Statistical Averages MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Statistical Averages - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही उत्तर z = 3.6 है। 

Key Points

• परीक्षण आँकड़ा मानक विचलन के संदर्भ में प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर की एक माप है।
• इस स्थिति में, परीक्षण आँकड़ों की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
  • $z=(samplemean-populationmean)/(standarddeviation/\sqrt{(}samplesize))$
  • $z=(90-82)/(20/\sqrt{(}81))$
  • z = 3.6

Additional Information

• परीक्षण आँकड़ा मानक विचलन के संदर्भ में प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर की एक माप है।
• प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच के अंतर को नमूना आकार के वर्गमूल से विभाजित मानक विचलन द्वारा विभाजित करके परीक्षण आँकड़ों की गणना की जाती है।
• प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर के महत्व को निर्धारित करने के लिए परीक्षण सांख्यिकी का उपयोग किया जा सकता है।
• यदि परीक्षण आँकड़ा काफी बड़ा है, तो यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रतिदर्श माध्य जनसंख्या माध्य से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न है।

Additional Information

• परीक्षण आँकड़ा
  • यह केवल तभी सार्थक है, जब नमूना एक यादृच्छिक नमूना हो।
  • यह मानता है कि जनसंख्या सामान्य रूप से वितरित है।
  • यह सूचना का केवल एक भाग है जिसका उपयोग जनसंख्या माध्य के बारे में अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।
    • अन्य कारकों, जैसे प्रतिदर्श आकार और जनसंख्या की परिवर्तनशीलता को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए।

संकल्पना:

एकसमान वितरण:

एकसमान या आयताकार वितरण में यादृच्छिक चर X एक परिमित अंतराल [a, b] तक सीमित होता है और अंतराल पर f(x) एक स्थिरांक होता है।

चित्र में एक उदाहरण दिखाया गया है

एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का प्रसरण इस प्रकार दिया गया है:

$\frac{{\left(b-a\right)}^2}{12}$

गणना:

दिया गया है: a = 2, b = 3

= $\frac{{\left(3-2\right)}^2}{12}$

= $\frac{1}{12}$

अवधारणा :

रैखिकता: यह सुपरपोजिशन (एडिटिविटी) और स्केलिंग (एकरूपता) का संयोजन है

एडिटिविटी:

x1(t) → y1(t)

x2(t) → y2(t)

x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)

स्केलिंग:

α x(f) → α y(t)

x(t) इनपुट सिग्नल है जबकि y(t) आउटपुट सिग्नल है।

समय अपरिवर्तनीय:

यदि इनपुट और आउटपुट विशेषताएँ समय के साथ नहीं बदलती हैं तो सिस्टम टाइम-इनवेरिएंट (TI) है।

समय-भिन्न प्रकृति आंतरिक घटकों के कारण होती है।

टीआई (शिफ्ट इनवेरिएंट) और टीवी (शिफ्ट डिपेंडेंट सिस्टम)

यदि

 x(t) → y(t) then

X(t – t0) → y(t – t0)

$T.Iy\left(t\right){|}_{x\left(t-t_0\right)}=y\left(t\right){|}_{t=\left(t-t_0\right)}$

गणना :

दिया गया सिस्टम y[n] = x[-n] है

समय अपरिवर्तन के लिए जाँच कर रहा है:

${y\left[n\right]|}_{x\left[n-n_0\right]}$ _, यानी n_o द्वारा सिग्नल को शिफ्ट करने का परिणाम होगा:

$y\left[n\right]{|}_{x\left[x-n_0\right]}=x\left[-n-n_0\right]$ ---(1)

अब n के स्थान पर n - n ₀ रखें।

$y\left[n\right]{|}_{n=n-n_0}=x\left[-\left(n-n_0\right)\right]$

=x[-n + n0]       ---(२)

समीकरण (1) और (2) समान नहीं हैं, यह एक समय भिन्न प्रणाली है।

रैखिकता के लिए जाँच कर रहा है:

लत:

x ₁ [n] की आउटपुट प्रतिक्रिया y ₁ [n] के रूप में है

x ₂ [n] में y ₂ [n] के रूप में आउटपुट प्रतिक्रिया है

x1[-n] → y1[n]

x2[-n] → y2[n]

x1[-n] + x2[-n] → y1[n] + y2[n]

स्केलिंग भी संतुष्ट करता है।

तो दी गई प्रणाली रैखिक और समय विचरण प्रणाली है।

महत्वपूर्ण निष्कर्ष :

1) जब भी रैखिकता की जाँच करें, केवल समय निर्भरता देखें।

y[n] = x[-n]

दोनों एक ही कारक हैं, इसलिए रैखिक।

2) यदि आउटपुट इनपुट का त्रिकोणमितीय फलन है, तो सिस्टम अरैखिक होगा।

उदाहरण: y(t) = cos (x(t)) और y(t) = sample  {x(t)}

3) स्थिरांक का योग प्रणाली को अरैखिक बनाता है, अर्थात

y(t) = ax(t) + b अरैखिक है

4) अज्ञात सिग्नल के साथ सिग्नल का विभाजन और गुणन भी सिस्टम को नॉन लीनियर बनाता है।

5) ट्रंकेशन/राउंडिंग "क्वांटिज़ेशन" है जो गैर-रैखिक है।

संकल्पना:

प्वासों बंटन के मामले में माध्य और प्रसरण समान हैं।

गणना:

दिया गया, माध्य = 6

E[(X + 3)2] = E [X2 + 6X + 9] = E[X2] + E[6X] + E[9]      ----(1)

प्रसरण = E[X2] – (E[X])2

जैसे, माध्य = प्रसरण = 5

माध्य = E[X]

5 = E[X2] -  (5)2

5 = E[X2] - 25

E[X2] = 30

समीकरण 1 से;

संकल्पना:

एक प्रायिकता वितरण का प्रसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

σ² = E(X - X̅)² (जो कि (X - X̅)² का अपेक्षित मान है)

जहाँ, X̅ = दिए गए वितरण का माध्य है।

गणना:

दिए गए वितरण के माध्य की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\overline{X}=E\left(x\right)=\int xp\left(x\right)dx$

p(x) आयाम $\frac{1}{\mathrm{\Delta }}$ के रूप में दिया गया है

इसलिए, $\overline{x}=\underset{-\mathrm{\Delta }/2}{\stackrel{\mathrm{\Delta }/2}{\int }}x.\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.dx$

$\Rightarrow \overline{x}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.{\frac{x^2}{2}|}_{-\mathrm{\Delta }/2}^{\mathrm{\Delta }/2}$

$=\frac{1}{2\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{4}-\left(\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{4}\right)]$

= 0

इसलिए, दिए गए वितरण का माध्य 0 है।

अब, प्रसरण की गणना σ² = E(X - 0)² = E(X²) के रूप में की जाती है

${\sigma }^2=E\left(x^2\right)=\int x^{2}p\left(x\right)dx$

दिए गए वितरण के लिए;

${\sigma }^2=E\left(x^2\right)=\int x^2.\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.dx$

$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}\int x^2.dx$

$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}{\frac{x^3}{3}|}_{-\mathrm{\Delta }/2}^{\mathrm{\Delta }/2}$

$=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}-(-\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8})]$

$=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}]=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}\left[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{4}\right]=\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{12}$

इसलिए, दिए गए वितरण का प्रसरण $\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{12}$ है

निहितार्थ:

संकल्पना:

एक प्रायिकता वितरण का प्रसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

σ² = E(X - X̅)² (जो कि (X - X̅)² का अपेक्षित मान है)

जहाँ, X̅ = दिए गए वितरण का माध्य है।

गणना:

दिए गए वितरण के माध्य की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\overline{X}=E\left(x\right)=\int xp\left(x\right)dx$

p(x) आयाम $\frac{1}{\mathrm{\Delta }}$ के रूप में दिया गया है

इसलिए, $\overline{x}=\underset{-\mathrm{\Delta }/2}{\stackrel{\mathrm{\Delta }/2}{\int }}x.\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.dx$

$\Rightarrow \overline{x}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.{\frac{x^2}{2}|}_{-\mathrm{\Delta }/2}^{\mathrm{\Delta }/2}$

$=\frac{1}{2\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{4}-\left(\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{4}\right)]$

= 0

इसलिए, दिए गए वितरण का माध्य 0 है।

अब, प्रसरण की गणना σ² = E(X - 0)² = E(X²) के रूप में की जाती है

${\sigma }^2=E\left(x^2\right)=\int x^{2}p\left(x\right)dx$

दिए गए वितरण के लिए;

${\sigma }^2=E\left(x^2\right)=\int x^2.\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.dx$

$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}\int x^2.dx$

$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}{\frac{x^3}{3}|}_{-\mathrm{\Delta }/2}^{\mathrm{\Delta }/2}$

$=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}-(-\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8})]$

$=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}]=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}\left[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{4}\right]=\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{12}$

इसलिए, दिए गए वितरण का प्रसरण $\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{12}$ है

निहितार्थ:

सही उत्तर z = 3.6 है। 

Key Points

• परीक्षण आँकड़ा मानक विचलन के संदर्भ में प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर की एक माप है।
• इस स्थिति में, परीक्षण आँकड़ों की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
  • $z=(samplemean-populationmean)/(standarddeviation/\sqrt{(}samplesize))$
  • $z=(90-82)/(20/\sqrt{(}81))$
  • z = 3.6

Additional Information

• परीक्षण आँकड़ा मानक विचलन के संदर्भ में प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर की एक माप है।
• प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच के अंतर को नमूना आकार के वर्गमूल से विभाजित मानक विचलन द्वारा विभाजित करके परीक्षण आँकड़ों की गणना की जाती है।
• प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर के महत्व को निर्धारित करने के लिए परीक्षण सांख्यिकी का उपयोग किया जा सकता है।
• यदि परीक्षण आँकड़ा काफी बड़ा है, तो यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रतिदर्श माध्य जनसंख्या माध्य से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न है।

Additional Information

• परीक्षण आँकड़ा
  • यह केवल तभी सार्थक है, जब नमूना एक यादृच्छिक नमूना हो।
  • यह मानता है कि जनसंख्या सामान्य रूप से वितरित है।
  • यह सूचना का केवल एक भाग है जिसका उपयोग जनसंख्या माध्य के बारे में अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।
    • अन्य कारकों, जैसे प्रतिदर्श आकार और जनसंख्या की परिवर्तनशीलता को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए।

संकल्पना:

प्वासों बंटन के मामले में माध्य और प्रसरण समान हैं।

गणना:

दिया गया, माध्य = 6

E[(X + 3)2] = E [X2 + 6X + 9] = E[X2] + E[6X] + E[9]      ----(1)

प्रसरण = E[X2] – (E[X])2

जैसे, माध्य = प्रसरण = 5

माध्य = E[X]

5 = E[X2] -  (5)2

5 = E[X2] - 25

E[X2] = 30

समीकरण 1 से;

संकल्पना:

एक प्रायिकता वितरण का प्रसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

σ² = E(X - X̅)² (जो कि (X - X̅)² का अपेक्षित मान है)

जहाँ, X̅ = दिए गए वितरण का माध्य है।

गणना:

दिए गए वितरण के माध्य की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\overline{X}=E\left(x\right)=\int xp\left(x\right)dx$

p(x) आयाम $\frac{1}{\mathrm{\Delta }}$ के रूप में दिया गया है

इसलिए, $\overline{x}=\underset{-\mathrm{\Delta }/2}{\stackrel{\mathrm{\Delta }/2}{\int }}x.\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.dx$

$\Rightarrow \overline{x}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.{\frac{x^2}{2}|}_{-\mathrm{\Delta }/2}^{\mathrm{\Delta }/2}$

$=\frac{1}{2\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{4}-\left(\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{4}\right)]$

= 0

इसलिए, दिए गए वितरण का माध्य 0 है।

अब, प्रसरण की गणना σ² = E(X - 0)² = E(X²) के रूप में की जाती है

${\sigma }^2=E\left(x^2\right)=\int x^{2}p\left(x\right)dx$

दिए गए वितरण के लिए;

${\sigma }^2=E\left(x^2\right)=\int x^2.\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.dx$

$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}\int x^2.dx$

$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}{\frac{x^3}{3}|}_{-\mathrm{\Delta }/2}^{\mathrm{\Delta }/2}$

$=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}-(-\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8})]$

$=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}]=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}\left[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{4}\right]=\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{12}$

इसलिए, दिए गए वितरण का प्रसरण $\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{12}$ है

निहितार्थ:

संकल्पना:

यादृच्छिक चर $\mathrm{X}$ में भिन्नता ${\sigma }_{\mathrm{x}}^2$  है। तो,

$\mathrm{E}\left[{\mathrm{X}}^2\right]-{\mathrm{E}}^2\left[\mathrm{X}\right]={\sigma }_{\mathrm{x}}^2$

जहाँ, $\mathrm{E}\left[\mathrm{X}\right]$, $\mathrm{X}$ की प्रत्याशा को दर्शाता है। 

अब, हमारे पास यादृच्छिक चर Y की प्रत्याशा निम्न है

$\mathrm{E}\left[\mathrm{Y}\right]=\mathrm{E}\left[\mathrm{k}\mathrm{X}\right]=\mathrm{k}\mathrm{E}\left[\mathrm{X}\right]$ (प्रत्याशा के गुण का प्रयोग करने पर)

अब, $\mathrm{E}\left[{\mathrm{Y}}^2\left]=\mathrm{E}\right[{\mathrm{k}}^2{\mathrm{X}}^2\right]={\mathrm{k}}^2\mathrm{E}\left[{\mathrm{X}}^2\right]$

अब, $\mathrm{Y}$ की भिन्नता निम्न है

$\begin{array}{l}E\left[Y^2\right]-E^2\left[Y\right]\\ ={\mathrm{k}}^2\mathrm{E}\left[\mathrm{X}\right]-{\left(\mathrm{k}\mathrm{E}\left[\mathrm{X}\right]\right)}^2\\ ={\mathrm{k}}^2\mathrm{E}\left[\mathrm{X}\right]-{\left(\mathrm{k}\mathrm{E}\left[\mathrm{X}\right]\right)}^2\\ ={\mathrm{k}}^2\left(\mathrm{E}\left[{\mathrm{X}}^2\right]-{\mathrm{E}}^2\left[\mathrm{X}\right]\right)\\ ={\mathrm{k}}^2{\sigma }_{\mathrm{x}}^2\end{array}$

संकल्पना:

एकसमान वितरण:

एकसमान या आयताकार वितरण में यादृच्छिक चर X एक परिमित अंतराल [a, b] तक सीमित होता है और अंतराल पर f(x) एक स्थिरांक होता है।

चित्र में एक उदाहरण दिखाया गया है

एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का प्रसरण इस प्रकार दिया गया है:

$\frac{{\left(b-a\right)}^2}{12}$

गणना:

दिया गया है: a = 2, b = 3

= $\frac{{\left(3-2\right)}^2}{12}$

= $\frac{1}{12}$

सही उत्तर z = 3.6 है। 

Key Points

• परीक्षण आँकड़ा मानक विचलन के संदर्भ में प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर की एक माप है।
• इस स्थिति में, परीक्षण आँकड़ों की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
  • $z=(samplemean-populationmean)/(standarddeviation/\sqrt{(}samplesize))$
  • $z=(90-82)/(20/\sqrt{(}81))$
  • z = 3.6

Additional Information

• परीक्षण आँकड़ा मानक विचलन के संदर्भ में प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर की एक माप है।
• प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच के अंतर को नमूना आकार के वर्गमूल से विभाजित मानक विचलन द्वारा विभाजित करके परीक्षण आँकड़ों की गणना की जाती है।
• प्रतिदर्श माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच अंतर के महत्व को निर्धारित करने के लिए परीक्षण सांख्यिकी का उपयोग किया जा सकता है।
• यदि परीक्षण आँकड़ा काफी बड़ा है, तो यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रतिदर्श माध्य जनसंख्या माध्य से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न है।

Additional Information

• परीक्षण आँकड़ा
  • यह केवल तभी सार्थक है, जब नमूना एक यादृच्छिक नमूना हो।
  • यह मानता है कि जनसंख्या सामान्य रूप से वितरित है।
  • यह सूचना का केवल एक भाग है जिसका उपयोग जनसंख्या माध्य के बारे में अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।
    • अन्य कारकों, जैसे प्रतिदर्श आकार और जनसंख्या की परिवर्तनशीलता को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए।

अवधारणा :

रैखिकता: यह सुपरपोजिशन (एडिटिविटी) और स्केलिंग (एकरूपता) का संयोजन है

एडिटिविटी:

x1(t) → y1(t)

x2(t) → y2(t)

x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t)

स्केलिंग:

α x(f) → α y(t)

x(t) इनपुट सिग्नल है जबकि y(t) आउटपुट सिग्नल है।

समय अपरिवर्तनीय:

यदि इनपुट और आउटपुट विशेषताएँ समय के साथ नहीं बदलती हैं तो सिस्टम टाइम-इनवेरिएंट (TI) है।

समय-भिन्न प्रकृति आंतरिक घटकों के कारण होती है।

टीआई (शिफ्ट इनवेरिएंट) और टीवी (शिफ्ट डिपेंडेंट सिस्टम)

यदि

 x(t) → y(t) then

X(t – t0) → y(t – t0)

$T.Iy\left(t\right){|}_{x\left(t-t_0\right)}=y\left(t\right){|}_{t=\left(t-t_0\right)}$

गणना :

दिया गया सिस्टम y[n] = x[-n] है

समय अपरिवर्तन के लिए जाँच कर रहा है:

${y\left[n\right]|}_{x\left[n-n_0\right]}$ _, यानी n_o द्वारा सिग्नल को शिफ्ट करने का परिणाम होगा:

$y\left[n\right]{|}_{x\left[x-n_0\right]}=x\left[-n-n_0\right]$ ---(1)

अब n के स्थान पर n - n ₀ रखें।

$y\left[n\right]{|}_{n=n-n_0}=x\left[-\left(n-n_0\right)\right]$

=x[-n + n0]       ---(२)

समीकरण (1) और (2) समान नहीं हैं, यह एक समय भिन्न प्रणाली है।

रैखिकता के लिए जाँच कर रहा है:

लत:

x ₁ [n] की आउटपुट प्रतिक्रिया y ₁ [n] के रूप में है

x ₂ [n] में y ₂ [n] के रूप में आउटपुट प्रतिक्रिया है

x1[-n] → y1[n]

x2[-n] → y2[n]

x1[-n] + x2[-n] → y1[n] + y2[n]

स्केलिंग भी संतुष्ट करता है।

तो दी गई प्रणाली रैखिक और समय विचरण प्रणाली है।

महत्वपूर्ण निष्कर्ष :

1) जब भी रैखिकता की जाँच करें, केवल समय निर्भरता देखें।

y[n] = x[-n]

दोनों एक ही कारक हैं, इसलिए रैखिक।

2) यदि आउटपुट इनपुट का त्रिकोणमितीय फलन है, तो सिस्टम अरैखिक होगा।

उदाहरण: y(t) = cos (x(t)) और y(t) = sample  {x(t)}

3) स्थिरांक का योग प्रणाली को अरैखिक बनाता है, अर्थात

y(t) = ax(t) + b अरैखिक है

4) अज्ञात सिग्नल के साथ सिग्नल का विभाजन और गुणन भी सिस्टम को नॉन लीनियर बनाता है।

5) ट्रंकेशन/राउंडिंग "क्वांटिज़ेशन" है जो गैर-रैखिक है।