Properties of Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 14, 2025

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Latest Properties of Lines MCQ Objective Questions

Properties of Lines Question 1:

किस प्रतिबंध के अंतर्गत रेखाएँ और एक-दूसरे पर लंबवत होंगी?

  1. mn1=0
  2. mn + 1 = 0
  3. m + n = 0
  4. m - n = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : mn1=0

Properties of Lines Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

रेखा 1: m2x+ny1=0

रेखा 2: n2xmy+2=0

रेखा 1 की ढाल, m1=m2n

रेखा 2 की ढाल, m2=n2m

लंबवत रेखाओं के लिए, m1×m2=1.

m2n×n2m=1

mn = 1

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

Properties of Lines Question 2:

चतुर्भुज ABCD के विकर्ण रेखाओं x - 2y = 1 और 4x + 2y = 3 पर स्थित हैं। चतुर्भुज ABCD हो सकता है एक

  1. आयत
  2. चक्रीय चतुर्भुज
  3. समांतर चतुर्भुज
  4. समचतुर्भुज

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : समचतुर्भुज

Properties of Lines Question 2 Detailed Solution

व्याख्या:

रेखा x - 2y = 1 के अनुदिश विकर्ण का ढाल

⇒m1 = 1/2

रेखा 4x + 2y = 3 के अनुदिश विकर्ण का ढाल

m2 = -2

अब, m1m2 = 12(2)=1

इसलिए, विकर्ण परस्पर लंब हैं।

∴ चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।

Properties of Lines Question 3:

रेखाओं r=3i^2j^+1k^+μ(4i^+6j^+12k^) और r=7i^3j^+9k^+λ(5i^+8j^4k^) के बीच का कोण है:

  1. cos1107105
  2. cos1572
  3. cos1235
  4. cos1798

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : cos1107105

Properties of Lines Question 3 Detailed Solution

संप्रत्यय:

त्रिविमीय में दो रेखाओं के बीच का कोण:

  • अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम उनके दिशात्मक सदिशों के बीच के कोण का उपयोग करते हैं।
  • यदि दिशात्मक सदिश a और b हैं, तो उनके बीच का कोण θ इस प्रकार दिया गया है:
  • cosθ = (a · b) / (|a| x |b|)
  • यहाँ, a · b सदिशों का अदिश गुणनफल है, और |a| सदिश a का परिमाण है।

अदिश गुणनफल:

  • सदिशों a = a1i + a2j + a3k और b = b1i + b2j + b3k का अदिश गुणनफल है:
  • a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3

 

गणना:

दिया गया है, पहली रेखा का दिशात्मक सदिश = 4i + 6j + 12k

माना a = 4i + 6j + 12k

दूसरी रेखा का दिशात्मक सदिश = 5i + 8j − 4k

माना कि b = 5i + 8j − 4k

⇒ a · b = (4)(5) + (6)(8) + (12)(−4)

⇒ a · b = 20 + 48 − 48 = 20

⇒ |a| = √(4² + 6² + 12²) = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14

⇒ |b| = √(5² + 8² + (−4)²) = √(25 + 64 + 16) = √105

⇒ cosθ = (a · b) / (|a| x |b|) = 20 / (14 x √105)

⇒ cosθ = 2 / (√105 / 7)

⇒ θ = cos−1(20 / (14√105))

⇒ θ = cos−1(10 / (7√105))

∴ अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।

Properties of Lines Question 4:

एक रेखा L का ढ़ाल 2 है। यदि m1, m2 दो रेखाओं की ढ़ाल हैं जो L के साथ π6 के कोण पर आनत हैं, तो m1 + m2 =

  1. -11
  2. 16
  3. 11
  4. -16
  5. 17

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -16

Properties of Lines Question 4 Detailed Solution

संकल्पना: 

y = mx + c के रूप की एक रेखा की ढ़ाल है

m = tan θ और θ = tan-1(m)

m1 और m2 ढ़ाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण है,

tan θ = |m1m21+m1m2|

गणना: 

दिया गया है, एक रेखा L की ढाल 2 है।

m1 और m2 ढ़ाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण है,

tan θ = |m1m21+m1m2|

दिया है कि m1 और m2 ढ़ाल वाली रेखाएं L के साथ कोण π6 पर आनत हैं।

∴ tan π6 = |m121+2m1|

13 = |m121+2m1|

m121+2m1=13 , m121+2m1=13

m1=23123m1=2312+3

इसीतरह, m2=23123m2=2312+3

 m1=23123और​ m2=2312+3 लीजिये 

m1 + m2 = 23123 +2312+3

m1+m2=43623+4362+343

∴ m1 + m2 = - 16

सही उत्तर विकल्प (4) है।

Properties of Lines Question 5:

बिंदु (2,3) से गुजरने वाली रेखा L की प्रवणता अपरिभाषित है। यदि रेखाओं L और ax2y+3=0(a>0) के बीच का कोण 45 है, तो रेखा x+ay4=0 द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ वामावर्त दिशा में बनाया गया कोण है:

  1. πtan1(12)
  2. π3
  3. 2π3
  4. tan1(12)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : πtan1(12)

Properties of Lines Question 5 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:

1. अपरिभाषित प्रवणता वाली रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।

2. एक रेखा की प्रवणता m = tan θ द्वारा दी जाती है, जहाँ θ धनात्मक X-अक्ष के साथ रेखा द्वारा बनाया गया कोण है।

3. प्रवणता m₁ और m₂ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण tanθ=|m1m21+m1m2| द्वारा दिया जाता है।

गणना:

दिया गया है:

रेखा L, (-2, -3) से गुजरती है और इसकी प्रवणता अपरिभाषित है।

चूँकि L ऊर्ध्वाधर है, इसका समीकरण x = -2 है।

रेखा ax - 2y + 3 = 0 की प्रवणता a2 है।

L और ax - 2y + 3 = 0 के बीच का कोण 45° है।

चूँकि L ऊर्ध्वाधर है, रेखा ax - 2y + 3 = 0, y-अक्ष के साथ 45° या 135° पर आनत होनी चाहिए।

a2 = tan 45° = 1 या a2 = tan 135° = -1

चूँकि a > 0, a2 = 1 ⇒ a = 2

रेखा x + ay - 4 = 0, x + 2y - 4 = 0 बन जाती है।

इस रेखा की प्रवणता 12 है।

मान लीजिए θ इस रेखा द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।

⇒ tan θ = 12

चूँकि, प्रवणता ऋणात्मक है, कोण अधिक कोण है।

⇒ θ = πtan1(12)

∴ रेखा x + ay - 4 = 0 द्वारा धनात्मक X-अक्ष के साथ बनाया गया कोण πtan1(12) है।

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

Top Properties of Lines MCQ Objective Questions

दो रेखाओं y = x + 4 और y =  2x - 3 के बीच न्यून कोण क्या होगा?

  1. tan1(14)
  2. tan1(13)
  3. tan1(23)
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : tan1(13)

Properties of Lines Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = |m1m21+m1m2|द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं y = x + 4 और y =  2x - 3 हैं। 

माना कि पहली और दूसरी रेखा की ढलान क्रमशः m1 और m2 हैं। 

इसलिए, m1 = 1 और m2 = 2

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = |m1m21+m1m2|

⇒ tan θ = |121+1×2|=13

∴ θ = tan1(13)

एक रेखा बराबर अंतःखंडों को निर्देशांक अक्षों पर काटती है। तो X - अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ इस रेखा द्वारा बनाया गया कोण क्या है?

  1. 45° 
  2. 90°  
  3. 120° 
  4. 135° 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 135° 

Properties of Lines Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

xa+yb=1

जहाँ a और b क्रमशः x और y - अक्ष पर अंतखंड हैं। 

 

गणना:

अन्तःखण्ड रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

xa+yb=1

यह दिया गया है कि दोनों अंतराल बराबर हैं इसलिए हमारे पास a = b है। 

इसलिए, रेखा के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

xa+ya=1x+ya=1x+y=ay=x+a

इसलिए, ढलान-अंतखंड रूप y = mx + c के साथ तुलना करने पर हम देखते हैं कि रेखा का ढलान -1 है। 

हम जानते हैं कि ढलान को m=tanθ द्वारा ज्ञात किया गया है। 

जहाँ, θ , x - अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है। 

अतः दी गयी स्थिति में हमेंtanθ=1θ=135 प्राप्त होता है। 

एक रेखा (1, 1) से होकर गुजरती है और रेखा 3x + y = 7 के लंबवत है। इसका x- अंतःखंड क्या है?

  1. -2
  2. 2
  3. 2/3
  4. -2/3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : -2

Properties of Lines Question 8 Detailed Solution

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धारणा:

 
  • रेखा का ढलान अंतःखंड रूप: y = mx + c, जहां 'm' रेखा की ढलान है और 'c' y - अंतःखंड है।
  • एक सीधी रेखा के समीकरण का "बिंदु-ढलान" रूप है: y − y1 = m(x − x1)
  • जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है।
  • यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।

 

गणना:

दिया हुआ: 3x + y = 7

⇒ y = -3x + 7

रेखा की ढलान = m = -3

तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m = 1/3 है

ढलान "1/3" के साथ (1, 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

y – 1 = (1/3) (x – 1)

⇒ 3y – 3 = x – 1

⇒ 3y = x + 2

⇒ 3y - x = 2

x- अंतःखंड के लिए y = 0

∴ x = -2

तो रेखा का x- अंतःखंड -2 है

दो रेखा y = 3 x + 2 और y =  13x - 4 के बीच का न्यून कोण क्या है?

  1. π3
  2. π6
  3. π4
  4. π2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : π6

Properties of Lines Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

दो रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = |m1m21+m1m2| द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं y = 3 x + 2 और y =  13x - 4 हैं।

माना कि पहली और दूसरी रेखा क्रमशः m1 और m2  हैं,

इसलिए, m1 = 3 और m2 = 13

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = |3131+3×13|

⇒ tan θ = |3131+1|=13

∴ θ = tan1(13) = π6

यदि सीधी रेखा 2x - 5y + 4 = 0 बिंदुओं (1, 5) और (α, 3) से गुजरने वाली रेखा के लंबवत है तो α किसके बराबर है?

  1. 6/5
  2. 9/5
  3. 7/8
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 9/5

Properties of Lines Question 10 Detailed Solution

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धारणा:

  • अलग-अलग बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान y2y1x2x1 है
  • जब दो रेखाएं लंबवत होती हैं तो उनकी ढलानों का गुणनफल -1 होता है। यदि m एक रेखा की ढलान है तो इसके लिए लंबवत रेखा की ढलान -1/m है।

 

गणना:

माना कि रेखा 2x - 5y + 4 = 0 की ढलान m1 है और बिंदुओं (1, 5) और (α, 3) को जोडनेवाली रेखा की ढलान m2 है 

m2=35α1=2α1

अब रेखा की ढलान = m1 = 2/5

दी गई रेखाएं एक दूसरे के लंबवत हैं,

∴ m1 m2 = -1

2α1×25=1

⇒ -4 = -5 × (α -1)

⇒ (α -1) = 4/5

⇒ α = (4/5) + 1 = 9/5

यदि बिंदु (-2, -5), (2, -2) और (8, a) संरेखीय हैं, तो a का मान क्या है?

  1. 52
  2. 52
  3. 32
  4. 12

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 52

Properties of Lines Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि तीन बिंदु (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) संरेखीय हैं, तो तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है। 

|x1y11x2y21x3y31|=0

या 

यदि तीन या तीन से अधिक बिंदु संरेखीय हैं, तो बिंदुओं के किसी दो युग्मों का ढलान समान है। 

उदाहरण के लिए, माना कि तीन बिंदु A, B और C संरेखीय हैं, तो 

AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान 

यदि दो बिंदु (x1,y1)and(x2,y2) हैं, तो रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

(m)=y2y1x2x1

 

गणना:

दिया गया है: बिंदु (-2, -5), (2, -2) और (8, a) संरेखीय हैं। 

|2512218a1|=02(2a)(5)(28)+1(2a+16)=04+2a30+2a+16=04a10=04a=10a=52

एक रेखा (2, 2) से गुजरती है और रेखा 3x + y = 3 के अभिलम्ब है। इसका y-अन्तःखण्ड क्या है?

  1. 3/4
  2. 4/3
  3. 1/3
  4. 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 4/3

Properties of Lines Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • रेखा का ढलान अन्तःखण्ड रूप: y = mx + c, जहाँ ‘m’ रेखा का ढलान है और ‘c’, y - अन्तःखण्ड है। 
  • एक सीधी रेखा के समीकरण का "बिंदु-ढलान" रूप निम्न है: y - y1 = m(x - x1)
  • जब दो रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होते हैं, तो उनके ढलान का गुणनफल -1 है।
  • यदि m रेखा का ढलान है, तो इसके लंबवत रेखा का ढलान -1/m है। 

 

गणना:

दिया गया है: 3x + y = 3

⇒ y = -3x + 3

रेखा का ढलान = m = -3

तो इसके लंबवत रेखा का ढलान -1/m = 1/3 है। 

ढलान "1/3" के साथ (2, 2) से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्न है

y - 2 = (1/3) (x - 2)

⇒ 3y - 6 = x - 2

⇒ 3y = x + 4

y=13x+43

अतः रेखा का y - अंतःखंड 4/3 है। 

यदि बिंदु A (1, x) और B (3, 2) को जोड़ने वाली रेखा का ढलान 8 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। 

  1. 12
  2. -12
  3. 14
  4. -14

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -14

Properties of Lines Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: m=y2y1x2x1

गणना:

दिया गया है: बिंदु A (1, x) और B (3, 2) को जोड़ने वाली रेखा का ढलान 8 है। 

चूँकि हम जानते हैं, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: m=y2y1x2x1

⇒ 8 = 2x31

⇒ 8 × 2 = 2 - x

⇒ 16 = 2 - x

∴ x = -14

x अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 30° का झुकाव बनाने वाली रेखा की ढलान का पता लगाएं।

  1. 1
  2. √3
  3. 13
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 13

Properties of Lines Question 14 Detailed Solution

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अवधारणा :

यदि θ रेखा l का झुकाव है तो

एक रेखा की ढलान को m = tan θ, θ ≠ 90° से दर्शाया जाता है

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गणना :

दिया गया: रेखा एक धनात्मक दिशा में x-अक्ष के संबंध में 30° बनाती है

∵ रेखा का झुकाव 30° है यानी θ = 30°

जैसा कि हम जानते हैं कि एक रेखा की ढलान को m = tan θ द्वारा दिया जाता है

तो, दी गई रेखा की ढलान m = tan 30 ° = 13

बिंदु (4, 3) से होकर गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों पर बराबर अंतःखंड बनाने वाली सीधी रेखा का समीकरण क्या है?

  1. x + y = 7
  2. 3x + 4y = 7
  3. x – y = 1
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x + y = 7

Properties of Lines Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

रेखा का अंतःखंड रूप: xa+yb=1, जहाँ, a = x-अंतःखंड और b = y-अंतःखंड 

 

गणना:

हमारे पास रेखा xa+yb=1 का अंतःखंड रूप है। 

यहाँ, रेखा निर्देशांक अक्षों पर बराबर अंतःखंड बनाती है। 

इसलिए, a = b

⇒ x  + y = a

(4, 3) से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा 

∴ (4) + (3) = a

⇒ a = 7

इसलिए, आवश्यक रेखा का समीकरण: x + y = 7

अतः विकल्प (1) सही है। 

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