Statistical Thermodynamics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Statistical Thermodynamics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सिद्धांत:

बोल्ट्जमान वितरण और अपभ्रष्टता

• E_i ऊर्जा और g_i अपभ्रष्टता वाली अवस्था i में एक निकाय के होने की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

  P_i ∝ g_i · e^{−E_i / kT}

• इसलिए, दो अवस्थाओं के लिए:
  • निम्नतम अवस्था: ऊर्जा = 0, अपभ्रष्टता = g_g
  • उत्तेजित अवस्था: ऊर्जा = ε, अपभ्रष्टता = g_e

व्याख्या:

• g_g = 1 (अनापभ्रष्ट निम्नतम अवस्था)
• g_e = 2 (द्वि-अपभ्रष्ट उत्तेजित अवस्था)
• ऊर्जा अंतर = ε
• बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करते हुए:

  $\frac{P_e}{P_g}=\frac{g_e}{g_g}\cdot e^{-\epsilon /kT}=2\cdot e^{-\epsilon /kT}$

• प्राकृतिक लघुगणक लेते हुए:

  $\ln \left(\frac{P_e}{P_g}\right)=\ln (2)-\frac{\epsilon }{kT}$

• अब इसे एक सरल रेखा के समीकरण से तुलना करते हुए: y = mx + c
  • y = ln(P_e/P_g)
  • x = 1/T
  • अंतःखंड = ln(2)

इसलिए, y-अंतःखंड ln(2) है।

सही उत्तर है 2^(3/2) गुना बड़ा

व्याख्या:-

स्थानांतरीय विभाजन फलन की तुलना:

स्थानांतरीय विभाजन फलन (q_trans) को निम्न व्यंजक द्वारा दिया जाता है:

q_trans = (2πmkT/h²)^(3/2)V

जहाँ:

• m अणु का द्रव्यमान है
• k बोल्ट्जमान नियतांक है
• T तापमान है
• h प्लांक नियतांक है
• V पात्र का आयतन है

स्थानांतरीय विभाजन फलन अणु के द्रव्यमान के समानुपाती होता है:

q_trans ∝ m^(3/2)

दिया गया है कि H₂ (m_H2) का द्रव्यमान 2.016u है और H₂ (q_H2) के लिए स्थानांतरीय विभाजन फलन x है। हमें इसे D₂ (q_D2) के स्थानांतरीय विभाजन फलन के साथ तुलना करने की आवश्यकता है।

D₂ (m_D2) का द्रव्यमान H₂ के द्रव्यमान का लगभग दोगुना है, अर्थात्, 2m_H2।

तापमान और आयतन की समान परिस्थितियों में q_D2 की q_H2 से तुलना करने के लिए, हम समानुपाती संबंध का उपयोग करते हैं:

q_D2 / q_H2 = (m_D2 / m_H2)^(3/2)

चूँकि m_D2 = 2m_H2:

q_D2 / q_H2 = (2m_H2 / m_H2)^(3/2)

q_D2 / q_H2 = 2^(3/2)

निष्कर्ष:-

इस प्रकार, समान परिस्थितियों में D₂ अणु का स्थानांतरीय विभाजन फलन H₂ अणु की तुलना में 2^(3/2) गुना बड़ा होगा, जिससे सही उत्तर विकल्प 3 बन जाता है।

संप्रत्यय:

N(g) का विभाजन फलन

• एकपरमाण्विक स्पीशीज के लिए, विभाजन फलन दिया गया है:

  q = q_t q_e

• अनुवादात्मक विभाजन फलन के लिए व्यंजक है:

  q_t = V (2πmkT / h²)^3/2

• इस प्रकार,

  q_t / V = (2πmkT / h²)^3/2

• q_t / V = [(2 x 3.14) (14 x 1.66 x 10^-27 kg) (1.38 x 10^-23 J K^-1) (5000 K)]^3/2 / (6.626 x 10^-34 J s)²

  = 3.474 x 10³³ m^-3

• q_e = g₀ = 4
• q_N = q_t q_e = [(3.474 x 10³³ m^-3) (4)] V = (1.390 x 10³⁴) V

N₂(g) का विभाजन फलन

• द्विपरमाण्विक स्पीशीज के लिए, हमारे पास है:

  q = q_t q_v q_e

• N₂ के लिए, अनुवादात्मक विभाजन फलन है:

  q_t / V = (2πmkT / h²)^3/2

• मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

  q_t / V = [(2 x 3.14) (28 x 1.66 x 10^-27 kg) (1.38 x 10^-23 J K^-1) (5000 K)]^3/2 / (6.626 x 10^-34 J s)²

  = 9.826 x 10³³ m^-3

संप्रत्यय:

N₂ के लिए विभाजन फलन गणनाएँ

घूर्णन विभाजन फलन:

• अपचयित द्रव्यमान दिया गया है:

  μ = m₁m₂ / (m₁ + m₂) = m² / 2m = (14 x 1.66 x 10^-27 kg) / 2 = 1.16 x 10^-26 kg

• जड़त्व आघूर्ण:

  I = μr_eq² = (1.16 x 10^-26 kg) (110 x 10^-12 m)² = 1.40 x 10^-46 kg m²

• घूर्णन विभाजन फलन:

  q_r = (8π²IkT / h²σ)

  = [8 (3.14)² (1.40 x 10^-46 kg m²) (1.38 x 10^-23 J K^-1) (5000 K)] / [(6.626 x 10^-34 J s)² x 2]

  = 867.7

कंपन विभाजन फलन:

• कंपन तापमान:

  θ_v = hv / k = [(6.626 x 10^-34 J s) (7.07 x 10¹³ s^-1)] / (1.38 x 10^-23 J K^-1) = 3395 K

• q_v = 1 / (1 - e^-θv/T)

  = 1 / (1 - e^-3395/5000) = 1 / (1 - 0.507) = 2.029

इलेक्ट्रॉनिक विभाजन फलन:

• इलेक्ट्रॉनिक विभाजन फलन है:

  q_e = g_e = 1

N₂ के लिए कुल विभाजन फलन:

• कुल विभाजन फलन है:

  q_N2 = q_t q_r q_v q_e

  = [(9.826 x 10³³ m^-3) V] (867.7) (2.029) (1)

  = (1.73 x 10³⁷ m^-3) V

अभिक्रिया का साम्यावस्था स्थिरांक:

• साम्यावस्था स्थिरांक दिया गया है:

  K_p^o = (kT / P^o)^∑νi e^-ΔU/RT ∏_i (q_i / V)^νi

• मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

  K_p^o = [(1.38 x 10^-23 J K^-1) (5000 K)] / (10⁵ Pa)

  x exp[-(940300 J mol^-1) / (8.314 J K^-1 mol^-1 x 5000 K)]

  x [(1.39 x 10³⁴ m^-3)²] / (1.73 x 10³⁷ m^-3)

  = 0.00116

इसलिए, साम्यावस्था स्थिरांक K_p^o = 0.00116 है।

अवधारणा:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, विभाजन फलन (Z) निकाय के ऊष्मागतिक गुणों के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी को एन्कोड करता है। यदि किसी निकाय के ऊर्जा स्तरों को एक स्थिर मात्रा से स्थानांतरित किया जाता है, तो विभाजन फलन (Z) प्रभावित होता है, और यह परिवर्तन कुछ ऊष्मागतिक गुणों को प्रभावित कर सकता है।

आइए एक ऐसे निकाय पर विचार करें जहाँ प्रत्येक ऊर्जा स्तर (E_i) को एक स्थिर मात्रा (ΔE) से स्थानांतरित किया जाता है: [E_i' = E_i + ΔE]

नया विभाजन फलन बन जाता है: $Z^{\prime }=\sum _i{e}^{-\beta E_i^{\prime }}=\sum _i{e}^{-\beta (E_i+\Delta E)}=e^{-\beta \Delta E}\sum _i{e}^{-\beta E_i}=e^{-\beta \Delta E}Z$ जहाँ $\beta =\frac{1}{k_{B}T}$.

व्याख्या:

हम विभिन्न ऊष्मागतिक गुणों पर इस स्थिर परिवर्तन के प्रभाव की जांच करते हैं:

1. औसत ऊर्जा 〈E〉:

औसत ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है: $\langle E\rangle =\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }$

$(\ln Z^{\prime }=\ln \left(e^{-\beta \Delta E}Z\right)=\ln \left(e^{-\beta \Delta E}\right)+\ln Z=-\beta \Delta E+\ln Z)$

$\langle E^{\prime }\rangle =-\frac{\partial \ln Z^{\prime }}{\partial \beta }=-\frac{\partial }{\partial \beta }(-\beta \Delta E+\ln Z)=-\frac{\partial }{\partial \beta }(-\beta \Delta E)+\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }$

$\langle E^{\prime }\rangle =-(-\Delta E)+\langle E\rangle =\langle E\rangle +\Delta E$

इस प्रकार, ऊर्जा स्तरों में एक स्थिर परिवर्तन औसत ऊर्जा 〈E〉 को (ΔE) मात्रा से बदल देता है।

2. एन्ट्रापी (S):

एन्ट्रापी इस प्रकार दी जाती है: $S=k_B(\ln Z+\beta \langle E\rangle )$ चूँकि (\ln Z') में (βΔE) शामिल है लेकिन 〈E〉 को (ΔE) से स्थानांतरित किया जाता है, एन्ट्रापी में कोई शुद्ध परिवर्तन नहीं होता है:

$\ln Z=a;\ln Z^{\prime }=a-\beta \Delta E;\ln Z^{\prime }+\beta \langle E^{\prime }\rangle =(a-\beta \Delta E)+\beta \langle E\rangle +\beta \Delta E=a+\beta \langle E\rangle$

इसका अर्थ है, βΔE रद्द हो जाते हैं। इसलिए, चूँकि एन्ट्रापी (S) ऊर्जा स्तरों को स्थानांतरित करने से नहीं बदलती है।

3. ऊष्मा धारिता (C_V):

ऊष्मा धारिता इस प्रकार दी जाती है:$C_V=\frac{\partial \langle E\rangle }{\partial T}{C}_V=\frac{\partial }{\partial \beta (\frac{\langle E\rangle }{\partial T})}=\frac{\partial }{\partial \beta (\frac{\langle E\rangle }{\partial T})}{C}_V=0$

एक स्थिर परिवर्तन $\frac{d\langle E\rangle }{dT}$ को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए ऊष्मा धारिता नहीं बदलती है। इसलिए, ऊर्जा स्तरों को स्थानांतरित करने से ऊष्मा धारिता (C_V) नहीं बदलती है।

निष्कर्ष:

निकाय के वे गुण जो ऊर्जा स्तरों के एक स्थिर परिवर्तन के कारण बदलते हैं, वे औसत ऊर्जा हैं।

अवधारणा:

आयतन (V) और तापीय तरंगदैर्ध्य (λ_th) वाले कण के लिए स्थानांतरीय विभाजन फलन (Z_trans) इस प्रकार दिया गया है:

$Z_{trans}=\frac{V}{{\lambda }_{th}^3}$ जहाँ (V) आयतन है और λ_th तापीय तरंगदैर्ध्य है।

व्याख्या:

दिए गए प्राचल:

• (V = 1L = 1 लीटर = 1 × 10^-3 m³)
• (λ_th = 3.2 × 10^-10 m)

स्थानांतरीय विभाजन फलन के सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

$Z_{trans}=\frac{V}{{\lambda }_{th}^3}=\frac{1\times {10}^{-3}{\text{m}}^3}{(3.2\times {10}^{-10}\text{m}{)}^3}$

सबसे पहले, 3.2 × 10^-10 m³ की गणना करें:

$(3.2\times {10}^{-10}\text{m}{)}^3={3.2}^3\times ({10}^{-10}{)}^3=32.768\times {10}^{-30}{\text{m}}^3$

अब, विभाजन फलन की गणना करें:

$Z_{trans}=\frac{1\times {10}^{-3}{\text{m}}^3}{32.768\times {10}^{-30}{\text{m}}^3}=\frac{1}{32.768}\times {10}^{27}$

संख्यात्मक मान की गणना करें:

$\frac{1}{32.768}\approx 0.0305$

इसलिए:

$Z_{trans}\approx 0.0305\times {10}^{27}=3.05\times {10}^{-2}\times {10}^{27}=3.05\times {10}^{25}$

निष्कर्ष:

1 लीटर आयतन में 300K पर सीमित हीलियम के लिए स्थानांतरीय विभाजन फलन, जिसकी तापीय तरंगदैर्ध्य 3.2 × 10^-10 मीटर है, 3.05× 10-25 के निकटतम है। 

संकपना:

एक अनपभ्रष्ट तंत्र के लिए ऊर्जा स्तरों का प्रायिकता वितरण बोल्ट्जमान वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बोल्ट्जमान वितरण किसी विशेष ऊर्जा अवस्था E में एक तंत्र को खोजने की प्रायिकता, P(E), देता है जब वह तापमान T पर अपने परिवेश के साथ तापीय साम्य में होता है।

दिया गया है:

तीन अनपभ्रष्ट स्तरों की ऊर्जा 0, ε, 2ε है

व्याख्या:

तीन स्तर अनपभ्रष्ट हैं, इसलिए ऊर्जा की केवल एक अवस्था है।

3 ऊर्जा स्तरों पर अधिधारण करने वाले कणों की संख्या N₁, N₂, N₃ हो

जहां, N₁+N₂+N₃ = 6

चूँकि कण अलग-अलग हैं, इसलिए कणों को चुनने के तरीकों की संख्या अर्थात सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या है

$W=\frac{6!}{N_1!N_2!N_3!}$

जहां, W= उष्मागतिकी प्रायिकता

सबसे संभावित वितरण वह है जहां W अधिकतम है और N₁! N₂! N₃! न्यूनतम है अर्थात

N₁=N₂=N₃ = 2

तंत्र का ऊर्जा वितरण है-

0N₁ + εN₂+ 2εN₃

= 0x2 +εx2 +2ε x 2

= 6ε

निष्कर्ष:

कुल ऊर्जा के लिए सबसे संभावित मान 6ε है।

संकल्पना:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था में किसी दिए गए अवस्था में कणों का अंश बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्धारित होता है। अवस्था की पतनता भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जो उपलब्ध सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को प्रभावित करती है।

• बोल्ट्जमान वितरण: किसी दिए गए तापमान पर, किसी परमाणु के E ऊर्जा वाली अवस्था में होने की प्रायिकता ( $e^{-\frac{E}{k_{B}T}}$) के समानुपाती होती है, जहाँ ( kB ) बोल्ट्जमान स्थिरांक है और T केल्विन में तापमान है।

  • ​ऊर्जा पर घातीय निर्भरता के कारण उच्च ऊर्जा अवस्थाओं में संख्या कम होती है।

  • पतनता किसी अवस्था के अधिक संख्या होने की प्रायिकता को बढ़ाती है, क्योंकि यह समान ऊर्जा वाली कई सूक्ष्म अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती है।

  • विभाजन फलन सभी संभावित अवस्थाओं में प्रायिकताओं को सामान्य करता है।

• पतनता: किसी अवस्था की पतनता (g) समान ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को संदर्भित करती है। उच्च पतनता वाली अवस्थाओं में उच्च प्रायिकता होती है।

• विभाजन फलन: विभाजन फलन ( $Z=\sum g_i{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$ ) सभी ऊर्जा स्तरों पर योग करता है और प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणक और पतनता दोनों को ध्यान में रखता है।

व्याख्या:

• परमाणु तीन अवस्थाओं तक पहुँचता है: ${}^2{S}_{1/2}$, ${}^2{P}_{1/2}$ , और ${}^2{P}_{3/2}$ जिनकी ऊर्जाएँ क्रमशः 0, 0.5 k_BT, और 0.5 k_BT हैं।

• ²S_1/2 अवस्था के लिए पतनता 2 है, ²P_1/2 के लिए 2 है, और ²P_3/2 के लिए 4 है।

• बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करके, कुल विभाजन फलन की गणना इस प्रकार की जाती है:

  • $Z=g_1{e}^{-\frac{E_1}{k_{B}T}}+g_2{e}^{-\frac{E_2}{k_{B}T}}+g_3{e}^{-\frac{E_3}{k_{B}T}}=2+2e^{-0.5}+4e^{-0.5}$

• P अवस्था में परमाणुओं का अंश तब कुल संख्या के लिए P अवस्थाओं (दोनों ²P_1/2 और ²P_3/2) में परमाणुओं के अनुपात के रूप में गणना की जाती है:

  • $\frac{2e^{-0.5}+4e^{-0.5}}{2+2e^{-0.5}+4e^{-0.5}}=\frac{6e^{-0.5}}{2+6e^{-0.5}}=\frac{3e^{-0.5}}{1+3e^{-0.5}}$

निष्कर्ष:

• P अवस्थाओं में परमाणुओं का सही अंश $\frac{3e^{-0.5}}{1+3e^{-0.5}}$ है, जो विकल्प 1 से मेल खाता है।

अवधारणा:

हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा ( F ) प्रणाली के विभाजन फलन ( Z ) पर निर्भर करती है और इसे निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा समीकरण: $F=-k_{B}T\ln Z$

कई ऊर्जा स्तरों ( E_i ) वाली प्रणाली के लिए विभाजन फलन ( Z ) की गणना इस प्रकार की जाती है:

विभाजन फलन समीकरण: $Z=\sum g_i{e}^{-E_i/k_{B}T}$

जहाँ:

• g_i ऊर्जा स्तर की पतनता है
• E_i अवस्था की ऊर्जा है

प्रत्येक प्रणाली के लिए, विभाजन फलन की गणना आरेख में दी गई ऊर्जाओं और दिए गए तापमान ( $T=\frac{ϵ}{k_B}$ ) का उपयोग करके की जाती है।

व्याख्या:

• प्रणाली 1: 0 और $ϵ$ ऊर्जा वाली दो अवस्थाएँ, दोनों की पतनता, q = 1 है।

  • विभाजन फलन है:

  • $Z_1=e^{-\beta \cdot 0}+e^{-\beta \cdot ϵ}$

  • $Z_1=1+e^{-\beta ϵ}$

• प्रणाली 2: 1 और 2 पतनता वाली दो ऊर्जा स्तर, और 0ϵ" id="MathJax-Element-18-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">ϵ" id="MathJax-Element-34-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">ϵ ϵ ϵ  क्रमशः ऊर्जाएँ।

  • विभाजन फलन है:

  • $Z_2=e^{-\beta \cdot 0}+2e^{-\beta \cdot ϵ}$

  • $Z_2=1+2e^{-\beta ϵ}$

• प्रणाली 3: 2 और 1 पतनता वाली दो ऊर्जा स्तर, और 0  क्रमशः ऊर्जाएँ।

  • विभाजन फलन है:

  • $Z_3=2e^{-\beta \cdot 0}+e^{-\beta \cdot ϵ}$

  • $Z_3=2+e^{-\beta ϵ}$

• प्रणाली 4: 0 ऊर्जा वाली दो ऊर्जा स्तर, दोनों की पतनता 2 है।

  • विभाजन फलन है:

  • $Z_4=2e^{-\beta \cdot 0}+2e^{-\beta \cdot ϵ}$

  • $Z_4=2+2e^{-\beta ϵ}$

चूँकि Z₄ सबसे बड़ा है, इसलिए हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा (F) प्रणाली 4 के लिए सबसे कम है।

निष्कर्ष:

सबसे कम हेल्महोल्ट्ज मुक्त ऊर्जा वाली प्रणाली प्रणाली 4 है।

अवधारणा:

• मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण समान लेकिन अलग-अलग कणों के बीच ऊर्जा की मात्रा के वितरण से संबंधित है।
• यह विभिन्न ऊर्जाओं वाले निकाय में अवस्थाओं के वितरण की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है। एक विशेष स्थिति तथाकथित आणविक वेगों का मैक्सवेल वितरण नियम है।
• ऊर्जा के बोल्ट्जमैन वितरण का पालन करने वाले निकाय की आंतरिक ऊर्जा U के लिए अंतिम व्यंजक है:

U = ${\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{T}}^2{\left(\frac{\partial \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{Q}}{\partial \mathrm{T}}\right)}_{\mathrm{V}}$.......(1)

व्याख्या:-

• गैस के लिए विभाजन फलन दिया गया है

Q(N, V, T) = $\frac{1}{N!}{\left(\frac{2\pi m}{h^2\beta }\right)}^{3N/2}$ (v - Nb)Ne $\frac{\beta a{N}^2}{V}$.........(2)

• समीकरण (2) के दोनों ओर ln लेने पर, हमें प्राप्त होता है,

$lnQ(N,V,T)=ln\left(\frac{1}{N!}\right)+\frac{3N}{2}ln\left(\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\frac{3N}{2}ln(\frac{1}{\beta })$

$+Nln(V-Nb)+\frac{\beta \alpha N^2}{V}$

या,

$lnQ(N,V,T)=ln\left(\frac{1}{N!}\right)+\frac{3N}{2}ln\left(\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\frac{3N}{2}ln(k_{B}T)$

$+Nln(V-Nb)+\frac{\alpha N^2}{k_{B}TV}$

या, $\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=\frac{\partial }{\partial T}[ln\left(\frac{1}{N!}\right)+\frac{3N}{2}ln\left(\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\frac{3N}{2}ln(KT)+Nln(V-Nb)+\frac{\alpha N^2}{k_{B}TV}]$

या,

$\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=[0+0+\frac{3N}{2}\times \frac{1}{k_{B}T}\times k_B+0+\frac{\alpha N^2}{k_{B}V}\frac{\partial }{\partial T}\left(\frac{1}{T}\right)]$

या,

$\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=[\frac{3N}{2}\times \frac{1}{T}+\frac{\alpha N^2}{k_{B}V}\left(\frac{-1}{T^2}\right)]$

या,

$\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)=[\frac{3N}{2T}-\frac{\alpha N^2}{k_{B}V{T}^2}]$

• अब, समीकरण (1) में $\left(\frac{\partial lnQ}{\partial T}\right)$ का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

U = ${\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}{\mathrm{T}}^2[\frac{3\mathrm{N}}{2\mathrm{T}}-\frac{\alpha {\mathrm{N}}^2}{{\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}\mathrm{V}{\mathrm{T}}^2}]$

या, U = k_BT² x $\frac{3N}{2T}$ - kBT2 x $\frac{\alpha N^2}{k_{B}V{T}^2}$

या, U = $\frac{3}{2}N{k}_{B}T-\frac{a{N}^2}{V}$

निष्कर्ष:-

संकल्पना:

एन्ट्राॅपी (S) ऊष्मागतिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो किसी निकाय में अव्यवस्था या यादृच्छिकता की मात्रा को मापती है। यह एक अवस्था फलन है, जिसका अर्थ है कि यह केवल निकाय की वर्तमान अवस्था पर निर्भर करता है और उस पथ पर नहीं जिसके द्वारा निकाय उस अवस्था तक पहुँचा।

व्याख्या:

दो समस्थानिक गैसें ¹⁶O₂ और ¹⁸O₂ में समान एन्ट्राॅपी और आयतन है, जिसमें कम द्रव्यमान वाला होगा, उसका तापमान अधिक होगा, जबकि उच्च द्रव्यमान वाला होगा, उसका तापमान कम होगा। आप ¹⁸O₂ के तापमान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{m_2}{m_1}$

जहाँ,

T₁ = ¹⁶O₂ का तापमान = 300K

T₂ = ¹⁸O₂ का तापमान

m₁ = ¹⁶O₂ का मोलर द्रव्यमान = 32 g/mol

​m₂ = ¹⁸O₂ का मोलर द्रव्यमान = 36 g/mol

​उपरोक्त समीकरण में मान रखने पर

$\frac{300K}{T_2}=\frac{36g/mol}{32g/mol}$

$T_2=\frac{300K\times 32g/mol}{36g/mol}$

∴ T₂ = 266.66 K

निष्कर्ष:

¹⁸O₂ का तापमान 266.66K होगा।

व्याख्या:-

• दो फर्मियोनिक कणों की प्रणाली के लिए, पाउली अपवर्जन सिद्धांत लागू होता है, जो कहता है कि दो फर्मियोनिक कण एक ही समय में एक ही क्वांटम अवस्था में नहीं रह सकते हैं।
• इसका अर्थ है कि दो फर्मियोनिक कणों को एक ही क्वांटम अवस्था में ज्ञात करने की प्रायिकता शून्य है।
• इसलिए, दो फर्मियोनिक कणों के एक ही अवस्था में होने की प्रायिकता का अनुपात, उनके अलग-अलग अवस्थाओं में होने की प्रायिकता से 0 है।
• चूँकि फर्मियोनिक कण एक ही अवस्था में नहीं रह सकते हैं, इसलिए इस स्थिति में अनुपात का कोई परिभाषित मान नहीं है।
• दो फर्मियोनिक कणों को एक ही अवस्था में खोजने की प्रायिकता शून्य है, जिससे इस मामले में अनुपात अपरिभाषित हो जाता है।

निष्कर्ष:-

इसलिए, दो कणों के एक ही अवस्था में होने की प्रायिकता का अनुपात, दो कणों के अलग-अलग अवस्थाओं में होने की प्रायिकता से 0 है।

अवधारणा:

• ऊष्मा धारिता किसी निकाय का स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में तापमान के सापेक्ष परिवर्तन है। $C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V$
• सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, आंतरिक ऊर्जा दी जाती है: $U=N{K}_B{T}^2\frac{\mathrm{d}lnq}{\mathrm{d}T}$,

​ जहाँ, q विभाजन फलन है

KB बोल्ट्ज़मान नियतांक है, T तापमान है और N कणों की संख्या है।

• विभाजन फलन किसी निकाय के ऊष्मागतिक गुणों का सांख्यिकीय संबंध देता है। यह बोल्ट्ज़मान वितरण का उपयोग सुलभ ऊर्जा अवस्थाओं का माप देने के लिए करता है।
• विभाजन फलन किसी भी निकाय की गणना इस प्रकार की जाती है;

​$q=\sum g_i{e}^{-\beta {ϵ}_i}$

व्याख्या:

• सबसे पहले हमें दिए गए निकाय के लिए विभाजन फलन ज्ञात करना होगा। प्रश्न के अनुसार, दिए गए अविभेद्य कणों की केवल दो संभावित ऊर्जा अवस्थाएँ 0 और $ϵ$ हैं।
• इस प्रकार, विभाजन फलन (q) दी गई दो ऊर्जा अवस्थाओं में कणों के वितरण का योग होगा और इस प्रकार q को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$q=g_0{e}^{-\beta 0}+g_1{e}^{-\beta ϵ}$

चूँकि, ऊर्जा अवस्थाएँ एकल अवनत हैं, इसे फिर से लिखा जा सकता है:

$q=1+e^{-\beta ϵ}$

अब, इसे आंतरिक ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर, हमारे पास होगा:

$U=N{K}_B{T}^2\frac{\mathrm{d}ln(1+e^{-\beta ϵ})}{\mathrm{d}T}$

व्यंजक को हल करने पर मिलता है:

$U=N{K}_B{T}^2\left(\frac{1}{1+e^{-\beta ϵ}}\right)\times (e^{-\beta ϵ})\times \frac{\mathrm{d}(-\beta ϵ)}{\mathrm{d}T}$

$U=N{K}_B{T}^2\left(\frac{1}{1+e^{-\beta ϵ}}\right)\times (e^{-\beta ϵ})\times \frac{\mathrm{d}(-ϵ/K_{B}T)}{\mathrm{d}T}$ ($\because \beta =\frac{1}{K_{B}T}$)

$U=N{K}_B{T}^2\left(\frac{1}{1+e^{-\beta ϵ}}\right)\times (e^{-\beta ϵ})\times \frac{ϵ}{K_B{T}^2}$

$U=\frac{Nϵe^{-\beta ϵ}}{(1+e^{-\frac{ϵ}{K_{B}T}})}$

अब, अंत में प्राप्त U मान का उपयोग स्थिर आयतन पर आंशिक रूप से तापमान के सापेक्ष विभेदित करके ऊष्मा धारिता ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

अर्थात,

$C_V=\frac{\partial }{\partial T}\frac{Nϵe^{-\beta ϵ}}{(1+e^{-\frac{ϵ}{K_{B}T}})}$

$=Nϵ[(1+e^{-ϵ\beta })\frac{\partial e^{-ϵ\beta }}{\partial T}-(e^{-ϵ\beta })\frac{\partial (1+e^{-ϵ\beta })}{\partial x}](1+e^{-ϵ\beta }{)}^{-2}$

$=\frac{N{ϵ}^2}{K_B{T}^2}\times \frac{e^{-ϵ\beta }}{(1+e^{-ϵ\beta }{)}^2}$

$K_B{e}^{2ϵ\beta }$ से गुणा और भाग देने पर मिलता है

$=\frac{N{ϵ}^2}{K_B^2{T}^2}\times \frac{e^{ϵ\beta }}{(1+e^{ϵ\beta }{)}^2}$

यह देता है,

$C_V=N{K}_B{\left(\frac{ϵ\beta e^{ϵ\beta /2}}{1+e^{ϵ\beta }}\right)}^2$

निष्कर्ष:

N सर्वसम अविभेद्य कणों के दिए गए निकाय के लिए स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता है:

$C_V=N{K}_B{\left(\frac{ϵ\beta e^{ϵ\beta /2}}{1+e^{ϵ\beta }}\right)}^2$

अवधारणा:-

• सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी एक ऐसा सिद्धांत है जो विभिन्न यौगिकों की सूक्ष्म मात्राओं के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए आणविक गुणों का उपयोग करता है।
• एक समुच्चय को विभिन्न क्वांटम अवस्थाओं में बहुत बड़ी संख्या में प्रणालियों के एक काल्पनिक संग्रह के रूप में माना जाता है जिसमें सामान्य स्थूल गुण जैसे दाब (P), तापमान (T), घनत्व आदि होते हैं।
• परिधि के साथ समुच्चयों की संख्या की अन्योन्यक्रिया के आधार पर, समुच्चयों को चार श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है, ये हैं
  • सूक्ष्म विहित समुच्चय,
  • विहित समुच्चय,
  • महाविहित समुच्चय, और
  • समदाबी-समतापीय समुच्चय

व्याख्या:-

• सूक्ष्म विहित समुच्चय उस यांत्रिक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी कुल ऊर्जा निर्दिष्ट है।
• एक सूक्ष्म विहित समुच्चय एक ऐसी प्रणाली है जो परिधि के साथ ऊर्जा या कणों का आदान-प्रदान नहीं कर सकती है। इसलिए, प्रणाली की ऊर्जा समय के साथ स्थिर रहती है।
• सूक्ष्म विहित समुच्चय के स्थूल चर जो समुच्चय में स्थिर रहते हैं, वे प्रणाली में कणों की कुल संख्या (N), प्रणाली का आयतन (V), साथ ही प्रणाली में कुल ऊर्जा (E) हैं। सूक्ष्म विहित समुच्चय को कभी-कभी NVE समुच्चय भी कहा जाता है।
• एक सूक्ष्म विहित प्रणाली के लिए, चूँकि स्थूल चर जैसे N, V और E समय के साथ स्थिर रहते हैं, ऊर्जा के लिए प्रायिकता वितरण फलन एक एकसमान वितरण फलन होगा।

निष्कर्ष:-

इसलिए, एक सूक्ष्म विहित प्रणाली के लिए, ऊर्जा के लिए सही प्रायिकता वितरण फलन एकसमान वितरण फलन द्वारा दिया गया है।