Thermodynamic Quantities For Model Systems MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Thermodynamic Quantities For Model Systems - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 30, 2025
Latest Thermodynamic Quantities For Model Systems MCQ Objective Questions
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 1:
शून्य ऊर्जा पर एक अवस्था और ऊर्जा E पर दूसरी अवस्था वाले निकाय का विभाजन फलन लिखिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
1. विभाजन फलन एक निकाय की सभी संभावित अवस्थाओं का योग है, जो उनके बोल्ट्जमान गुणांकों द्वारा भारित होता है।
2. ऊर्जा (Ei) वाली प्रत्येक अवस्था i के लिए, बोल्ट्जमान गुणांक (e-βEi) होता है, जहाँ \(β = \frac{1}{k_B T} \) , जहाँ (kB) बोल्ट्जमान नियतांक और (T) तापमान है।
3. विभाजन फलन \(Z = \sum_i e^{-β E_i} \) द्वारा दिया जाता है, जहाँ योग निकाय की सभी अवस्थाओं पर है।
व्याख्या:
दो अवस्थाओं वाले निकाय को दिया गया है:
- शून्य ऊर्जा पर एक अवस्था, E0 = 0
- ऊर्जा E पर दूसरी अवस्था, E1 = E
इस निकाय के लिए विभाजन फलन (Z) प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणांकों का योग है:
\( Z = e^{-β E_0} + e^{-β E_1} \)
चूँकि (E0 = 0), मूल अवस्था (शून्य ऊर्जा अवस्था) के लिए बोल्ट्जमान गुणांक है:
\(e^{-β E_0} = e^{-β \cdot 0} = 1 \)
ऊर्जा (E) वाली अवस्था के लिए बोल्ट्जमान गुणांक है:
\(e^{-β E_1} = e^{-β E} \)
इसलिए, विभाजन फलन बन जाता है:
\(Z = 1 + e^{-β E} \)
निष्कर्ष:
शून्य ऊर्जा पर एक अवस्था और ऊर्जा (E) पर दूसरी अवस्था वाले निकाय के लिए सही विभाजन फलन है:
1) 1 + e-βE
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 2:
तीन कणों की एक प्रणाली पर विचार करें जो 0, ε और 2ε ऊर्जा वाले ऊर्जा स्तरों पर कब्जा कर सकते हैं, जैसे कि कुल ऊर्जा E = 3ε है। मामले A, B और C क्रमशः स्पिन \(\frac{1}{2}\) फर्मिऑन, स्पिन 0 बोसॉन और शास्त्रीय रूप से अलग-अलग कणों के अनुरूप हैं। एन्ट्रापी का सही क्रम है
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:-
तीन मामलों A, B और C के लिए एन्ट्रापी के सही क्रम को निर्धारित करने के लिए, हमें विभिन्न तरीकों पर विचार करने की आवश्यकता है जिनमें कण उपलब्ध ऊर्जा स्तरों पर कब्जा कर सकते हैं।
मामला A: स्पिन-1/2 फर्मिऑन
स्पिन-1/2 फर्मिऑन के लिए, पाउली अपवर्जन सिद्धांत लागू होता है, जिसका अर्थ है कि कोई भी दो समान फर्मिऑन एक ही क्वांटम अवस्था पर एक साथ कब्जा नहीं कर सकते हैं। आइए संभावनाओं का विश्लेषण करें:
- तीनों कण ε ऊर्जा स्तर पर कब्जा करते हैं: इस विन्यास को व्यवस्थित करने का केवल एक ही तरीका है, क्योंकि सभी कण अविभेद्य फर्मिऑन हैं। इस विन्यास के लिए कुल ऊर्जा 4ε है।
- एक कण 0, ε और 2ε ऊर्जा स्तरों में से प्रत्येक पर कब्जा करता है: प्रत्येक कण को तीन ऊर्जा स्तरों में से एक को सौंपा जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप
3! = 6 इस विन्यास के लिए संभावित व्यवस्थाएँ हैं।
- मामला A के लिए माइक्रोस्टेट्स की कुल संख्या 1 + 6 = 7 है। चूँकि एन्ट्रापी माइक्रोस्टेट्स की संख्या के लघुगणक से संबंधित है, इसलिए मामला A के लिए एन्ट्रापी अन्य मामलों से बड़ी है।
मामला B: स्पिन-0 बोसॉन
स्पिन-0 बोसॉन, जैसे कि फोटॉन, पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन नहीं करते हैं और एक ही क्वांटम अवस्था पर एक साथ कब्जा कर सकते हैं। आइए संभावनाओं का विश्लेषण करें:
- तीनों कण ε ऊर्जा स्तर पर कब्जा करते हैं: फिर से, इस विन्यास को व्यवस्थित करने का केवल एक ही तरीका है, क्योंकि सभी कण अविभेद्य बोसॉन हैं। इस विन्यास के लिए कुल ऊर्जा 3ε है।
- एक कण 0, ε और 2ε ऊर्जा स्तरों में से प्रत्येक पर कब्जा करता है: फिर से, इस विन्यास के लिए 6 संभावित व्यवस्थाएँ हैं।
- मामला B के लिए माइक्रोस्टेट्स की कुल संख्या 1 + 6 = 7 है, जो मामला A के समान है। इसलिए, मामला B के लिए एन्ट्रापी भी मामला A के समान है।
मामला C: शास्त्रीय रूप से अलग-अलग कण
इस मामले में, कण एक दूसरे से अलग हैं, और ऊर्जा स्तरों पर उनके कब्जे पर कोई प्रतिबंध नहीं है। आइए संभावनाओं का विश्लेषण करें:
- तीनों कण ε ऊर्जा स्तर पर कब्जा करते हैं: प्रत्येक कण को स्वतंत्र रूप से ε ऊर्जा स्तर को सौंपा जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप
3 x 3 x 3 = 27 संभावित व्यवस्थाएँ हैं।
- दो कण ε ऊर्जा स्तर पर कब्जा करते हैं और एक कण 2ε ऊर्जा स्तर पर कब्जा करता है: प्रत्येक कण को स्वतंत्र रूप से तीन ऊर्जा स्तरों में से एक को सौंपा जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप 3 x 3 x 3
= 27 संभावित व्यवस्थाएँ हैं।
- एक कण 0, ε और 2ε ऊर्जा स्तरों में से प्रत्येक पर कब्जा करता है: प्रत्येक कण को स्वतंत्र रूप से तीन ऊर्जा स्तरों में से एक को सौंपा जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप 3! = 6 संभावित व्यवस्थाएँ हैं।
- मामला C के लिए माइक्रोस्टेट्स की कुल संख्या 27 + 27 + 6 = 60 है। चूँकि एन्ट्रापी माइक्रोस्टेट्स की संख्या के लघुगणक से संबंधित है, इसलिए मामला C के लिए एन्ट्रापी मामला A और B की तुलना में बड़ी है।
संक्षेप में, तीन मामलों के लिए एन्ट्रापी का सही क्रम है:
∵ \((\text { व्यवस्थाओं की संख्या })_{\text {शास्त्रीय }}^C\) > \((\text { व्यवस्थाओं की संख्या })_{\text {फर्मिऑन }}^A\) > \((\text { व्यवस्थाओं की संख्या })_{\text {बोसॉन }}^B\)
⇒ \(S_C>S_A=S_B\)
निष्कर्ष:-
- इसलिए, सही विकल्प (d) है।
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 3:
ठोस OCS के लिए मोलर अवशिष्ट एन्ट्रापी का मान (J K−1 में) जिसके निकटतम होगा, वह है
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
किसी ठोस का अवशिष्ट एन्ट्रॉपी वह एन्ट्रॉपी है जो परम शून्य पर भी ठोस में बनी रहती है। यह क्रिस्टल संरचना में अव्यवस्था के कारण होता है। क्रिस्टल संरचना जितनी अधिक अव्यवस्थित होगी, अवशिष्ट एन्ट्रॉपी उतनी ही अधिक होगी।
व्याख्या:
OCS अणु की संरचना मुड़ी हुई होती है, जो क्रिस्टल संरचना में एक निश्चित मात्रा में अव्यवस्था की अनुमति देती है। यह अव्यवस्था 5.8 J K−1 के अवशिष्ट एन्ट्रॉपी की ओर ले जाती है।
किसी ठोस का अवशिष्ट एन्ट्रॉपी निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
\(S_r = R \ln p\)
जहाँ: Sr अवशिष्ट एन्ट्रॉपी (J K−1 में) है, R गैस स्थिरांक (8.314 J K−1 mol−1) है और p क्रिस्टल में अणु के संभावित अभिविन्यासों की संख्या (जिसे अपभ्रंशता भी कहा जाता है) है।
OCS के मामले में, अणु के क्रिस्टल में दो संभावित अभिविन्यास होते हैं। इसका मतलब है कि अपभ्रंशता p=2 है। अवशिष्ट एन्ट्रॉपी के लिए समीकरण में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर मिलता है:
\(S_r = R \ln 2 = 5.8 \;J K^{-1}\)
इसलिए, ठोस OCS का मोलर अवशिष्ट एन्ट्रॉपी 5.8 J K−1 है।
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 4:
एक निकाय में उपस्थित N कण समान, विभेद्य और अन्योन्यक्रियाहीन हैं। इनमें से प्रत्येक के केवल दो ऊर्जा स्तर 0 तथा ϵ हैं। स्थिर आयतन (Cv) पर ताप धारिता की अभिव्यक्ति (β = 1/kBT) ______ द्वारा दी जाती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
- ऊष्मा धारिता किसी निकाय का स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में तापमान के सापेक्ष परिवर्तन है। \(C_V=\left (\frac{\partial U}{\partial T} \right )_V \)
- सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, आंतरिक ऊर्जा दी जाती है: \(U=NK_BT^2\frac{\mathrm{d} lnq}{\mathrm{d} T} \),
जहाँ, q विभाजन फलन है
KB बोल्ट्ज़मान नियतांक है, T तापमान है और N कणों की संख्या है।
- विभाजन फलन किसी निकाय के ऊष्मागतिक गुणों का सांख्यिकीय संबंध देता है। यह बोल्ट्ज़मान वितरण का उपयोग सुलभ ऊर्जा अवस्थाओं का माप देने के लिए करता है।
- विभाजन फलन किसी भी निकाय की गणना इस प्रकार की जाती है;
\(q=\sum g_ie^{-\beta\epsilon _i}\)
व्याख्या:
- सबसे पहले हमें दिए गए निकाय के लिए विभाजन फलन ज्ञात करना होगा। प्रश्न के अनुसार, दिए गए अविभेद्य कणों की केवल दो संभावित ऊर्जा अवस्थाएँ 0 और \(\epsilon\) हैं।
- इस प्रकार, विभाजन फलन (q) दी गई दो ऊर्जा अवस्थाओं में कणों के वितरण का योग होगा और इस प्रकार q को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(q= g_0e^{-\beta 0 }+ g_1e^{-\beta \epsilon }\)
चूँकि, ऊर्जा अवस्थाएँ एकल अवनत हैं, इसे फिर से लिखा जा सकता है:
\(q= 1+ e^{-\beta \epsilon }\)
अब, इसे आंतरिक ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर, हमारे पास होगा:
\(U=NK_BT^2\frac{\mathrm{d}ln(1+e^{-\beta \epsilon }) }{\mathrm{d} T}\)
व्यंजक को हल करने पर मिलता है:
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\mathrm{d} (-\beta\epsilon)}{\mathrm{d} T}\)
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\mathrm{d} (-\epsilon/K_BT)}{\mathrm{d} T}\) (\(\because \beta=\frac{1}{K_BT}\))
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\epsilon}{K_BT^2}\)
\(U=\frac{N\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\frac{\epsilon }{K_BT}})}\)
अब, अंत में प्राप्त U मान का उपयोग स्थिर आयतन पर आंशिक रूप से तापमान के सापेक्ष विभेदित करके ऊष्मा धारिता ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
अर्थात,
\(C_V=\frac{\partial }{\partial T}\frac{N\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\frac{\epsilon }{K_BT}})}\)
\(=N\epsilon\left [ (1+e^{-\epsilon \beta}) \frac{\partial e^{-\epsilon \beta} }{\partial T}-(e^{-\epsilon \beta})\frac{\partial (1+ e^{-\epsilon \beta} )}{\partial x}\right ](1+ e^{-\epsilon\beta})^{-2}\)
\(=\frac{N\epsilon^2}{K_BT^2}\times\frac{ e^{- \epsilon\beta } }{(1+ e^{-\epsilon\beta})^2}\)
\(K_B\; e^{2\epsilon\beta}\) से गुणा और भाग देने पर मिलता है
\(=\frac{N\epsilon^2}{K_B^2T^2}\times\frac{e^{ \epsilon\beta }}{(1+ e^{\epsilon\beta})^2}\)
यह देता है,
\(C_V=NK_B\left ( \frac{\epsilon \beta e^{\epsilon \beta /2}}{1+e^{\epsilon \beta }} \right )^2 \)
निष्कर्ष:
N सर्वसम अविभेद्य कणों के दिए गए निकाय के लिए स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता है:
\(C_V=NK_B\left ( \frac{\epsilon \beta e^{\epsilon \beta /2}}{1+e^{\epsilon \beta }} \right )^2 \)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 5:
एक सूक्ष्म-विहित (माइक्रो कैनानिकल) निकाय के लिए, ऊर्जा की सही प्रायिकता वितरण फलन को _______ द्वारा दिया गया है।
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:-
- सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी एक ऐसा सिद्धांत है जो विभिन्न यौगिकों की सूक्ष्म मात्राओं के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए आणविक गुणों का उपयोग करता है।
- एक समुच्चय को विभिन्न क्वांटम अवस्थाओं में बहुत बड़ी संख्या में प्रणालियों के एक काल्पनिक संग्रह के रूप में माना जाता है जिसमें सामान्य स्थूल गुण जैसे दाब (P), तापमान (T), घनत्व आदि होते हैं।
- परिधि के साथ समुच्चयों की संख्या की अन्योन्यक्रिया के आधार पर, समुच्चयों को चार श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है, ये हैं
- सूक्ष्म विहित समुच्चय,
- विहित समुच्चय,
- महाविहित समुच्चय, और
- समदाबी-समतापीय समुच्चय
व्याख्या:-
- सूक्ष्म विहित समुच्चय उस यांत्रिक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी कुल ऊर्जा निर्दिष्ट है।
- एक सूक्ष्म विहित समुच्चय एक ऐसी प्रणाली है जो परिधि के साथ ऊर्जा या कणों का आदान-प्रदान नहीं कर सकती है। इसलिए, प्रणाली की ऊर्जा समय के साथ स्थिर रहती है।
- सूक्ष्म विहित समुच्चय के स्थूल चर जो समुच्चय में स्थिर रहते हैं, वे प्रणाली में कणों की कुल संख्या (N), प्रणाली का आयतन (V), साथ ही प्रणाली में कुल ऊर्जा (E) हैं। सूक्ष्म विहित समुच्चय को कभी-कभी NVE समुच्चय भी कहा जाता है।
- एक सूक्ष्म विहित प्रणाली के लिए, चूँकि स्थूल चर जैसे N, V और E समय के साथ स्थिर रहते हैं, ऊर्जा के लिए प्रायिकता वितरण फलन एक एकसमान वितरण फलन होगा।
निष्कर्ष:-
इसलिए, एक सूक्ष्म विहित प्रणाली के लिए, ऊर्जा के लिए सही प्रायिकता वितरण फलन एकसमान वितरण फलन द्वारा दिया गया है।
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ठोस OCS के लिए मोलर अवशिष्ट एन्ट्रापी का मान (J K−1 में) जिसके निकटतम होगा, वह है
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFएक निकाय में उपस्थित N कण समान, विभेद्य और अन्योन्यक्रियाहीन हैं। इनमें से प्रत्येक के केवल दो ऊर्जा स्तर 0 तथा ϵ हैं। स्थिर आयतन (Cv) पर ताप धारिता की अभिव्यक्ति (β = 1/kBT) ______ द्वारा दी जाती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
- ऊष्मा धारिता किसी निकाय का स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में तापमान के सापेक्ष परिवर्तन है। \(C_V=\left (\frac{\partial U}{\partial T} \right )_V \)
- सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, आंतरिक ऊर्जा दी जाती है: \(U=NK_BT^2\frac{\mathrm{d} lnq}{\mathrm{d} T} \),
जहाँ, q विभाजन फलन है
KB बोल्ट्ज़मान नियतांक है, T तापमान है और N कणों की संख्या है।
- विभाजन फलन किसी निकाय के ऊष्मागतिक गुणों का सांख्यिकीय संबंध देता है। यह बोल्ट्ज़मान वितरण का उपयोग सुलभ ऊर्जा अवस्थाओं का माप देने के लिए करता है।
- विभाजन फलन किसी भी निकाय की गणना इस प्रकार की जाती है;
\(q=\sum g_ie^{-\beta\epsilon _i}\)
व्याख्या:
- सबसे पहले हमें दिए गए निकाय के लिए विभाजन फलन ज्ञात करना होगा। प्रश्न के अनुसार, दिए गए अविभेद्य कणों की केवल दो संभावित ऊर्जा अवस्थाएँ 0 और \(\epsilon\) हैं।
- इस प्रकार, विभाजन फलन (q) दी गई दो ऊर्जा अवस्थाओं में कणों के वितरण का योग होगा और इस प्रकार q को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(q= g_0e^{-\beta 0 }+ g_1e^{-\beta \epsilon }\)
चूँकि, ऊर्जा अवस्थाएँ एकल अवनत हैं, इसे फिर से लिखा जा सकता है:
\(q= 1+ e^{-\beta \epsilon }\)
अब, इसे आंतरिक ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर, हमारे पास होगा:
\(U=NK_BT^2\frac{\mathrm{d}ln(1+e^{-\beta \epsilon }) }{\mathrm{d} T}\)
व्यंजक को हल करने पर मिलता है:
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\mathrm{d} (-\beta\epsilon)}{\mathrm{d} T}\)
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\mathrm{d} (-\epsilon/K_BT)}{\mathrm{d} T}\) (\(\because \beta=\frac{1}{K_BT}\))
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\epsilon}{K_BT^2}\)
\(U=\frac{N\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\frac{\epsilon }{K_BT}})}\)
अब, अंत में प्राप्त U मान का उपयोग स्थिर आयतन पर आंशिक रूप से तापमान के सापेक्ष विभेदित करके ऊष्मा धारिता ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
अर्थात,
\(C_V=\frac{\partial }{\partial T}\frac{N\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\frac{\epsilon }{K_BT}})}\)
\(=N\epsilon\left [ (1+e^{-\epsilon \beta}) \frac{\partial e^{-\epsilon \beta} }{\partial T}-(e^{-\epsilon \beta})\frac{\partial (1+ e^{-\epsilon \beta} )}{\partial x}\right ](1+ e^{-\epsilon\beta})^{-2}\)
\(=\frac{N\epsilon^2}{K_BT^2}\times\frac{ e^{- \epsilon\beta } }{(1+ e^{-\epsilon\beta})^2}\)
\(K_B\; e^{2\epsilon\beta}\) से गुणा और भाग देने पर मिलता है
\(=\frac{N\epsilon^2}{K_B^2T^2}\times\frac{e^{ \epsilon\beta }}{(1+ e^{\epsilon\beta})^2}\)
यह देता है,
\(C_V=NK_B\left ( \frac{\epsilon \beta e^{\epsilon \beta /2}}{1+e^{\epsilon \beta }} \right )^2 \)
निष्कर्ष:
N सर्वसम अविभेद्य कणों के दिए गए निकाय के लिए स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता है:
\(C_V=NK_B\left ( \frac{\epsilon \beta e^{\epsilon \beta /2}}{1+e^{\epsilon \beta }} \right )^2 \)
एक सूक्ष्म-विहित (माइक्रो कैनानिकल) निकाय के लिए, ऊर्जा की सही प्रायिकता वितरण फलन को _______ द्वारा दिया गया है।
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:-
- सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी एक ऐसा सिद्धांत है जो विभिन्न यौगिकों की सूक्ष्म मात्राओं के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए आणविक गुणों का उपयोग करता है।
- एक समुच्चय को विभिन्न क्वांटम अवस्थाओं में बहुत बड़ी संख्या में प्रणालियों के एक काल्पनिक संग्रह के रूप में माना जाता है जिसमें सामान्य स्थूल गुण जैसे दाब (P), तापमान (T), घनत्व आदि होते हैं।
- परिधि के साथ समुच्चयों की संख्या की अन्योन्यक्रिया के आधार पर, समुच्चयों को चार श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है, ये हैं
- सूक्ष्म विहित समुच्चय,
- विहित समुच्चय,
- महाविहित समुच्चय, और
- समदाबी-समतापीय समुच्चय
व्याख्या:-
- सूक्ष्म विहित समुच्चय उस यांत्रिक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी कुल ऊर्जा निर्दिष्ट है।
- एक सूक्ष्म विहित समुच्चय एक ऐसी प्रणाली है जो परिधि के साथ ऊर्जा या कणों का आदान-प्रदान नहीं कर सकती है। इसलिए, प्रणाली की ऊर्जा समय के साथ स्थिर रहती है।
- सूक्ष्म विहित समुच्चय के स्थूल चर जो समुच्चय में स्थिर रहते हैं, वे प्रणाली में कणों की कुल संख्या (N), प्रणाली का आयतन (V), साथ ही प्रणाली में कुल ऊर्जा (E) हैं। सूक्ष्म विहित समुच्चय को कभी-कभी NVE समुच्चय भी कहा जाता है।
- एक सूक्ष्म विहित प्रणाली के लिए, चूँकि स्थूल चर जैसे N, V और E समय के साथ स्थिर रहते हैं, ऊर्जा के लिए प्रायिकता वितरण फलन एक एकसमान वितरण फलन होगा।
निष्कर्ष:-
इसलिए, एक सूक्ष्म विहित प्रणाली के लिए, ऊर्जा के लिए सही प्रायिकता वितरण फलन एकसमान वितरण फलन द्वारा दिया गया है।
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 9:
ठोस OCS के लिए मोलर अवशिष्ट एन्ट्रापी का मान (J K−1 में) जिसके निकटतम होगा, वह है
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 9 Detailed Solution
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 10:
शून्य ऊर्जा पर एक अवस्था और ऊर्जा E पर दूसरी अवस्था वाले निकाय का विभाजन फलन लिखिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
1. विभाजन फलन एक निकाय की सभी संभावित अवस्थाओं का योग है, जो उनके बोल्ट्जमान गुणांकों द्वारा भारित होता है।
2. ऊर्जा (Ei) वाली प्रत्येक अवस्था i के लिए, बोल्ट्जमान गुणांक (e-βEi) होता है, जहाँ \(β = \frac{1}{k_B T} \) , जहाँ (kB) बोल्ट्जमान नियतांक और (T) तापमान है।
3. विभाजन फलन \(Z = \sum_i e^{-β E_i} \) द्वारा दिया जाता है, जहाँ योग निकाय की सभी अवस्थाओं पर है।
व्याख्या:
दो अवस्थाओं वाले निकाय को दिया गया है:
- शून्य ऊर्जा पर एक अवस्था, E0 = 0
- ऊर्जा E पर दूसरी अवस्था, E1 = E
इस निकाय के लिए विभाजन फलन (Z) प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणांकों का योग है:
\( Z = e^{-β E_0} + e^{-β E_1} \)
चूँकि (E0 = 0), मूल अवस्था (शून्य ऊर्जा अवस्था) के लिए बोल्ट्जमान गुणांक है:
\(e^{-β E_0} = e^{-β \cdot 0} = 1 \)
ऊर्जा (E) वाली अवस्था के लिए बोल्ट्जमान गुणांक है:
\(e^{-β E_1} = e^{-β E} \)
इसलिए, विभाजन फलन बन जाता है:
\(Z = 1 + e^{-β E} \)
निष्कर्ष:
शून्य ऊर्जा पर एक अवस्था और ऊर्जा (E) पर दूसरी अवस्था वाले निकाय के लिए सही विभाजन फलन है:
1) 1 + e-βE
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 11:
एक निकाय में उपस्थित N कण समान, विभेद्य और अन्योन्यक्रियाहीन हैं। इनमें से प्रत्येक के केवल दो ऊर्जा स्तर 0 तथा ϵ हैं। स्थिर आयतन (Cv) पर ताप धारिता की अभिव्यक्ति (β = 1/kBT) ______ द्वारा दी जाती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 11 Detailed Solution
अवधारणा:
- ऊष्मा धारिता किसी निकाय का स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में तापमान के सापेक्ष परिवर्तन है। \(C_V=\left (\frac{\partial U}{\partial T} \right )_V \)
- सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, आंतरिक ऊर्जा दी जाती है: \(U=NK_BT^2\frac{\mathrm{d} lnq}{\mathrm{d} T} \),
जहाँ, q विभाजन फलन है
KB बोल्ट्ज़मान नियतांक है, T तापमान है और N कणों की संख्या है।
- विभाजन फलन किसी निकाय के ऊष्मागतिक गुणों का सांख्यिकीय संबंध देता है। यह बोल्ट्ज़मान वितरण का उपयोग सुलभ ऊर्जा अवस्थाओं का माप देने के लिए करता है।
- विभाजन फलन किसी भी निकाय की गणना इस प्रकार की जाती है;
\(q=\sum g_ie^{-\beta\epsilon _i}\)
व्याख्या:
- सबसे पहले हमें दिए गए निकाय के लिए विभाजन फलन ज्ञात करना होगा। प्रश्न के अनुसार, दिए गए अविभेद्य कणों की केवल दो संभावित ऊर्जा अवस्थाएँ 0 और \(\epsilon\) हैं।
- इस प्रकार, विभाजन फलन (q) दी गई दो ऊर्जा अवस्थाओं में कणों के वितरण का योग होगा और इस प्रकार q को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(q= g_0e^{-\beta 0 }+ g_1e^{-\beta \epsilon }\)
चूँकि, ऊर्जा अवस्थाएँ एकल अवनत हैं, इसे फिर से लिखा जा सकता है:
\(q= 1+ e^{-\beta \epsilon }\)
अब, इसे आंतरिक ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर, हमारे पास होगा:
\(U=NK_BT^2\frac{\mathrm{d}ln(1+e^{-\beta \epsilon }) }{\mathrm{d} T}\)
व्यंजक को हल करने पर मिलता है:
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\mathrm{d} (-\beta\epsilon)}{\mathrm{d} T}\)
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\mathrm{d} (-\epsilon/K_BT)}{\mathrm{d} T}\) (\(\because \beta=\frac{1}{K_BT}\))
\(U =NK_BT^2\left ( \frac{1}{1+ e^{-\beta\epsilon}} \right ) \times (e^{-\beta\epsilon})\times\frac{\epsilon}{K_BT^2}\)
\(U=\frac{N\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\frac{\epsilon }{K_BT}})}\)
अब, अंत में प्राप्त U मान का उपयोग स्थिर आयतन पर आंशिक रूप से तापमान के सापेक्ष विभेदित करके ऊष्मा धारिता ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
अर्थात,
\(C_V=\frac{\partial }{\partial T}\frac{N\epsilon e^{-\beta\epsilon}}{(1+e^{-\frac{\epsilon }{K_BT}})}\)
\(=N\epsilon\left [ (1+e^{-\epsilon \beta}) \frac{\partial e^{-\epsilon \beta} }{\partial T}-(e^{-\epsilon \beta})\frac{\partial (1+ e^{-\epsilon \beta} )}{\partial x}\right ](1+ e^{-\epsilon\beta})^{-2}\)
\(=\frac{N\epsilon^2}{K_BT^2}\times\frac{ e^{- \epsilon\beta } }{(1+ e^{-\epsilon\beta})^2}\)
\(K_B\; e^{2\epsilon\beta}\) से गुणा और भाग देने पर मिलता है
\(=\frac{N\epsilon^2}{K_B^2T^2}\times\frac{e^{ \epsilon\beta }}{(1+ e^{\epsilon\beta})^2}\)
यह देता है,
\(C_V=NK_B\left ( \frac{\epsilon \beta e^{\epsilon \beta /2}}{1+e^{\epsilon \beta }} \right )^2 \)
निष्कर्ष:
N सर्वसम अविभेद्य कणों के दिए गए निकाय के लिए स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता है:
\(C_V=NK_B\left ( \frac{\epsilon \beta e^{\epsilon \beta /2}}{1+e^{\epsilon \beta }} \right )^2 \)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 12:
एक सूक्ष्म-विहित (माइक्रो कैनानिकल) निकाय के लिए, ऊर्जा की सही प्रायिकता वितरण फलन को _______ द्वारा दिया गया है।
Answer (Detailed Solution Below)
Thermodynamic Quantities For Model Systems Question 12 Detailed Solution
अवधारणा:-
- सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी एक ऐसा सिद्धांत है जो विभिन्न यौगिकों की सूक्ष्म मात्राओं के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए आणविक गुणों का उपयोग करता है।
- एक समुच्चय को विभिन्न क्वांटम अवस्थाओं में बहुत बड़ी संख्या में प्रणालियों के एक काल्पनिक संग्रह के रूप में माना जाता है जिसमें सामान्य स्थूल गुण जैसे दाब (P), तापमान (T), घनत्व आदि होते हैं।
- परिधि के साथ समुच्चयों की संख्या की अन्योन्यक्रिया के आधार पर, समुच्चयों को चार श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है, ये हैं
- सूक्ष्म विहित समुच्चय,
- विहित समुच्चय,
- महाविहित समुच्चय, और
- समदाबी-समतापीय समुच्चय
व्याख्या:-
- सूक्ष्म विहित समुच्चय उस यांत्रिक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी कुल ऊर्जा निर्दिष्ट है।
- एक सूक्ष्म विहित समुच्चय एक ऐसी प्रणाली है जो परिधि के साथ ऊर्जा या कणों का आदान-प्रदान नहीं कर सकती है। इसलिए, प्रणाली की ऊर्जा समय के साथ स्थिर रहती है।
- सूक्ष्म विहित समुच्चय के स्थूल चर जो समुच्चय में स्थिर रहते हैं, वे प्रणाली में कणों की कुल संख्या (N), प्रणाली का आयतन (V), साथ ही प्रणाली में कुल ऊर्जा (E) हैं। सूक्ष्म विहित समुच्चय को कभी-कभी NVE समुच्चय भी कहा जाता है।
- एक सूक्ष्म विहित प्रणाली के लिए, चूँकि स्थूल चर जैसे N, V और E समय के साथ स्थिर रहते हैं, ऊर्जा के लिए प्रायिकता वितरण फलन एक एकसमान वितरण फलन होगा।
निष्कर्ष:-
इसलिए, एक सूक्ष्म विहित प्रणाली के लिए, ऊर्जा के लिए सही प्रायिकता वितरण फलन एकसमान वितरण फलन द्वारा दिया गया है।