ऊँचाई और दूरी MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Heights and Distances - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया:

पेड़ की ऊंचाई (विपरीत दिशा) = 1 मीटर

छाया की लंबाई (आसन्न पक्ष) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) मीटर

प्रयुक्त सूत्र:

एक समकोण त्रिभुज में उन्नयन कोण की स्पर्शज्या निम्न प्रकार दी जाती है:

tan(θ) = विपरीत पक्ष / आसन्न पक्ष

गणना:

मान लीजिए θ सूर्य का उन्नयन कोण है।

tan(θ) = पेड़ की ऊंचाई / छाया की लंबाई

tan(θ) = \(\frac{1}{1/\sqrt{3}}\)

tan(θ) = \(1 \times \sqrt{3}\)

tan(θ) = \(\sqrt{3}\)

हम जानते हैं कि tan(60°) = \(\sqrt{3}\) .

इसलिए, θ = 60°

∴ सूर्य का उन्नयन कोण 60° है।

दिया गया है:

समुद्र तल से 50 मीटर की ऊँचाई पर स्थित एक लाइट-हाउस से देखे जाने पर, एक नाव का अवनमन कोण 30° है।

प्रयुक्त अवधारणा:

tanθ = ऊँचाई ÷ आधार

\(\sqrt3 \approx 1.732\)

गणना:

यहाँ,

AB = समुद्र तल से लाइट-हाउस की ऊँचाई

BC = लाइट-हाउस के आधार और नाव के बीच की दूरी

अवनमन कोण = ∠DAC = 30°

चूँकि AD, BC के समांतर है, ∠DAC = 30° = ∠ACB

ΔABC, B पर एक समकोण त्रिभुज है।

इसलिए,

tan 30° = AB/BC

⇒ \(\frac {1}{\sqrt3}\) = \(\frac {50}{BC}\)

⇒ BC = \(50\sqrt3\)

⇒ BC = 50 × 1.732

⇒ BC ≈ 86.6

∴ नाव, लाइट हाउस से 86.6, 50√3 मीटर दूर है।

दिया गया है:

1.86 मीटर लंबाई का एक व्यक्ति 13.14 मीटर ऊँची इमारत के शीर्ष पर खड़ा है। वह एक मीनार को देखता है और मीनार के शीर्ष और आधार का उन्नयन और अवनमन कोण क्रमशः 30º और 60º हैं।

प्रयुक्त अवधारणा:

1. tan 60° = \({\sqrt3}\)

2. tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt3}\)

3. समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण की स्पर्शरेखा = \(\frac{Perpendicular}{Base}\)

गणना:

मान लीजिए, AB, 1.86 मीटर लंबा व्यक्ति है जो 13.6 मीटर ऊँचे मीनार BC पर खड़ा है। चूँकि व्यक्ति एक अन्य मीनार DG को देखता है, मीनार DG के शीर्ष और आधार का उन्नयन कोण अर्थात ∠EAD और अवनमन कोण अर्थात ∠EAG क्रमशः 30º और 60º हैं।

इसलिए, AB = 1.86, BC = 13.14, ∠EAD = 30º और ∠EAG = 60º है। 

चूँकि ∠EAG और ∠AGC एकांतर कोण हैं, तो ∠EAG = 60º = ∠AGC है। 

AE को CG के समानांतर खींचा गया है।

इसलिए, AE = CG और AC = EG है। 

ΔAED और ΔACG दोनों क्रमशः E और C पर समकोण त्रिभुज हैं।

अवधारणा के अनुसार,

ΔACG में,

tan ∠AGC = \(\frac{AC}{CG}\)

⇒ tan 60º = \(\frac {AB + BC}{CG}\)

⇒ \(\sqrt3 = \frac{1.86 + 13.14}{CG}\)

⇒ CG = \(\frac {15}{\sqrt3}\)

⇒ CG = \(5\sqrt3\)

⇒ AE = \(5\sqrt3\)    ....(1)

अब, ΔAED में,

tan ∠EAD = \(\frac{DE}{AE}\)

⇒ tan 30º = \(\frac {DE}{5\sqrt3}\) (समीकरण 1 से)

⇒ \(\frac{1}{\sqrt3}\) = \(\frac {DE}{5\sqrt3}\)

⇒ DE = 5

अब, DG की लंबाई:

⇒ EG + DE

⇒ AC + DE

⇒ AB + BC + DE

⇒ 13.14 + 1.86 + 5

⇒ 20

∴ मीनार की लंबाई 20 मीटर है। 

दिया गया:

एक दर्पण को ऊपर की ओर मुंह करके जमीन पर रखा गया है। एक आदमी दर्पण में एक मीनार के शीर्ष को देखता है जो दर्पण से 105 मीटर की दूरी पर है। आदमी दर्पण से 0.5 मीटर दूर है, और उसकी ऊंचाई 1.5 मीटर है।

गणना:

मान लीजिए AB और DE क्रमशः आदमी और टॉवर हैं।

Δ ABC और Δ CDE समरूप हैं

इसलिए,

DE / CD = AB / BC

⇒ h / 105 = 1.5 / 0.5

⇒ h = 105 × 3 = 315 मीटर

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

दीवार की ऊँचाई = 12 मीटर

सीढ़ी की लंबाई = 13 मीटर

गणना:

मान लीजिए कि दीवार से सीढ़ी के आधार की दूरी d मीटर है।

पाइथागोरस प्रमेय (a2 + b2 = c2) का उपयोग करने पर:

(दीवार से दूरी)2 + (दीवार की ऊँचाई)2 = (सीढ़ी की लंबाई)2

d2 + 122 = 132

d2 + 144 = 169

d2 = 169 - 144

d2 = 25

d = √25

d = 5

इसलिए, सीढ़ी का आधार जमीन पर दीवार से 5 मीटर की दूरी पर है।

अतः, "विकल्प 3" सही उत्तर है।

दिया हुआ:

BC = 18 मीटर

अवधारणा:

उपयोग किया गया सूत्र:

Tanθ = लंब/आधार

Cosθ = आधार/कर्ण

गणना:

पेड़ की ऊंचाई =  AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

इसलिए, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54 / √3 = 18√3

∴ पेड़ की ऊँचाई = 18√3.

ध्यान देनी वाली बात: यहाँ, पेड़ की कुल ऊचाई (AB + AC) है। 

उपरोक्त प्रश्न पिछले वर्ष का प्रश्न है जो सीधे NCERT कक्षा 10 वीं से लिया गया है। सही उत्तर 18√3 होगा

हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके उन्नयन कोण ज्ञात कर सकते हैं:

गणना:

जमीन से दो बिंदुओं के बीच की ऊँचाई के अंतर को "h" और दो बिंदुओं के बीच की क्षैतिज दूरी को "d" के रूप में माने।

उन्नयन कोण ज्ञात करने के लिए tan फलन का प्रयोग करेने पर:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\) 

उन्नयन कोण के लिए गणना:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d})\)

इस स्थिति में, h = 20 मीटर और d = 20√3 मीटर है।  

इसलिए:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

अतः उन्नयन कोण 30° है।

दिया गया है,

ΔABC में,

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/30 

⇒ AB = 30/√3

⇒ AB = 30√3/(√3 × √3) 

⇒ AB = 10√3 m

ΔAED में,

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 m

घर की कुल ऊंचाई = 10√3 + 20√3 = 30√3

महिला की ऊंचाई = CD = BE = 20√3

घर की कुल ऊंचाई और महिलाएं = 30√3 + 20√3 = 50√3

∴ घर और महिलाओं की कुल ऊंचाई 50√3 है

दिया गया है​:

एक बिंदु पर एक अधूरी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण = 30°

बिंदु पर पूर्ण मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण = 60°

मीनार से बिंदु तक की दूरी = 78 मीटर

गणना:

यहाँ, OC = अधूरे मीनार की ऊंचाई

AC = पूर्ण मीनार की ऊंचाई होगी

ΔOBC में, tan 30° = OC/BC

⇒ 1/√3 = OC/78  [∵ tan 30° = 1/√3]

⇒ OC = 78/√3

⇒ OC = (78 × √3)/(√3 × √3) = 26√3   .....(1)

माना, मीनार की ऊंचाई बढ़ाई जाएगी (AO) = x

ΔABC में, tan 60° = AC/BC

⇒ √3 = (OC + x)/78  [∵ tan 60° = √3]

⇒ x + OC = 78√3

⇒ x + 26√3 = 78√3

⇒ x = 78√3 - 26√3 = 52√3

∴ मीनार की ऊंचाई (मीटर में) 52√3 मीटर बढ़ाई जाएगी।

दिया गया है:

सीढ़ी की लंबाई = 5 मीटर

प्रयुक्त अवधारणा:

पाइथागोरस प्रमेय

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

दीवार से सीढ़ी के पाद तक की दूरी \(= \sqrt{5^2 - 3^2}\)

⇒ 4 मीटर

अब यह 4 - 2.6 = 1.4 मीटर हो गया है

अतः ऊंचाई  \(= \sqrt{5^2 - 1.4^2}\)

⇒ \(\sqrt{25 - 1.96}\)

⇒ \(\sqrt{23.04}\)

⇒ 4.8

तो सीढ़ी ऊपर की ओर 4.8 - 3 = 1.8 मीटर तक खिसकती है

∴ सीढ़ी दीवार पर ऊपर की ओर खिसकती 1.8 मीटर है

दिया गया है:

खम्भे के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण = 60º

खम्भे के शीर्ष से मीनार के तल का अवनमन कोण = 30º

गणना:

माना, खंभे की ऊँचाई (AB) = CD = x मीटर

इसलिए, ED की ऊँचाई = (76 - x) मीटर

इसलिए, ΔACD में, tan 30° = CD/AD

⇒ 1/√3 = x/AD

⇒ AD = √3x   .....(1)

ΔAED में, tan 60° = ED/AD

⇒ √3 = (76 - x)/√3x

⇒ 76 - x = 3x

⇒ 3x + x = 76

⇒ 4x = 76

⇒ x = 76/4 = 19

∴ खम्भे की ऊँचाई 19 मीटर है। 

दिया गया है

16 मीटर और 9 मीटर लंबाई वाले दो स्तम्भों के बीच की दूरी x मीटर है।

एक दूसरे के तल से उनके संबंधित शीर्ष के उन्नयन कोण एक दूसरे के पूरक हैं।

प्रयुक्त संकल्पना

यदि दो उन्नयन कोण एक दूसरे के पूरक हैं तो H = √ab

जहां a और b स्तम्भों की लंबाई हैं।

गणना

AB और CD दो स्तंभ हैं जिनकी लंबाई 16 मीटर और 9 मीटर है।

माना B और D पर उन्नयन कोण θ और (90 - θ) हैं। 

दो स्तम्भों के बीच की दूरी BD = x मीटर

Δ ABD में 

Tanθ = AB/BD = 16/x       - - - -(i)

Δ BDC में 

Tan(90 - θ) = CD/BD = 9/x

Cotθ = 9/x                       - - - - (ii)

समीकरण i और ii को गुणा करने पर,

⇒ Tanθ × Cotθ = (16/x) (9/x)

⇒ 144/x² = 1

⇒ x² = 144

⇒ x = 12 मीटर

Alternate Method

यदि दो उन्नयन कोण एक दूसरे के पूरक हैं तो x = √ab

जहां a और b स्तम्भों की लंबाई हैं।

x = \(\sqrt {16 \times 9} \)

x = √144

x = 12 मीटर

दिया गया है:

खंभे की लम्बाई = 23 मीटर

पहली खिड़की जमीन से 3√5 मीटर ऊपर है और दूसरी खिड़की जमीन से 4√15 मीटर ऊपर है। 

प्रयुक्त सूत्र:

एक समकोण त्रिभुज में,

आधार = √(कर्ण² - लंब²)

गणना:

यहाँ, गली की चौड़ाई = BC

ΔABO में,

BO = √(AO² - AB²)

= √(232 - 3√52)

= √(529 - 45)

= √484 = 22 मीटर

ΔOCD में,

 CO = √(DO2 - DC2)

= √(232 - 4√152)

= √(529 - 240)

= √289 = 17 मीटर

तब, BC = BO + CO

= 22 + 17

= 39 मीटर

∴ गली की चौड़ाई 39 मीटर है। 

दिया गया है:

दो दीवारों के बीच की दूरी = 100 मीटर 

अवधारणा:

लंबी सीढ़ी AC होगी क्योंकि छोटा कोण बनाने वाली संगत भुजा बड़े कोण की तुलना में बड़ी होती है।

गणना:

माना कि प्रत्येक दीवार की ऊँचाई = h

BC + CE = BE = 100 

⇒ CE = 100 - BC .......(1) 

त्रिभुज ABC में, AB/BC = tan 30° 

⇒ h/BC = 1/√3 

⇒ BC = √3h.......(2)

त्रिभुज CDE में, DE/CE = tan 60° 

⇒ h/(100 - BC) = √3 

h/(100 - √3h) = √3 

h = 100√3 - 3h

4h = 100√3 

h = 25√3 मीटर  ......  (3) 

(2) और (3) द्वारा 

BC = √3h = √3 × 25√3

⇒ BC = 75 मीटर 

पुनः त्रिभुज ABC में, BC/AC = cos 30° 

⇒ 75/AC = √3/2 

⇒ 150 = √3 × AC 

⇒ AC = 150/√3

⇒ AC = 150/√3 ×√3/√3

∴ AC = 50√3 मीटर  

Alternate Method अनुपात विधि द्वारा

3 + 1 = 4 = 100 मीटर 

\(\Rightarrow 2√{3}= \frac{100}{4}\times 2√{3}\)

AC = 50√3 

दिया गया:

लाइटहाउस की ऊंचाई = 100 मीटर

गणना:

त्रिभुज ADC में, AD/DC = tan 45°

⇒ AD/DC = 1      [tan 45° = 1]

⇒ AD = DC = 100 मीटर

त्रिभुज ABD में, AD/BD = tan 30°

⇒ 100/BD = 1/√3     [tan 30° = 1/√3] 

⇒ BD = 100 × √3 = 173m [ √3 = 1.73] 

∴ दो जहाजों के बीच की दूरी = BD + DC = 173 + 100 = 273 मीटर