Properties of Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 13, 2025
Latest Properties of Lines MCQ Objective Questions
Properties of Lines Question 1:
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण रेखाओं x - 2y = 1 और 4x + 2y = 3 पर स्थित हैं। चतुर्भुज ABCD हो सकता है एक
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
रेखा x - 2y = 1 के अनुदिश विकर्ण का ढाल
⇒m1 = 1/2
रेखा 4x + 2y = 3 के अनुदिश विकर्ण का ढाल
⇒m2 = -2
अब, m1m2 = \(\frac{1}{2}(-2) = -1\)
इसलिए, विकर्ण परस्पर लंब हैं।
∴ चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।
Properties of Lines Question 2:
रेखाओं \(\vec{r}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+1 \hat{k}+\mu(4 \hat{i}+6 \hat{j}+12 \hat{k})\) और \(\overrightarrow{\mathrm{r}}=7 \hat{i}-3 \hat{j}+9 \hat{k}+\lambda(5 \hat{i}+8 \hat{j}-4 \hat{k})\) के बीच का कोण है:
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
त्रिविमीय में दो रेखाओं के बीच का कोण:
- अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम उनके दिशात्मक सदिशों के बीच के कोण का उपयोग करते हैं।
- यदि दिशात्मक सदिश a और b हैं, तो उनके बीच का कोण θ इस प्रकार दिया गया है:
- cosθ = (a · b) / (|a| x |b|)
- यहाँ, a · b सदिशों का अदिश गुणनफल है, और |a| सदिश a का परिमाण है।
अदिश गुणनफल:
- सदिशों a = a1i + a2j + a3k और b = b1i + b2j + b3k का अदिश गुणनफल है:
- a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3
गणना:
दिया गया है, पहली रेखा का दिशात्मक सदिश = 4i + 6j + 12k
माना a = 4i + 6j + 12k
दूसरी रेखा का दिशात्मक सदिश = 5i + 8j − 4k
माना कि b = 5i + 8j − 4k
⇒ a · b = (4)(5) + (6)(8) + (12)(−4)
⇒ a · b = 20 + 48 − 48 = 20
⇒ |a| = √(4² + 6² + 12²) = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14
⇒ |b| = √(5² + 8² + (−4)²) = √(25 + 64 + 16) = √105
⇒ cosθ = (a · b) / (|a| x |b|) = 20 / (14 x √105)
⇒ cosθ = 2 / (√105 / 7)
⇒ θ = cos−1(20 / (14√105))
⇒ θ = cos−1(10 / (7√105))
∴ अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।
Properties of Lines Question 3:
एक रेखा L का ढ़ाल 2 है। यदि m1, m2 दो रेखाओं की ढ़ाल हैं जो L के साथ \(\frac{\pi}{6}\) के कोण पर आनत हैं, तो m1 + m2 =
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
y = mx + c के रूप की एक रेखा की ढ़ाल है
m = tan θ और θ = tan-1(m)
m1 और m2 ढ़ाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण है,
tan θ = \(\Big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\Big|\)
गणना:
दिया गया है, एक रेखा L की ढाल 2 है।
m1 और m2 ढ़ाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण है,
tan θ = \(\Big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\Big|\)
दिया है कि m1 और m2 ढ़ाल वाली रेखाएं L के साथ कोण \(\frac{\pi}{6}\) पर आनत हैं।
∴ tan \(\frac{\pi}{6}\) = \(\left| \frac{ m_1- 2}{1+2m_1} \right|\)
\(\frac{1}{√{3}}\) = \(\left| \frac{m_1-2}{1+2m_1} \right|\)
\(\frac{m_1-2}{1+2m_1}=\frac{1}{\sqrt3}\) , \(\frac{m_1-2}{1+2m_1}=-\frac{1}{\sqrt3}\)
\(m_1=\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\), \(m_1=\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\)
इसीतरह, \(m_2=\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\), \(m_2=\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\)
\(m_1=\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\)और \(m_2=\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\) लीजिये
m1 + m2 = \(\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\) \(+\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\)
\(m_1+m_2=\frac{-4\sqrt 3-6-2-\sqrt3+4\sqrt3-6-2+\sqrt3}{4-3}\)
∴ m1 + m2 = - 16
सही उत्तर विकल्प (4) है।
Properties of Lines Question 4:
बिंदु \((-2, -3)\) से गुजरने वाली रेखा \(L\) की प्रवणता अपरिभाषित है। यदि रेखाओं \(L\) और \(ax - 2y + 3 = 0 \, (a > 0)\) के बीच का कोण \(45^\circ\) है, तो रेखा \(x + ay - 4 = 0\) द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ वामावर्त दिशा में बनाया गया कोण है:
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 4 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
1. अपरिभाषित प्रवणता वाली रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।
2. एक रेखा की प्रवणता m = tan θ द्वारा दी जाती है, जहाँ θ धनात्मक X-अक्ष के साथ रेखा द्वारा बनाया गया कोण है।
3. प्रवणता m₁ और m₂ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण \(tan θ = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}|\) द्वारा दिया जाता है।
गणना:
दिया गया है:
रेखा L, (-2, -3) से गुजरती है और इसकी प्रवणता अपरिभाषित है।
चूँकि L ऊर्ध्वाधर है, इसका समीकरण x = -2 है।
रेखा ax - 2y + 3 = 0 की प्रवणता \(\frac{a}{2}\) है।
L और ax - 2y + 3 = 0 के बीच का कोण 45° है।
चूँकि L ऊर्ध्वाधर है, रेखा ax - 2y + 3 = 0, y-अक्ष के साथ 45° या 135° पर आनत होनी चाहिए।
⇒ \(\frac{a}{2}\) = tan 45° = 1 या \(\frac{a}{2}\) = tan 135° = -1
चूँकि a > 0, \(\frac{a}{2}\) = 1 ⇒ a = 2
रेखा x + ay - 4 = 0, x + 2y - 4 = 0 बन जाती है।
इस रेखा की प्रवणता \(- \frac{1}{2}\) है।
मान लीजिए θ इस रेखा द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
⇒ tan θ = \(- \frac{1}{2}\)
चूँकि, प्रवणता ऋणात्मक है, कोण अधिक कोण है।
⇒ θ = \(\pi - tan^{-1}(\frac{1}{2})\)
∴ रेखा x + ay - 4 = 0 द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ बनाया गया कोण \(\pi - tan^{-1}(\frac{1}{2})\) है।
इसलिए, विकल्प 1 सही है।
Properties of Lines Question 5:
यदि ax2 + (2a + 1)xy + 2y2 = 0 द्वारा निरूपित रेखाओं में से एक की प्रवणता, दूसरी की प्रवणता का व्युत्क्रम है, तो प्रवणताओं के वर्गों का योग क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 5 Detailed Solution
गणना:
रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण है,
ax2 + (2a + 1)xy + 2y2 = 0
Ax2 + 2Hxy + By2 = 0 से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
A = a, H = \(\frac{2 a+1}{2}\), B = 2
दी गई शर्त,
\(\mathrm{m}_1=\frac{1}{\mathrm{~m}_2}\)
∴ m1 . m2 = 1
अब, प्रवणताओं का गुणनफल = \(\frac{A}{B}=\frac{a}{2}\)
∴ m1 . m2 = 1 = \(\frac{a}{2}\)
∴ a = 2
इसके अलावा, प्रवणताओं का योग = \(\frac{-2 \mathrm{H}}{\mathrm{~B}}=-\left(\frac{2 \mathrm{a}+1}{2}\right)=\frac{-5}{2}\)
(m1 + m2)2 = \(m_1^2+m_2^2+2 m_1 m_2\) का उपयोग करने पर,
\(\left(\frac{-5}{2}\right)^2=\mathrm{m}_1^2+\mathrm{m}_2^2+2 \times 1\)
∴ \(\mathrm{m}_1^2+\mathrm{m}_2^2=\frac{25}{4}-2\)
∴ \(\mathrm{m}_1^2+\mathrm{m}_2^2=\frac{17}{4}\)
∴ प्रवणताओं के वर्गों का योग \(\frac{17}{4}\) है।
सही उत्तर विकल्प 1 है।
Top Properties of Lines MCQ Objective Questions
दो रेखाओं y = x + 4 और y = 2x - 3 के बीच न्यून कोण क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\)द्वारा ज्ञात किया गया है।
गणना:
दी गयी रेखाएं y = x + 4 और y = 2x - 3 हैं।
माना कि पहली और दूसरी रेखा की ढलान क्रमशः m1 और m2 हैं।
इसलिए, m1 = 1 और m2 = 2
चूँकि हम जानते हैं, tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\)
⇒ tan θ = \(\rm \left|\frac{1 - 2}{1+1 \times 2} \right | = \frac 1 3\)
∴ θ = \(\rm \tan^{-1} \left(\frac 1 3 \right)\)
एक रेखा बराबर अंतःखंडों को निर्देशांक अक्षों पर काटती है। तो X - अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ इस रेखा द्वारा बनाया गया कोण क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण:
अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
\(\rm \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)
जहाँ a और b क्रमशः x और y - अक्ष पर अंतखंड हैं।
गणना:
अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
\(\rm \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)
यह दिया गया है कि दोनों अंतराल बराबर हैं इसलिए हमारे पास a = b है।
इसलिए, रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
\(\rm \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a} =1\\ \dfrac{x+y}{a} = 1\\ x+y = a\\ y = -x + a\)
इसलिए, ढलान-अंतखंड रूप y = mx + c के साथ तुलना करने पर हम देखते हैं कि रेखा का ढलान -1 है।
हम जानते हैं कि ढलान को \(\rm m = \tan \theta\) द्वारा ज्ञात किया गया है।
जहाँ, \(\theta\) , x - अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।
अतः दी गयी स्थिति में हमें\(\tan\theta=-1\implies\theta=135^{\circ}\) प्राप्त होता है।
एक रेखा (1, 1) से होकर गुजरती है और रेखा 3x + y = 7 के लंबवत है। इसका x- अंतःखंड क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
- रेखा का ढलान अंतःखंड रूप: y = mx + c, जहां 'm' रेखा की ढलान है और 'c' y - अंतःखंड है।
- एक सीधी रेखा के समीकरण का "बिंदु-ढलान" रूप है: y − y1 = m(x − x1)
- जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है।
- यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।
गणना:
दिया हुआ: 3x + y = 7
⇒ y = -3x + 7
रेखा की ढलान = m = -3
तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m = 1/3 है
ढलान "1/3" के साथ (1, 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है
y – 1 = (1/3) (x – 1)
⇒ 3y – 3 = x – 1
⇒ 3y = x + 2
⇒ 3y - x = 2
x- अंतःखंड के लिए y = 0
∴ x = -2
तो रेखा का x- अंतःखंड -2 है
दो रेखा y = \(\sqrt 3\) x + 2 और y = \(\frac {1}{\sqrt 3}\)x - 4 के बीच का न्यून कोण क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
दो रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\) द्वारा ज्ञात किया गया है।
गणना:
दी गयी रेखाएं y = \(\sqrt 3\) x + 2 और y = \(\frac {1}{\sqrt 3}\)x - 4 हैं।माना कि पहली और दूसरी रेखा क्रमशः m1 और m2 हैं,
इसलिए, m1 = \(\sqrt 3\) और m2 = \(\frac {1}{\sqrt 3}\)
चूँकि हम जानते हैं, tan θ = \(\rm \left|\frac{\sqrt 3 - \frac {1}{\sqrt 3}}{1+\sqrt 3 \times \frac {1}{\sqrt 3}} \right |\)
⇒ tan θ = \(\rm \left|\frac{\frac{3 - 1}{\sqrt 3}}{1+1} \right | = \frac {1} {\sqrt3}\)
∴ θ = \(\rm \tan^{-1} \left(\frac 1 {\sqrt3} \right)\) = \(\rm \frac {\pi}{6}\)
यदि सीधी रेखा 2x - 5y + 4 = 0 बिंदुओं (1, 5) और (α, 3) से गुजरने वाली रेखा के लंबवत है तो α किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
- अलग-अलग बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान \(\frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2}\; - \;{x_1}}}\) है
- जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है। यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।
गणना:
माना कि रेखा 2x - 5y + 4 = 0 की ढलान m1 है और बिंदुओं (1, 5) और (α, 3) को जोडनेवाली रेखा की ढलान m2 है
\( {{\rm{m}}_2} = \frac{{{\rm{3 }} - 5}}{{{\rm{α }} - 1}} = \frac{-2}{{{\rm{α }} - 1}}\)
अब रेखा की ढलान = m1 = 2/5
दी गई रेखाएं एक दूसरे के लंबवत हैं,
∴ m1 m2 = -1
\( ⇒ {\rm{\;}}\frac{{ - 2}}{{{\rm{α }} - 1}}{\rm{\;}} × {\rm{\;}}\frac{2}{5} = \; - 1\)
⇒ -4 = -5 × (α -1)
⇒ (α -1) = 4/5
⇒ α = (4/5) + 1 = 9/5
यदि बिंदु (-2, -5), (2, -2) और (8, a) संरेखीय हैं, तो a का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि तीन बिंदु (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) संरेखीय हैं, तो तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है।
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{x}}_1}}&{{{\rm{y}}_1}}&1\\ {{{\rm{x}}_2}}&{{{\rm{y}}_2}}&1\\ {{{\rm{x}}_3}}&{{{\rm{y}}_3}}&1 \end{array}} \right|{\rm{\;}} = {\rm{\;}}0\)
या
यदि तीन या तीन से अधिक बिंदु संरेखीय हैं, तो बिंदुओं के किसी दो युग्मों का ढलान समान है।
उदाहरण के लिए, माना कि तीन बिंदु A, B और C संरेखीय हैं, तो
AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान
यदि दो बिंदु \(({{\rm{x}}_1},{{\rm{y}}_1}){\rm{\;and\;}}\left( {{{\rm{x}}_2},{\rm{\;}}{{\rm{y}}_2}} \right)\) हैं, तो रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
\(\Rightarrow \left( {\bf{m}} \right) = \;\frac{{{{\bf{y}}_2} - {{\bf{y}}_1}}}{{{{\bf{x}}_2} - {{\bf{x}}_1}}}{\rm{\;}}\)
गणना:
दिया गया है: बिंदु (-2, -5), (2, -2) और (8, a) संरेखीय हैं।
\(\begin{vmatrix} -2 &-5 &1 \\ 2 &-2 &1 \\ 8& \rm a &1 \end{vmatrix} = 0 \\\Rightarrow -2{(-2-\rm a)}-(-5)(2-8)+1(2a+16)=0\\\Rightarrow4+2\rm a-30+2\rm a + 16 = 0\\\Rightarrow 4\rm a-10=0\\\Rightarrow 4\rm a = 10\\\therefore \rm a = \frac{5}{2}\)
एक रेखा (2, 2) से गुजरती है और रेखा 3x + y = 3 के अभिलम्ब है। इसका y-अन्तःखण्ड क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
- रेखा का ढलान अन्तःखण्ड रूप: y = mx + c, जहाँ ‘m’ रेखा का ढलान है और ‘c’, y - अन्तःखण्ड है।
- एक सीधी रेखा के समीकरण का "बिंदु-ढलान" रूप निम्न है: y - y1 = m(x - x1)
- जब दो रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, तो उनके ढलान का गुणनफल -1 है।
- यदि m रेखा का ढलान है, तो इसके लंबवत रेखा का ढलान -1/m है।
गणना:
दिया गया है: 3x + y = 3
⇒ y = -3x + 3
रेखा का ढलान = m = -3
तो इसके लंबवत रेखा का ढलान -1/m = 1/3 है।
ढलान "1/3" के साथ (2, 2) से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्न है
y - 2 = (1/3) (x - 2)
⇒ 3y - 6 = x - 2
⇒ 3y = x + 4
\(\Rightarrow {\rm{y}} = {\rm{\;}}\frac{1}{3}{\rm{x}} + {\rm{\;}}\frac{4}{3}\)
अतः रेखा का y - अंतःखंड 4/3 है।
यदि बिंदु A (1, x) और B (3, 2) को जोड़ने वाली रेखा का ढलान 8 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
गणना:
दिया गया है: बिंदु A (1, x) और B (3, 2) को जोड़ने वाली रेखा का ढलान 8 है।
चूँकि हम जानते हैं, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm m = \frac{{{y_2}\; - \;{y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
⇒ 8 = \(\rm \frac{{{2}\; - \;{x}}}{{{3} - {1}}}\)
⇒ 8 × 2 = 2 - x
⇒ 16 = 2 - x
∴ x = -14
x अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 30° का झुकाव बनाने वाली रेखा की ढलान का पता लगाएं।
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा :
यदि θ रेखा l का झुकाव है तो
एक रेखा की ढलान को m = tan θ, θ ≠ 90° से दर्शाया जाता है
गणना :
दिया गया: रेखा एक धनात्मक दिशा में x-अक्ष के संबंध में 30° बनाती है
∵ रेखा का झुकाव 30° है यानी θ = 30°
जैसा कि हम जानते हैं कि एक रेखा की ढलान को m = tan θ द्वारा दिया जाता है
तो, दी गई रेखा की ढलान m = tan 30 ° = \(\frac {1}{\sqrt 3}\)बिंदु (4, 3) से होकर गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों पर बराबर अंतःखंड बनाने वाली सीधी रेखा का समीकरण क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Properties of Lines Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
रेखा का अंतःखंड रूप: \(\rm \frac {x}{a} + \rm \frac {y}{b} = 1\), जहाँ, a = x-अंतःखंड और b = y-अंतःखंड
गणना:
हमारे पास रेखा \(\rm \frac {x}{a} + \rm \frac {y}{b} = 1\) का अंतःखंड रूप है।
यहाँ, रेखा निर्देशांक अक्षों पर बराबर अंतःखंड बनाती है।
इसलिए, a = b
⇒ x + y = a
(4, 3) से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा
∴ (4) + (3) = a
⇒ a = 7
इसलिए, आवश्यक रेखा का समीकरण: x + y = 7
अतः विकल्प (1) सही है।