Variance MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Variance - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

एकसमान वितरण:

एकसमान या आयताकार वितरण में यादृच्छिक चर X एक परिमित अंतराल [a, b] तक सीमित होता है और अंतराल पर f(x) एक स्थिरांक होता है।

चित्र में एक उदाहरण दिखाया गया है

एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का प्रसरण इस प्रकार दिया गया है:

\(\frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{{12}}\)

गणना:

दिया गया है: a = 2, b = 3

= \(\frac{{{{\left( {3 - 2} \right)}^2}}}{{12}}\)

= \(\frac{1}{{12}}\)

अवधारणा :

रैखिकता: यह सुपरपोजिशन (एडिटिविटी) और स्केलिंग (एकरूपता) का संयोजन है

एडिटिविटी:

x1(t) → y1(t)

x2(t) → y2(t)

x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)

स्केलिंग:

α x(f) → α y(t)

x(t) इनपुट सिग्नल है जबकि y(t) आउटपुट सिग्नल है।

समय अपरिवर्तनीय:

यदि इनपुट और आउटपुट विशेषताएँ समय के साथ नहीं बदलती हैं तो सिस्टम टाइम-इनवेरिएंट (TI) है।

समय-भिन्न प्रकृति आंतरिक घटकों के कारण होती है।

टीआई (शिफ्ट इनवेरिएंट) और टीवी (शिफ्ट डिपेंडेंट सिस्टम)

यदि

 x(t) → y(t) then

X(t – t0) → y(t – t0)

\(T.I\;y\left( t \right){\left. \right|_{x\left( {t - {t_0}} \right)}} = y\left( t \right){\left. \right|_{t = \left( {t - {t_0}} \right)}}\)

गणना :

दिया गया सिस्टम y[n] = x[-n] है

समय अपरिवर्तन के लिए जाँच कर रहा है:

\({\left. {y\left[ n \right]} \right|_{x\left[ {n - {n_0}} \right]}}\) _, यानी n_o द्वारा सिग्नल को शिफ्ट करने का परिणाम होगा:

\(y\left[ n \right]{\left. \right|_{x\left[ {x - {n_0}} \right]}} = x\left[ { - n - {n_0}} \right]\) ---(1)

अब n के स्थान पर n - n ₀ रखें।

\(y\left[ n \right]{\left. \right|_{n = n - {n_0}}} = x\left[ { - \left( {n - {n_0}} \right)} \right]\)

=x[-n + n0]       ---(२)

समीकरण (1) और (2) समान नहीं हैं, यह एक समय भिन्न प्रणाली है।

रैखिकता के लिए जाँच कर रहा है:

लत:

x ₁ [n] की आउटपुट प्रतिक्रिया y ₁ [n] के रूप में है

x ₂ [n] में y ₂ [n] के रूप में आउटपुट प्रतिक्रिया है

x1[-n] → y1[n]

x2[-n] → y2[n]

x1[-n] + x2[-n] → y1[n] + y2[n]

स्केलिंग भी संतुष्ट करता है।

तो दी गई प्रणाली रैखिक और समय विचरण प्रणाली है।

महत्वपूर्ण निष्कर्ष :

1) जब भी रैखिकता की जाँच करें, केवल समय निर्भरता देखें।

y[n] = x[-n]

दोनों एक ही कारक हैं, इसलिए रैखिक।

2) यदि आउटपुट इनपुट का त्रिकोणमितीय फलन है, तो सिस्टम अरैखिक होगा।

उदाहरण: y(t) = cos (x(t)) और y(t) = sample  {x(t)}

3) स्थिरांक का योग प्रणाली को अरैखिक बनाता है, अर्थात

y(t) = ax(t) + b अरैखिक है

4) अज्ञात सिग्नल के साथ सिग्नल का विभाजन और गुणन भी सिस्टम को नॉन लीनियर बनाता है।

5) ट्रंकेशन/राउंडिंग "क्वांटिज़ेशन" है जो गैर-रैखिक है।

संकल्पना:

एक प्रायिकता वितरण का प्रसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

σ² = E(X - X̅)² (जो कि (X - X̅)² का अपेक्षित मान है)

जहाँ, X̅ = दिए गए वितरण का माध्य है।

गणना:

दिए गए वितरण के माध्य की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\bar{X}=E\left( x \right)=\int xp\left( x \right)dx\)

p(x) आयाम \(\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\) के रूप में दिया गया है

इसलिए, \(\bar{x}=\underset{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}{\overset{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}{\mathop \int }}\,x.\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.dx\)

\(\Rightarrow \bar{x}=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}^{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}\)

\(=\frac{1}{2\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{4}-\left( \frac{~{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{4} \right) \right]\)

= 0

इसलिए, दिए गए वितरण का माध्य 0 है।

अब, प्रसरण की गणना σ² = E(X - 0)² = E(X²) के रूप में की जाती है

\({{\sigma }^{2}}=E\left( {{x}^{2}} \right)=\int {{x}^{2}}p\left( x \right)dx\)

दिए गए वितरण के लिए;

\({{\sigma }^{2}}=E\left( {{x}^{2}} \right)=\int {{x}^{2}}.\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.dx\)

\(=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\int {{x}^{2}}.dx\)

\(=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}^{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}\)

\(=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8}-\left( -\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8} \right) \right]\)

\(=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8}~+~\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8} \right]=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{4} \right]=\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{12}\)

इसलिए, दिए गए वितरण का प्रसरण \(\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{12}\) है

निहितार्थ:

संकल्पना:

यादृच्छिक चर \(\rm X\) में भिन्नता \(\rm \sigma _x^2\)  है। तो,

\(\rm E\left[ {{X^2}} \right]-{E^2}\left[ X \right] = \sigma _x^2\)

जहाँ, \(\rm E\left[ X \right]\), \(\rm X\) की प्रत्याशा को दर्शाता है। 

अब, हमारे पास यादृच्छिक चर Y की प्रत्याशा निम्न है

\(\rm E\left[ Y \right] = E\left[ {kX} \right] = kE\left[ X \right]\) (प्रत्याशा के गुण का प्रयोग करने पर)

अब, \(\rm E\left[ {{Y^2}\left] { = E} \right[{k^2}{X^2}} \right] = {k^2}E\left[ {{X^2}} \right]\)

अब, \(\rm Y\) की भिन्नता निम्न है

\(\rm \begin{array}{l} E\left[ {{Y^2}} \right]-{E^2}\left[ Y \right]\\ \rm = {k^2}E\left[ X \right]-{\left( {kE\left[ X \right]} \right)^2}\\ \rm = {k^2}E\left[ X \right]-{\left( {kE\left[ X \right]} \right)^2}\\ \rm = {k^2}\left( {E\left[ {{X^2}} \right]-{E^2}\left[ X \right]} \right)\\ \rm = {{\rm{k}}^2}\sigma _x^2 \end{array}\)

संकल्पना:

एक प्रायिकता वितरण का प्रसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

σ² = E(X - X̅)² (जो कि (X - X̅)² का अपेक्षित मान है)

जहाँ, X̅ = दिए गए वितरण का माध्य है।

गणना:

दिए गए वितरण के माध्य की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\bar{X}=E\left( x \right)=\int xp\left( x \right)dx\)

p(x) आयाम \(\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\) के रूप में दिया गया है

इसलिए, \(\bar{x}=\underset{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}{\overset{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}{\mathop \int }}\,x.\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.dx\)

\(\Rightarrow \bar{x}=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}^{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}\)

\(=\frac{1}{2\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{4}-\left( \frac{~{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{4} \right) \right]\)

= 0

इसलिए, दिए गए वितरण का माध्य 0 है।

अब, प्रसरण की गणना σ² = E(X - 0)² = E(X²) के रूप में की जाती है

\({{\sigma }^{2}}=E\left( {{x}^{2}} \right)=\int {{x}^{2}}p\left( x \right)dx\)

दिए गए वितरण के लिए;

\({{\sigma }^{2}}=E\left( {{x}^{2}} \right)=\int {{x}^{2}}.\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.dx\)

\(=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\int {{x}^{2}}.dx\)

\(=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}^{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}\)

\(=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8}-\left( -\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8} \right) \right]\)

\(=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8}~+~\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8} \right]=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{4} \right]=\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{12}\)

इसलिए, दिए गए वितरण का प्रसरण \(\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{12}\) है

निहितार्थ:

संकल्पना:

एक प्रायिकता वितरण का प्रसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

σ² = E(X - X̅)² (जो कि (X - X̅)² का अपेक्षित मान है)

जहाँ, X̅ = दिए गए वितरण का माध्य है।

गणना:

दिए गए वितरण के माध्य की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\bar{X}=E\left( x \right)=\int xp\left( x \right)dx\)

p(x) आयाम \(\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\) के रूप में दिया गया है

इसलिए, \(\bar{x}=\underset{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}{\overset{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}{\mathop \int }}\,x.\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.dx\)

\(\Rightarrow \bar{x}=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}^{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}\)

\(=\frac{1}{2\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{4}-\left( \frac{~{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{4} \right) \right]\)

= 0

इसलिए, दिए गए वितरण का माध्य 0 है।

अब, प्रसरण की गणना σ² = E(X - 0)² = E(X²) के रूप में की जाती है

\({{\sigma }^{2}}=E\left( {{x}^{2}} \right)=\int {{x}^{2}}p\left( x \right)dx\)

दिए गए वितरण के लिए;

\({{\sigma }^{2}}=E\left( {{x}^{2}} \right)=\int {{x}^{2}}.\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}.dx\)

\(=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\int {{x}^{2}}.dx\)

\(=\frac{1}{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{-\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}^{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }/2}\)

\(=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8}-\left( -\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8} \right) \right]\)

\(=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8}~+~\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{8} \right]=\frac{1}{3\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}\left[ \frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{3}}}{4} \right]=\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{12}\)

इसलिए, दिए गए वितरण का प्रसरण \(\frac{{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}^{2}}}{12}\) है

निहितार्थ:

संकल्पना:

यादृच्छिक चर \(\rm X\) में भिन्नता \(\rm \sigma _x^2\)  है। तो,

\(\rm E\left[ {{X^2}} \right]-{E^2}\left[ X \right] = \sigma _x^2\)

जहाँ, \(\rm E\left[ X \right]\), \(\rm X\) की प्रत्याशा को दर्शाता है। 

अब, हमारे पास यादृच्छिक चर Y की प्रत्याशा निम्न है

\(\rm E\left[ Y \right] = E\left[ {kX} \right] = kE\left[ X \right]\) (प्रत्याशा के गुण का प्रयोग करने पर)

अब, \(\rm E\left[ {{Y^2}\left] { = E} \right[{k^2}{X^2}} \right] = {k^2}E\left[ {{X^2}} \right]\)

अब, \(\rm Y\) की भिन्नता निम्न है

\(\rm \begin{array}{l} E\left[ {{Y^2}} \right]-{E^2}\left[ Y \right]\\ \rm = {k^2}E\left[ X \right]-{\left( {kE\left[ X \right]} \right)^2}\\ \rm = {k^2}E\left[ X \right]-{\left( {kE\left[ X \right]} \right)^2}\\ \rm = {k^2}\left( {E\left[ {{X^2}} \right]-{E^2}\left[ X \right]} \right)\\ \rm = {{\rm{k}}^2}\sigma _x^2 \end{array}\)

संकल्पना:

एकसमान वितरण:

एकसमान या आयताकार वितरण में यादृच्छिक चर X एक परिमित अंतराल [a, b] तक सीमित होता है और अंतराल पर f(x) एक स्थिरांक होता है।

चित्र में एक उदाहरण दिखाया गया है

एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का प्रसरण इस प्रकार दिया गया है:

\(\frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{{12}}\)

गणना:

दिया गया है: a = 2, b = 3

= \(\frac{{{{\left( {3 - 2} \right)}^2}}}{{12}}\)

= \(\frac{1}{{12}}\)

अवधारणा :

रैखिकता: यह सुपरपोजिशन (एडिटिविटी) और स्केलिंग (एकरूपता) का संयोजन है

एडिटिविटी:

x1(t) → y1(t)

x2(t) → y2(t)

x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)

स्केलिंग:

α x(f) → α y(t)

x(t) इनपुट सिग्नल है जबकि y(t) आउटपुट सिग्नल है।

समय अपरिवर्तनीय:

यदि इनपुट और आउटपुट विशेषताएँ समय के साथ नहीं बदलती हैं तो सिस्टम टाइम-इनवेरिएंट (TI) है।

समय-भिन्न प्रकृति आंतरिक घटकों के कारण होती है।

टीआई (शिफ्ट इनवेरिएंट) और टीवी (शिफ्ट डिपेंडेंट सिस्टम)

यदि

 x(t) → y(t) then

X(t – t0) → y(t – t0)

\(T.I\;y\left( t \right){\left. \right|_{x\left( {t - {t_0}} \right)}} = y\left( t \right){\left. \right|_{t = \left( {t - {t_0}} \right)}}\)

गणना :

दिया गया सिस्टम y[n] = x[-n] है

समय अपरिवर्तन के लिए जाँच कर रहा है:

\({\left. {y\left[ n \right]} \right|_{x\left[ {n - {n_0}} \right]}}\) _, यानी n_o द्वारा सिग्नल को शिफ्ट करने का परिणाम होगा:

\(y\left[ n \right]{\left. \right|_{x\left[ {x - {n_0}} \right]}} = x\left[ { - n - {n_0}} \right]\) ---(1)

अब n के स्थान पर n - n ₀ रखें।

\(y\left[ n \right]{\left. \right|_{n = n - {n_0}}} = x\left[ { - \left( {n - {n_0}} \right)} \right]\)

=x[-n + n0]       ---(२)

समीकरण (1) और (2) समान नहीं हैं, यह एक समय भिन्न प्रणाली है।

रैखिकता के लिए जाँच कर रहा है:

लत:

x ₁ [n] की आउटपुट प्रतिक्रिया y ₁ [n] के रूप में है

x ₂ [n] में y ₂ [n] के रूप में आउटपुट प्रतिक्रिया है

x1[-n] → y1[n]

x2[-n] → y2[n]

x1[-n] + x2[-n] → y1[n] + y2[n]

स्केलिंग भी संतुष्ट करता है।

तो दी गई प्रणाली रैखिक और समय विचरण प्रणाली है।

महत्वपूर्ण निष्कर्ष :

1) जब भी रैखिकता की जाँच करें, केवल समय निर्भरता देखें।

y[n] = x[-n]

दोनों एक ही कारक हैं, इसलिए रैखिक।

2) यदि आउटपुट इनपुट का त्रिकोणमितीय फलन है, तो सिस्टम अरैखिक होगा।

उदाहरण: y(t) = cos (x(t)) और y(t) = sample  {x(t)}

3) स्थिरांक का योग प्रणाली को अरैखिक बनाता है, अर्थात

y(t) = ax(t) + b अरैखिक है

4) अज्ञात सिग्नल के साथ सिग्नल का विभाजन और गुणन भी सिस्टम को नॉन लीनियर बनाता है।

5) ट्रंकेशन/राउंडिंग "क्वांटिज़ेशन" है जो गैर-रैखिक है।