Partition Functions and Their Relation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Partition Functions and Their Relation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 20, 2025

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Latest Partition Functions and Their Relation MCQ Objective Questions

Partition Functions and Their Relation Question 1:

एक आदर्श द्विपरमाणुक गैस अणुओं वाले निकाय के लिए स्थानांतरीय, कंपनिक और घूर्णी आणविक विभाजन फलन, जो कि विहित समुच्चय (N, V, T) में हैं, क्रमशः 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠, 𝑞𝑣𝑖𝑏 और 𝑞𝑟𝑜𝑡 के रूप में लिखे गए हैं। वह विकल्प जो सही ढंग से दर्शाता है:

  1. 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑣𝑖𝑏 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑟𝑜𝑡(𝑇,𝑉)
  2. 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑣𝑖𝑏 (𝑇), 𝑞𝑟𝑜𝑡(𝑇)
  3. 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑇), 𝑞𝑣𝑖𝑏 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑟𝑜𝑡(𝑇)
  4. 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑣𝑖𝑏 (𝑇), 𝑞𝑟𝑜𝑡(𝑇,𝑉)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑣𝑖𝑏 (𝑇), 𝑞𝑟𝑜𝑡(𝑇)

Partition Functions and Their Relation Question 1 Detailed Solution

अवधारणा:

विहित समुच्चय (N, V, T) में आणविक विभाजन फलन

  • कुल आणविक विभाजन फलन q का गुणनखंड इस प्रकार है:

    q = qtrans x qrot x qvib x qelec

  • प्रत्येक विभाजन फलन विशिष्ट भौतिक प्राचलों पर निर्भर करता है:
    • स्थानांतरीय विभाजन फलन qtrans(T, V): तापमान और आयतन दोनों पर निर्भर करता है:

      qtrans = (V / h³) x (2πmkBT)3/2

    • घूर्णी विभाजन फलन qrot(T): उच्च-T सीमा में रेखीय अणुओं के लिए:

      qrot = (T / σθrot)

      या चिरप्रतिष्ठित रूप में:

      qrot = (8π²IkBT) / (σh²)

      — केवल T पर निर्भर करता है

    • कंपनिक विभाजन फलन qvib(T):

      qvib = 1 / (1 - e−ħω / kBT)

      — पुनः, केवल T पर निर्भर करता है

व्याख्या:

Partition Functions in Statistical MechanicsTranslational Partition Function:Ztrans=Vh3(2πmkBT)3/2

Vibrational Partition Function (Quantum Form):Zvib=eβω/21eβω=eω/2kBT1eω/kBT

Vibrational Partition Function (High Temperature/ Classical Limit):Zvib=kBTωRotational Partition Function:Zrot=2IkBT2

  • चित्र और मानक सिद्धांत में सूत्रों से:
    • qtrans T और V दोनों पर निर्भर करता है।
    • qvib केवल T पर निर्भर करता है।
    • qrot केवल T पर निर्भर करता है।
  • इस प्रकार, सही निर्भरता प्रारूप है:
    • qtrans(T, V), qvib(T), qrot(T)

सही उत्तर: विकल्प 2) qtrans(T, V), qvib(T), qrot(T)

Partition Functions and Their Relation Question 2:

किसी दिए गए तापमान पर, एक परमाणु का क्रमश:, 0 kBT, 0.5 kBT तथा 0.5 kBT, ऊर्जाओं के 2S1/2, 2P1/2 तथा 2P3/2 परमाणु अवस्थाओं तक पहुँच है। P अवस्थाओं में परमाणुओं का अंश है

  1. 3e0.51+3e0.5
  2. e0.51+2e0.5
  3. e0.51+4e0.5
  4. 2e0.51+2e0.5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3e0.51+3e0.5

Partition Functions and Their Relation Question 2 Detailed Solution

संकल्पना:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था में किसी दिए गए अवस्था में कणों का अंश बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्धारित होता है। अवस्था की पतनता भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जो उपलब्ध सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को प्रभावित करती है।

  • बोल्ट्जमान वितरण: किसी दिए गए तापमान पर, किसी परमाणु के E ऊर्जा वाली अवस्था में होने की प्रायिकता ( eEkBT) के समानुपाती होती है, जहाँ ( kB ) बोल्ट्जमान स्थिरांक है और T केल्विन में तापमान है।

    • ऊर्जा पर घातीय निर्भरता के कारण उच्च ऊर्जा अवस्थाओं में संख्या कम होती है।

    • पतनता किसी अवस्था के अधिक संख्या होने की प्रायिकता को बढ़ाती है, क्योंकि यह समान ऊर्जा वाली कई सूक्ष्म अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती है।

    • विभाजन फलन सभी संभावित अवस्थाओं में प्रायिकताओं को सामान्य करता है।

  • पतनता: किसी अवस्था की पतनता (g) समान ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को संदर्भित करती है। उच्च पतनता वाली अवस्थाओं में उच्च प्रायिकता होती है।

  • विभाजन फलन: विभाजन फलन ( Z=gieEikBT ) सभी ऊर्जा स्तरों पर योग करता है और प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणक और पतनता दोनों को ध्यान में रखता है।

व्याख्या:

  • परमाणु तीन अवस्थाओं तक पहुँचता है: 2S1/2, 2P1/2 , और 2P3/2 जिनकी ऊर्जाएँ क्रमशः 0, 0.5 kBT, और 0.5 kBT हैं।

  • 2S1/2 अवस्था के लिए पतनता 2 है, 2P1/2 के लिए 2 है, और 2P3/2 के लिए 4 है।

  • बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करके, कुल विभाजन फलन की गणना इस प्रकार की जाती है:

    • Z=g1eE1kBT+g2eE2kBT+g3eE3kBT=2+2e0.5+4e0.5

  • P अवस्था में परमाणुओं का अंश तब कुल संख्या के लिए P अवस्थाओं (दोनों 2P1/2 और 2P3/2) में परमाणुओं के अनुपात के रूप में गणना की जाती है:

    • 2e0.5+4e0.52+2e0.5+4e0.5=6e0.52+6e0.5=3e0.51+3e0.5

निष्कर्ष:

  • P अवस्थाओं में परमाणुओं का सही अंश 3e0.51+3e0.5 है, जो विकल्प 1 से मेल खाता है।

Partition Functions and Their Relation Question 3:

एक समन्यूक्लीय द्विपरमाणुक अणु की कंपन आवृति v है। वह तापमान जिस पर प्रथम उत्तेजित अवस्था की जनसंख्या मूल अवस्था की आधी होगी, ________ द्वारा दिया गया है।

  1. hν.ln2/kB
  2. hν/(ln2.kB)
  3. ln2/(hν.kB)
  4. hν.log2/kB

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : hν/(ln2.kB)

Partition Functions and Their Relation Question 3 Detailed Solution

अवधारणा:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था पर एक अणु के ऊर्जा स्तरों की जनसंख्या बोल्ट्जमान वितरण द्वारा दी जाती है। एक समन्यूक्लियर द्विपरमाणुक अणु के लिए, पहली उत्तेजित अवस्था (N1) की जनसंख्या का मूल अवस्था (N0) से अनुपात है:

N1N0=ehνkBT

यहाँ:

  • h प्लांक नियतांक है।

  • ν अणु की कंपन आवृत्ति है।

  • kB बोल्ट्जमान नियतांक है।

  • T तापमान है।

यह दिया गया है कि पहली उत्तेजित अवस्था की जनसंख्या मूल अवस्था की आधी है:

N1N0=12

व्याख्या:

  • समीकरण से शुरू करते हुए:

    • N1N0=ehνkBT=12

  • दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेते हुए:

    • hνkBT=ln(12)

  • चूँकि, ln(12)=ln2:

    • hνkBT=ln2

    • समीकरण को सरल करते हुए:

    • hνkBT=ln2

    • T के लिए हल करते हुए:

    • T=hνkBln2

निष्कर्ष:

वह तापमान जिस पर पहली उत्तेजित अवस्था की जनसंख्या मूल अवस्था की आधी होगी, hνkBln2 द्वारा दिया गया है। इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Partition Functions and Their Relation Question 4:

यदि θr घूर्णन का अभिलाक्षणिक तापमान दर्शाता है, तो θr(H2)θr(HD)[θr(HD)]2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।

(यह मानते हुए कि सभी अणुओं के लिए आबंध लंबाई समान है):

  1. 4/3
  2. 27/2
  3. 27/4
  4. 4/27

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 4/3

Partition Functions and Their Relation Question 4 Detailed Solution

सही उत्तर 4/3 है

व्याख्या:-

θ, ∝ 1/ μ r2

जहाँ μ = (m1m2)/(m1+m2)

जब r समान है तब θ ∝ 1/ μ

θr(H2)θr(HD)[θr(HD)]2

θr(H2)θr(HD)[θr(HD)]2=μHDμH2

=2/31/2=4/3

निष्कर्ष:-

इसलिए, घूर्णन का अभिलाक्षणिक तापमान θr(H2)θr(HD)[θr(HD)]2 का परिमाण 4/3 है।

Partition Functions and Their Relation Question 5:

एक आयामी दोलित्र जिसके ऊर्जा स्तरों का अंतर समान है, ऊर्जा अंतर का मान kBT के बराबर है तथा निम्नतम अवस्था ऊर्जा शून्य है, के लिए विभाजन फलन है।

  1. e
  2. 1/(e - 1)
  3. e/(e - 1)
  4. 1/(e + 1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : e/(e - 1)

Partition Functions and Their Relation Question 5 Detailed Solution

सही उत्तर e/(e - 1) है।

संकल्पना:-

विभाजन फलन- असतत ऊर्जा स्तरों वाली प्रणाली के लिए विभाजन फलन (q) सभी संभावित अवस्थाओं पर योग द्वारा दिया जाता है:

q=n=0eβEn, जहाँ β = 1kT व्युत्क्रम तापमान है (k बोल्ट्ज़मान नियतांक है और T तापमान है), और En प्रणाली के ऊर्जा स्तरों का प्रतिनिधित्व करता है।

एक-आयामी आवर्ती दोलक का विभाजन फलन:

q=eβ12ω1eβω

शून्य बिन्दु ऊर्जा-
शून्य-बिंदु ऊर्जा क्वांटम यांत्रिकी में एक अवधारणा है जो न्यूनतम संभव ऊर्जा को संदर्भित करती है जो एक क्वांटम यांत्रिक भौतिक प्रणाली रख सकती है, तब भी जब अन्य सभी ऊर्जा को हटा दिया गया हो (अर्थात, पूर्ण शून्य तापमान पर)। यह अनिश्चितता सिद्धांत के कारण उत्पन्न होती है, जो बताता है कि कुछ भौतिक गुणों के युग्म, जैसे स्थिति और संवेग, दोनों को एक साथ सटीक रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या:-

चूँकि, शून्य बिन्दु ऊर्जा = 0

q = 11eΔEkt      [दियागयाहै: ΔE = kBT]

q = 11ekTkTq = 11e1q = 111e

q = 1e1e

q = ee1

निष्कर्ष:-

एक-आयामी दोलक का विभाजन फलन जिसमें समान रूप से ऊर्जा स्तर हैं जिनकी ऊर्जा दूरी kBT के बराबर है और शून्य भूतल ऊर्जा है, e/(e - 1) है।

Top Partition Functions and Their Relation MCQ Objective Questions

एक आदर्श गैस के लिए, कैनोनिकल एन्सेंबल में आणविक विभाजन फलन, जो निकाय के आयतन (𝑉) के समानुपाती है, वह है

  1. कंपन विभाजन फलन
  2. घूर्णन विभाजन फलन
  3. इलेक्ट्रॉनिक विभाजन फलन
  4. स्थानांतरण विभाजन फलन

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : स्थानांतरण विभाजन फलन

Partition Functions and Their Relation Question 6 Detailed Solution

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संप्रत्यय:-

स्थानांतरण विभाजन फलन (qtrans): यह गैस अणुओं की स्थानांतरण गति से संबंधित विभाजन फलन है। तीन आयामों में N समान कणों की एक आदर्श गैस के लिए, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

qtrans = (2πmKT/h2)(3/2) * V

जहाँ m एक अणु का द्रव्यमान है, K बोल्ट्जमान स्थिरांक है, T केल्विन में तापमान है, h प्लांक स्थिरांक है, और V निकाय का आयतन है।

घूर्णन विभाजन फलन (qrot): रेखीय अणुओं के लिए, घूर्णन विभाजन फलन अणुओं की घूर्णन गति को ध्यान में रखता है। अभिलक्षणिक घूर्णन तापमान Θrot से काफी अधिक तापमान के लिए, यह दिया गया है:

qrot = T / Θrot

अरेखीय अणुओं के लिए, घूर्णन विभाजन फलन अधिक जटिल हो जाता है, जिसमें घूर्णन स्थिरांक और समरूपता संख्या शामिल होती है।

कंपन विभाजन फलन (qvib): यह फलन अणु की कंपन अवस्थाओं का वर्णन करता है। एकल कंपन मोड और v की कंपन क्वांटम संख्या वाले अणु के लिए, कंपन विभाजन फलन है:

qvib = 1 / (1 - exp(-hν/kT))

जहाँ h प्लांक स्थिरांक है, ν कंपन की आवृत्ति है, और k बोल्ट्जमान स्थिरांक है।

व्याख्या:-

यदि हम विभिन्न विभाजन कार्यों की गणना के सूत्र को देखें तो हम पाते हैं कि केवल स्थानांतरण विभाजन फलन ही सीधे निकाय के आयतन (V) से संबंधित है। किसी अन्य विभाजन फलन में (V) आयतन कारक इसकी गणना में शामिल नहीं है।
कंपन विभाजन फलन
qvib = 1/ (1-e-hv/KBT)

घूर्णन विभाजन फलन,
qrot = KB. T/ σhB

इलेक्ट्रॉनिक विभाजन फलन,
qelec. = gieBEj

स्थानांतरण विभाजन फलन,
qtrans = (2πmKT)3/2.V / h2
जहाँ, V = निकाय का आयतन।
इसलिए, केवल स्थानांतरण विभाजन फलन में एक आयतन तत्व है।
निष्कर्ष:-

इसलिए, कैनोनिकल एन्सेंबल में आणविक विभाजन फलन, जो निकाय के आयतन (𝑉) के समानुपाती है, वह स्थानांतरण विभाजन फलन है।

छः विभैद्य कण जिनकी ऊर्जा 0, ε तथा 2ε हैं, 3 अनपभ्रष्ट स्तरों में वितरित किये गये हैं कुल ऊर्जा का जो मान सर्वाधिक संभावित है, वह है

  1. 7ε
  2. 8ε
  3. 6ε

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 6ε

Partition Functions and Their Relation Question 7 Detailed Solution

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संकपना:

एक अनपभ्रष्ट तंत्र के लिए ऊर्जा स्तरों का प्रायिकता वितरण बोल्ट्जमान वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बोल्ट्जमान वितरण किसी विशेष ऊर्जा अवस्था E में एक तंत्र को खोजने की प्रायिकता, P(E), देता है जब वह तापमान T पर अपने परिवेश के साथ तापीय साम्य में होता है।

दिया गया है:

तीन अनपभ्रष्ट स्तरों की ऊर्जा 0, ε, 2ε है

व्याख्या:

तीन स्तर अनपभ्रष्ट हैं, इसलिए ऊर्जा की केवल एक अवस्था है।

3 ऊर्जा स्तरों पर अधिधारण करने वाले कणों की संख्या N1, N2, N3 हो

जहां, N1+N2+N3 = 6

चूँकि कण अलग-अलग हैं, इसलिए कणों को चुनने के तरीकों की संख्या अर्थात सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या है

W=6!N1!N2!N3!

जहां, W= उष्मागतिकी प्रायिकता

सबसे संभावित वितरण वह है जहां W अधिकतम है और N1! N2! N3! न्यूनतम है अर्थात

N1=N2=N3 = 2

तंत्र का ऊर्जा वितरण है-

0N1 + εN2+ 2εN3

= 0x2 +εx2 +2ε x 2

= 6ε

निष्कर्ष:

कुल ऊर्जा के लिए सबसे संभावित मान 6ε है।

किसी दिए गए तापमान पर, एक परमाणु का क्रमश:, 0 kBT, 0.5 kBT तथा 0.5 kBT, ऊर्जाओं के 2S1/2, 2P1/2 तथा 2P3/2 परमाणु अवस्थाओं तक पहुँच है। P अवस्थाओं में परमाणुओं का अंश है

  1. 3e0.51+3e0.5
  2. e0.51+2e0.5
  3. e0.51+4e0.5
  4. 2e0.51+2e0.5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3e0.51+3e0.5

Partition Functions and Their Relation Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था में किसी दिए गए अवस्था में कणों का अंश बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्धारित होता है। अवस्था की पतनता भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जो उपलब्ध सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को प्रभावित करती है।

  • बोल्ट्जमान वितरण: किसी दिए गए तापमान पर, किसी परमाणु के E ऊर्जा वाली अवस्था में होने की प्रायिकता ( eEkBT) के समानुपाती होती है, जहाँ ( kB ) बोल्ट्जमान स्थिरांक है और T केल्विन में तापमान है।

    • ऊर्जा पर घातीय निर्भरता के कारण उच्च ऊर्जा अवस्थाओं में संख्या कम होती है।

    • पतनता किसी अवस्था के अधिक संख्या होने की प्रायिकता को बढ़ाती है, क्योंकि यह समान ऊर्जा वाली कई सूक्ष्म अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती है।

    • विभाजन फलन सभी संभावित अवस्थाओं में प्रायिकताओं को सामान्य करता है।

  • पतनता: किसी अवस्था की पतनता (g) समान ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को संदर्भित करती है। उच्च पतनता वाली अवस्थाओं में उच्च प्रायिकता होती है।

  • विभाजन फलन: विभाजन फलन ( Z=gieEikBT ) सभी ऊर्जा स्तरों पर योग करता है और प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणक और पतनता दोनों को ध्यान में रखता है।

व्याख्या:

  • परमाणु तीन अवस्थाओं तक पहुँचता है: 2S1/2, 2P1/2 , और 2P3/2 जिनकी ऊर्जाएँ क्रमशः 0, 0.5 kBT, और 0.5 kBT हैं।

  • 2S1/2 अवस्था के लिए पतनता 2 है, 2P1/2 के लिए 2 है, और 2P3/2 के लिए 4 है।

  • बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करके, कुल विभाजन फलन की गणना इस प्रकार की जाती है:

    • Z=g1eE1kBT+g2eE2kBT+g3eE3kBT=2+2e0.5+4e0.5

  • P अवस्था में परमाणुओं का अंश तब कुल संख्या के लिए P अवस्थाओं (दोनों 2P1/2 और 2P3/2) में परमाणुओं के अनुपात के रूप में गणना की जाती है:

    • 2e0.5+4e0.52+2e0.5+4e0.5=6e0.52+6e0.5=3e0.51+3e0.5

निष्कर्ष:

  • P अवस्थाओं में परमाणुओं का सही अंश 3e0.51+3e0.5 है, जो विकल्प 1 से मेल खाता है।

एक गैस का विभाजन फलन दिया गया है:

Q(N, V, T) = 1N!(2πmh2β)3N/2 (v - Nb)Ne βaN2V

गैस की आंतरिक ऊर्जा है

  1. 32NkBT+2aNV
  2. 12NkBTaN2V
  3. 32NkBTaN2V
  4. 32NRT2aNV

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 32NkBTaN2V

Partition Functions and Their Relation Question 9 Detailed Solution

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अवधारणा:

  • मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण समान लेकिन अलग-अलग कणों के बीच ऊर्जा की मात्रा के वितरण से संबंधित है।
  • यह विभिन्न ऊर्जाओं वाले निकाय में अवस्थाओं के वितरण की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है। एक विशेष स्थिति तथाकथित आणविक वेगों का मैक्सवेल वितरण नियम है।
  • ऊर्जा के बोल्ट्जमैन वितरण का पालन करने वाले निकाय की आंतरिक ऊर्जा U के लिए अंतिम व्यंजक है:

 

U = kBT2(lnQT)V.......(1)

व्याख्या:-

  • गैस के लिए विभाजन फलन दिया गया है

Q(N, V, T) = 1N!(2πmh2β)3N/2 (v - Nb)Ne βaN2V.........(2)

  • समीकरण (2) के दोनों ओर ln लेने पर, हमें प्राप्त होता है,

lnQ(N,V,T)=ln(1N!)+3N2ln(2πmh2)+3N2ln(1β)

+Nln(VNb)+βαN2V

या,

lnQ(N,V,T)=ln(1N!)+3N2ln(2πmh2)+3N2ln(kBT)

+Nln(VNb)+αN2kBTV

या, (lnQT)=T[ln(1N!)+3N2ln(2πmh2)+3N2ln(KT)+Nln(VNb)+αN2kBTV]

या,

(lnQT)=[0+0+3N2×1kBT×kB+0+αN2kBVT(1T)]

या,

(lnQT)=[3N2×1T+αN2kBV(1T2)]

या,

(lnQT)=[3N2TαN2kBVT2]

  • अब, समीकरण (1) में (lnQT) का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

U = kBT2[3N2TαN2kBVT2]

या, U = kBT2 x 3N2T - kBT2 x αN2kBVT2

या, U = 32NkBTaN2V

निष्कर्ष:-

इसलिए, गैस की आंतरिक ऊर्जा 32NkBTaN2V है

Partition Functions and Their Relation Question 10:

एक आदर्श गैस के लिए, कैनोनिकल एन्सेंबल में आणविक विभाजन फलन, जो निकाय के आयतन (𝑉) के समानुपाती है, वह है

  1. कंपन विभाजन फलन
  2. घूर्णन विभाजन फलन
  3. इलेक्ट्रॉनिक विभाजन फलन
  4. स्थानांतरण विभाजन फलन

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : स्थानांतरण विभाजन फलन

Partition Functions and Their Relation Question 10 Detailed Solution

संप्रत्यय:-

स्थानांतरण विभाजन फलन (qtrans): यह गैस अणुओं की स्थानांतरण गति से संबंधित विभाजन फलन है। तीन आयामों में N समान कणों की एक आदर्श गैस के लिए, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

qtrans = (2πmKT/h2)(3/2) * V

जहाँ m एक अणु का द्रव्यमान है, K बोल्ट्जमान स्थिरांक है, T केल्विन में तापमान है, h प्लांक स्थिरांक है, और V निकाय का आयतन है।

घूर्णन विभाजन फलन (qrot): रेखीय अणुओं के लिए, घूर्णन विभाजन फलन अणुओं की घूर्णन गति को ध्यान में रखता है। अभिलक्षणिक घूर्णन तापमान Θrot से काफी अधिक तापमान के लिए, यह दिया गया है:

qrot = T / Θrot

अरेखीय अणुओं के लिए, घूर्णन विभाजन फलन अधिक जटिल हो जाता है, जिसमें घूर्णन स्थिरांक और समरूपता संख्या शामिल होती है।

कंपन विभाजन फलन (qvib): यह फलन अणु की कंपन अवस्थाओं का वर्णन करता है। एकल कंपन मोड और v की कंपन क्वांटम संख्या वाले अणु के लिए, कंपन विभाजन फलन है:

qvib = 1 / (1 - exp(-hν/kT))

जहाँ h प्लांक स्थिरांक है, ν कंपन की आवृत्ति है, और k बोल्ट्जमान स्थिरांक है।

व्याख्या:-

यदि हम विभिन्न विभाजन कार्यों की गणना के सूत्र को देखें तो हम पाते हैं कि केवल स्थानांतरण विभाजन फलन ही सीधे निकाय के आयतन (V) से संबंधित है। किसी अन्य विभाजन फलन में (V) आयतन कारक इसकी गणना में शामिल नहीं है।
कंपन विभाजन फलन
qvib = 1/ (1-e-hv/KBT)

घूर्णन विभाजन फलन,
qrot = KB. T/ σhB

इलेक्ट्रॉनिक विभाजन फलन,
qelec. = gieBEj

स्थानांतरण विभाजन फलन,
qtrans = (2πmKT)3/2.V / h2
जहाँ, V = निकाय का आयतन।
इसलिए, केवल स्थानांतरण विभाजन फलन में एक आयतन तत्व है।
निष्कर्ष:-

इसलिए, कैनोनिकल एन्सेंबल में आणविक विभाजन फलन, जो निकाय के आयतन (𝑉) के समानुपाती है, वह स्थानांतरण विभाजन फलन है।

Partition Functions and Their Relation Question 11:

छः विभैद्य कण जिनकी ऊर्जा 0, ε तथा 2ε हैं, 3 अनपभ्रष्ट स्तरों में वितरित किये गये हैं कुल ऊर्जा का जो मान सर्वाधिक संभावित है, वह है

  1. 7ε
  2. 8ε
  3. 6ε

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 6ε

Partition Functions and Their Relation Question 11 Detailed Solution

संकपना:

एक अनपभ्रष्ट तंत्र के लिए ऊर्जा स्तरों का प्रायिकता वितरण बोल्ट्जमान वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बोल्ट्जमान वितरण किसी विशेष ऊर्जा अवस्था E में एक तंत्र को खोजने की प्रायिकता, P(E), देता है जब वह तापमान T पर अपने परिवेश के साथ तापीय साम्य में होता है।

दिया गया है:

तीन अनपभ्रष्ट स्तरों की ऊर्जा 0, ε, 2ε है

व्याख्या:

तीन स्तर अनपभ्रष्ट हैं, इसलिए ऊर्जा की केवल एक अवस्था है।

3 ऊर्जा स्तरों पर अधिधारण करने वाले कणों की संख्या N1, N2, N3 हो

जहां, N1+N2+N3 = 6

चूँकि कण अलग-अलग हैं, इसलिए कणों को चुनने के तरीकों की संख्या अर्थात सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या है

W=6!N1!N2!N3!

जहां, W= उष्मागतिकी प्रायिकता

सबसे संभावित वितरण वह है जहां W अधिकतम है और N1! N2! N3! न्यूनतम है अर्थात

N1=N2=N3 = 2

तंत्र का ऊर्जा वितरण है-

0N1 + εN2+ 2εN3

= 0x2 +εx2 +2ε x 2

= 6ε

निष्कर्ष:

कुल ऊर्जा के लिए सबसे संभावित मान 6ε है।

Partition Functions and Their Relation Question 12:

यदि θr घूर्णन का अभिलाक्षणिक तापमान दर्शाता है, तो θr(H2)θr(HD)[θr(HD)]2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।

(यह मानते हुए कि सभी अणुओं के लिए आबंध लंबाई समान है):

  1. 4/3
  2. 27/2
  3. 27/4
  4. 4/27

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 4/3

Partition Functions and Their Relation Question 12 Detailed Solution

सही उत्तर 4/3 है

व्याख्या:-

θ, ∝ 1/ μ r2

जहाँ μ = (m1m2)/(m1+m2)

जब r समान है तब θ ∝ 1/ μ

θr(H2)θr(HD)[θr(HD)]2

θr(H2)θr(HD)[θr(HD)]2=μHDμH2

=2/31/2=4/3

निष्कर्ष:-

इसलिए, घूर्णन का अभिलाक्षणिक तापमान θr(H2)θr(HD)[θr(HD)]2 का परिमाण 4/3 है।

Partition Functions and Their Relation Question 13:

एक आदर्श द्विपरमाणुक गैस अणुओं वाले निकाय के लिए स्थानांतरीय, कंपनिक और घूर्णी आणविक विभाजन फलन, जो कि कैनोनिकल समुच्चय (N, V, T) में हैं, क्रमशः 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠, 𝑞𝑣𝑖𝑏 और 𝑞𝑟𝑜𝑡 के रूप में लिखे गए हैं। वह विकल्प जो सही ढंग से दर्शाता है:

  1. 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑣𝑖𝑏 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑟𝑜𝑡(𝑇,𝑉)
  2. 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑣𝑖𝑏 (𝑇), 𝑞𝑟𝑜𝑡(𝑇)
  3. 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑇), 𝑞𝑣𝑖𝑏 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑟𝑜𝑡(𝑇)
  4. 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑣𝑖𝑏 (𝑇), 𝑞𝑟𝑜𝑡(𝑇,𝑉)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (𝑇,𝑉), 𝑞𝑣𝑖𝑏 (𝑇), 𝑞𝑟𝑜𝑡(𝑇)

Partition Functions and Their Relation Question 13 Detailed Solution

संप्रत्यय:

कैनोनिकल समुच्चय (N, V, T) में आणविक विभाजन फलन

  • कुल आणविक विभाजन फलन q का गुणनखंड इस प्रकार है:

    q = qtrans x qrot x qvib x qelec

  • प्रत्येक विभाजन फलन विशिष्ट भौतिक प्राचलों पर निर्भर करता है:
    • स्थानांतरीय विभाजन फलन qtrans(T, V): तापमान और आयतन दोनों पर निर्भर करता है:

      qtrans = (V / h³) x (2πmkBT)3/2

    • घूर्णी विभाजन फलन qrot(T): उच्च-T सीमा में रेखीय अणुओं के लिए:

      qrot = (T / σθrot)

      या शास्त्रीय रूप में:

      qrot = (8π²IkBT) / (σh²)

      — केवल T पर निर्भर करता है

    • कंपनिक विभाजन फलन qvib(T):

      qvib = 1 / (1 - e−ħω / kBT)

      — पुनः, केवल T पर निर्भर करता है

व्याख्या:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में विभाजन फलनस्थानांतरीय विभाजन फलन:Ztrans=Vh3(2πmkBT)3/2

कंपनिक विभाजन फलन (क्वांटम रूप):Zvib=eβω/21eβω=eω/2kBT1eω/kBT

कंपनिक विभाजन फलन (उच्च तापमान/शास्त्रीय सीमा):Zvib=kBTωघूर्णी विभाजन फलन:Zrot=2IkBT2

  • चित्र और मानक सिद्धांत में सूत्रों से:
    • qtrans T और V दोनों पर निर्भर करता है।
    • qvib केवल T पर निर्भर करता है।
    • qrot केवल T पर निर्भर करता है।
  • इस प्रकार, सही निर्भरता प्रारूप है:
    • qtrans(T, V), qvib(T), qrot(T)

सही उत्तर: विकल्प 2) qtrans(T, V), qvib(T), qrot(T)

Partition Functions and Their Relation Question 14:

किसी दिए गए तापमान पर, एक परमाणु का क्रमश:, 0 kBT, 0.5 kBT तथा 0.5 kBT, ऊर्जाओं के 2S1/2, 2P1/2 तथा 2P3/2 परमाणु अवस्थाओं तक पहुँच है। P अवस्थाओं में परमाणुओं का अंश है

  1. 3e0.51+3e0.5
  2. e0.51+2e0.5
  3. e0.51+4e0.5
  4. 2e0.51+2e0.5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3e0.51+3e0.5

Partition Functions and Their Relation Question 14 Detailed Solution

संकल्पना:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था में किसी दिए गए अवस्था में कणों का अंश बोल्ट्जमान गुणक द्वारा निर्धारित होता है। अवस्था की पतनता भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जो उपलब्ध सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को प्रभावित करती है।

  • बोल्ट्जमान वितरण: किसी दिए गए तापमान पर, किसी परमाणु के E ऊर्जा वाली अवस्था में होने की प्रायिकता ( eEkBT) के समानुपाती होती है, जहाँ ( kB ) बोल्ट्जमान स्थिरांक है और T केल्विन में तापमान है।

    • ऊर्जा पर घातीय निर्भरता के कारण उच्च ऊर्जा अवस्थाओं में संख्या कम होती है।

    • पतनता किसी अवस्था के अधिक संख्या होने की प्रायिकता को बढ़ाती है, क्योंकि यह समान ऊर्जा वाली कई सूक्ष्म अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करती है।

    • विभाजन फलन सभी संभावित अवस्थाओं में प्रायिकताओं को सामान्य करता है।

  • पतनता: किसी अवस्था की पतनता (g) समान ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या को संदर्भित करती है। उच्च पतनता वाली अवस्थाओं में उच्च प्रायिकता होती है।

  • विभाजन फलन: विभाजन फलन ( Z=gieEikBT ) सभी ऊर्जा स्तरों पर योग करता है और प्रत्येक अवस्था के बोल्ट्जमान गुणक और पतनता दोनों को ध्यान में रखता है।

व्याख्या:

  • परमाणु तीन अवस्थाओं तक पहुँचता है: 2S1/2, 2P1/2 , और 2P3/2 जिनकी ऊर्जाएँ क्रमशः 0, 0.5 kBT, और 0.5 kBT हैं।

  • 2S1/2 अवस्था के लिए पतनता 2 है, 2P1/2 के लिए 2 है, और 2P3/2 के लिए 4 है।

  • बोल्ट्जमान वितरण का उपयोग करके, कुल विभाजन फलन की गणना इस प्रकार की जाती है:

    • Z=g1eE1kBT+g2eE2kBT+g3eE3kBT=2+2e0.5+4e0.5

  • P अवस्था में परमाणुओं का अंश तब कुल संख्या के लिए P अवस्थाओं (दोनों 2P1/2 और 2P3/2) में परमाणुओं के अनुपात के रूप में गणना की जाती है:

    • 2e0.5+4e0.52+2e0.5+4e0.5=6e0.52+6e0.5=3e0.51+3e0.5

निष्कर्ष:

  • P अवस्थाओं में परमाणुओं का सही अंश 3e0.51+3e0.5 है, जो विकल्प 1 से मेल खाता है।

Partition Functions and Their Relation Question 15:

एक समन्यूक्लीय द्विपरमाणुक अणु की कंपन आवृति v है। वह तापमान जिस पर प्रथम उत्तेजित अवस्था की जनसंख्या मूल अवस्था की आधी होगी, ________ द्वारा दिया गया है।

  1. hν.ln2/kB
  2. hν/(ln2.kB)
  3. ln2/(hν.kB)
  4. hν.log2/kB

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : hν/(ln2.kB)

Partition Functions and Their Relation Question 15 Detailed Solution

अवधारणा:

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, तापीय साम्यावस्था पर एक अणु के ऊर्जा स्तरों की जनसंख्या बोल्ट्जमान वितरण द्वारा दी जाती है। एक समन्यूक्लियर द्विपरमाणुक अणु के लिए, पहली उत्तेजित अवस्था (N1) की जनसंख्या का मूल अवस्था (N0) से अनुपात है:

N1N0=ehνkBT

यहाँ:

  • h प्लांक नियतांक है।

  • ν अणु की कंपन आवृत्ति है।

  • kB बोल्ट्जमान नियतांक है।

  • T तापमान है।

यह दिया गया है कि पहली उत्तेजित अवस्था की जनसंख्या मूल अवस्था की आधी है:

N1N0=12

व्याख्या:

  • समीकरण से शुरू करते हुए:

    • N1N0=ehνkBT=12

  • दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेते हुए:

    • hνkBT=ln(12)

  • चूँकि, ln(12)=ln2:

    • hνkBT=ln2

    • समीकरण को सरल करते हुए:

    • hνkBT=ln2

    • T के लिए हल करते हुए:

    • T=hνkBln2

निष्कर्ष:

वह तापमान जिस पर पहली उत्तेजित अवस्था की जनसंख्या मूल अवस्था की आधी होगी, hνkBln2 द्वारा दिया गया है। इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

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