26√3   .....(1)

माना, मीनार की ऊंचाई बढ़ाई जाएगी (AO) = x

ΔABC में, tan 60° = AC/BC

⇒ √3 = (OC + x)/78  [∵ tan 60° = √3]

⇒ x + OC = 78√3

⇒ x + 26√3 = 78√3

⇒ x = 78√3 - 26√3 = 52√3

∴ मीनार की ऊंचाई (मीटर में) 52√3 मीटर बढ़ाई जाएगी।

दिया गया है:

सीढ़ी की लंबाई = 5 मीटर

प्रयुक्त अवधारणा:

पाइथागोरस प्रमेय

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

दीवार से सीढ़ी के पाद तक की दूरी \(= \sqrt{5^2 - 3^2}\)

⇒ 4 मीटर

अब यह 4 - 2.6 = 1.4 मीटर हो गया है

अतः ऊंचाई  \(= \sqrt{5^2 - 1.4^2}\)

⇒ \(\sqrt{25 - 1.96}\)

⇒ \(\sqrt{23.04}\)

⇒ 4.8

तो सीढ़ी ऊपर की ओर 4.8 - 3 = 1.8 मीटर तक खिसकती है

∴ सीढ़ी दीवार पर ऊपर की ओर खिसकती 1.8 मीटर है

दिया गया है:

खम्भे के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण = 60º

खम्भे के शीर्ष से मीनार के तल का अवनमन कोण = 30º

गणना:

माना, खंभे की ऊँचाई (AB) = CD = x मीटर

इसलिए, ED की ऊँचाई = (76 - x) मीटर

इसलिए, ΔACD में, tan 30° = CD/AD

⇒ 1/√3 = x/AD

⇒ AD = √3x   .....(1)

ΔAED में, tan 60° = ED/AD

⇒ √3 = (76 - x)/√3x

⇒ 76 - x = 3x

⇒ 3x + x = 76

⇒ 4x = 76

⇒ x = 76/4 = 19

∴ खम्भे की ऊँचाई 19 मीटर है। 

दिया गया है

16 मीटर और 9 मीटर लंबाई वाले दो स्तम्भों के बीच की दूरी x मीटर है।

एक दूसरे के तल से उनके संबंधित शीर्ष के उन्नयन कोण एक दूसरे के पूरक हैं।

प्रयुक्त संकल्पना

यदि दो उन्नयन कोण एक दूसरे के पूरक हैं तो H = √ab

जहां a और b स्तम्भों की लंबाई हैं।

गणना

AB और CD दो स्तंभ हैं जिनकी लंबाई 16 मीटर और 9 मीटर है।

माना B और D पर उन्नयन कोण θ और (90 - θ) हैं। 

दो स्तम्भों के बीच की दूरी BD = x मीटर

Δ ABD में 

Tanθ = AB/BD = 16/x       - - - -(i)

Δ BDC में 

Tan(90 - θ) = CD/BD = 9/x

Cotθ = 9/x                       - - - - (ii)

समीकरण i और ii को गुणा करने पर,

⇒ Tanθ × Cotθ = (16/x) (9/x)

⇒ 144/x² = 1

⇒ x² = 144

⇒ x = 12 मीटर

Alternate Method

यदि दो उन्नयन कोण एक दूसरे के पूरक हैं तो x = √ab

जहां a और b स्तम्भों की लंबाई हैं।

x = \(\sqrt {16 \times 9} \)

x = √144

x = 12 मीटर

दिया गया है:

खंभे की लम्बाई = 23 मीटर

पहली खिड़की जमीन से 3√5 मीटर ऊपर है और दूसरी खिड़की जमीन से 4√15 मीटर ऊपर है। 

प्रयुक्त सूत्र:

एक समकोण त्रिभुज में,

आधार = √(कर्ण² - लंब²)

गणना:

यहाँ, गली की चौड़ाई = BC

ΔABO में,

BO = √(AO² - AB²)

= √(232 - 3√52)

= √(529 - 45)

= √484 = 22 मीटर

ΔOCD में,

 CO = √(DO2 - DC2)

= √(232 - 4√152)

= √(529 - 240)

= √289 = 17 मीटर

तब, BC = BO + CO

= 22 + 17

= 39 मीटर

∴ गली की चौड़ाई 39 मीटर है। 

दिया गया है:

दो दीवारों के बीच की दूरी = 100 मीटर 

अवधारणा:

लंबी सीढ़ी AC होगी क्योंकि छोटा कोण बनाने वाली संगत भुजा बड़े कोण की तुलना में बड़ी होती है।

गणना:

माना कि प्रत्येक दीवार की ऊँचाई = h

BC + CE = BE = 100 

⇒ CE = 100 - BC .......(1) 

त्रिभुज ABC में, AB/BC = tan 30° 

⇒ h/BC = 1/√3 

⇒ BC = √3h.......(2)

त्रिभुज CDE में, DE/CE = tan 60° 

⇒ h/(100 - BC) = √3 

h/(100 - √3h) = √3 

h = 100√3 - 3h

4h = 100√3 

h = 25√3 मीटर  ......  (3) 

(2) और (3) द्वारा 

BC = √3h = √3 × 25√3

⇒ BC = 75 मीटर 

पुनः त्रिभुज ABC में, BC/AC = cos 30° 

⇒ 75/AC = √3/2 

⇒ 150 = √3 × AC 

⇒ AC = 150/√3

⇒ AC = 150/√3 ×√3/√3

∴ AC = 50√3 मीटर  

Alternate Method अनुपात विधि द्वारा

3 + 1 = 4 = 100 मीटर 

\(\Rightarrow 2√{3}= \frac{100}{4}\times 2√{3}\)

AC = 50√3 

दिया गया:

लाइटहाउस की ऊंचाई = 100 मीटर

गणना:

त्रिभुज ADC में, AD/DC = tan 45°

⇒ AD/DC = 1      [tan 45° = 1]

⇒ AD = DC = 100 मीटर

त्रिभुज ABD में, AD/BD = tan 30°

⇒ 100/BD = 1/√3     [tan 30° = 1/√3] 

⇒ BD = 100 × √3 = 173m [ √3 = 1.73] 

∴ दो जहाजों के बीच की दूरी = BD + DC = 173 + 100 = 273 मीटर