Distance Formula MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Distance Formula - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिए गए बिंदु A(3, −1) और B(1, 1) हैं। मान लीजिए कि AB का मध्य बिंदु P है, और AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित एक बिंदु Q है जो P से √2 इकाई की दूरी पर है।

AB का मध्य बिंदु P की गणना करें:

$P=(\frac{3+1}{2},\frac{-1+1}{2})=(2,0)$

AB की ढाल की गणना करें:

$m_{AB}=\frac{1-(-1)}{1-3}=\frac{2}{-2}=-1$

इसलिए, रेखा AB का समीकरण है:

$y-1=-1(x-1)⟹x+y-2=0$

AB का लंब समद्विभाजक P(2, 0) से गुजरना चाहिए और इसकी ढलान −1 (अर्थात ढलान +1) के लंबवत होनी चाहिए:

$y-0=1(x-2)⟹y=x-2$

इस समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु Q, y = x - 2 को संतुष्ट करता है। Q = (x, x − 2) लिखें।

हमें दूरी PQ = √2 की आवश्यकता है। चूँकि P(2, 0),

${\text{Distance}}^2=(x-2{)}^2+((x-2)-0{)}^2=2$

⇒ $(x-2{)}^2+(x-2{)}^2=2⟹2(x-2{)}^2=2⟹(x-2{)}^2=1$

इस प्रकार,

⇒ $x-2=\pm 1⟹x=3\text{ or }x=1$

यदि x = 3 है, तो y = 3 - 2 = 1 है। इसलिए एक हल Q(3, 1) है।

यदि x = 1 है, तो y = 1 - 2 = -1 है। इसलिए दूसरा हल Q(1, −1) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिए गए बिंदु A(0,0), B(p,1), और C(1,q), एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। हमें बताया गया है (0 < p,q < 1).

भुजाओं की वर्ग लंबाई की गणना करें:

$A{B}^2=(p-0{)}^2+(1-0{)}^2=p^2+1$

$A{C}^2=(1-0{)}^2+(q-0{)}^2=1+q^2$

$B{C}^2=(1-p{)}^2+(q-1{)}^2=(1-p{)}^2+(q-1{)}^2=2(1-p{)}^2$

क्योंकि त्रिभुज समबाहु है, इसलिए तीनों वर्ग लंबाई समान हैं:

⇒ $A{B}^2=A{C}^2$

⇒ $p^2+1=1+q^2⟹p^2=q^2⟹p=q$

p और q दोनों (0,1) में धनात्मक हैं

मान लीजिए, p = q = t तब

⇒ $A{B}^2=t^2+1$

⇒ $B{C}^2=2(1-t{)}^2$

AB² और BC² को बराबर रखने पर:

⇒ $t^2+1=2(1-t{)}^2=2(1-2t+t^2)=2-4t+2t^2.$

सरल करने पर:

⇒ $t^2+1=2-4t+2t^2⟹0=2-4t+2t^2-(t^2+1)=t^2-4t+1.$

इसलिए t संतुष्ट करता है:

⇒ $t^2-4t+1=0⟹t=\frac{4\pm \surd 16-4}{2}=\frac{4\pm 2\surd 3}{2}=2\pm \surd 3.$

चूँकि 0 < t < 1, हम t = 2 - √3 लेते हैं (ध्यान दें कि 2 + √3> 1) जो कि अनुमत नहीं है। इसलिए,

⇒ $p=q=2-\surd 3.$

इसलिए:

$p+q=(2-\surd 3)+(2-\surd 3)=4-2\surd 3.$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

तीन आयामी स्थान में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

दूरी = $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}$

गणना:

दिए गए बिंदुओं (x₁, y₁, z₁) = (7, 1, -3) और (x₂, y₂, z₂) = (4, 5, λ) को प्रतिस्थापित करने पर:

दूरी = √((4 - 7)² + (5 - 1)² + (λ + 3)²)

दिया गया है कि दूरी = 13, हमें प्राप्त होता है:

13 = √((4 - 7)² + (5 - 1)² + (λ + 3)²)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

13² = (4 - 7)² + (5 - 1)² + (λ + 3)²

169 = (-3)² + (4)² + (λ + 3)²

⇒ 169 = 9 + 16 + (λ + 3)²

⇒ 169 = 25 + (λ + 3)²

⇒ (λ + 3)² = 169 - 25

⇒ (λ + 3)² = 144

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

λ + 3 = ±√144

⇒ λ + 3 = ±12

λ के लिए हल करने पर:

स्थिति 1: λ + 3 = 12 ⇒ λ = 12 - 3 = 9

स्थिति 2: λ + 3 = -12 ⇒ λ = -12 - 3 = -15

निष्कर्ष:

λ के संभावित मान 9 और -15 हैं।

हालाँकि, दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर है:

∴ λ = 9

गणना:

दिया गया है: L₁ : $\frac{x-6}{1}=\frac{y-4}{0}=\frac{z-8}{3}$

L₂ : $\frac{x-5}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-5}{6}$

माना रेखा L, A(7, -2, 11) से गुजरती है और L₂ के समानांतर है।

⇒ L : $\frac{x-7}{2}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-11}{6}$

B रेखा L पर स्थित है।

$\mathrm{B}=(2\lambda +7,-3\lambda -2,6\lambda +11)$

बिंदु B, $\frac{x-6}{1}=\frac{y-4}{0}=\frac{z-8}{3}$ पर स्थित है।

⇒ $\frac{2\lambda +7-6}{1}=\frac{-3\lambda -2-4}{0}=\frac{6\lambda +11-8}{3}$

⇒ -3λ - 6 = 0

⇒ λ = -2

B ⇒ (3, 4, -1)

$\mathrm{AB}=\sqrt{(7-3{)}^2+(4+2{)}^2+(11+1{)}^2}$

$\Rightarrow \sqrt{16+36+144}$

$\Rightarrow \sqrt{196}=14$

अतः विकल्प 2 सही है।

संकल्पना:

समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी:

• रेखा y = mx + c₁ और y = mx + c₂  के बीच की दूरी $\frac{\left|{\mathrm{c}}_1-{\mathrm{c}}_2\right|}{\sqrt{1+{\mathrm{m}}^2}}$ है। 
• रेखा ax + by + c₁ = 0 और ax + by + c₂ = 0 के बीच की दूरी $\frac{\left|{\mathrm{c}}_1-{\mathrm{c}}_2\right|}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}$है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं 6x + 8y + 15 = 0 और 3x + 4y + 9 = 0 है। 

⇒ 6x + 8y + 15 = 0

उपरोक्त समीकरण से 2 उभयनिष्ठ लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 3x + 4y + 15/2 = 0       ---(1)

और 3x + 4y + 9 = 0       ---(2)

समीकरण 1 और 2 एक-दूसरे के समानांतर हैं। 

∴ रेखाओं के बीच की दूरी = $\frac{\left|\frac{15}{2}-9\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)}{5}=\frac{3}{10}$

Additional Information 

समानांतर रेखाओं में एक ही ढलान होता है और वे कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करेंगे।

दो रेखाएं y = m1x + c1

और y = m2x + c2

समानांतर कहा जाता है यदि:

m1 = m2

उदाहरण: 

रेखा 1: 3x + 4y = 1

रेखा 2: 3x + 4y = 5

अनुप्रयोग:

हमारे पास है,

रेखा 1: 6x + 8y + 15 = 0

और, रेखा 2: 3x + 4y + 9 = 0

रेखा 2 निम्न रूप में भी लिखा जा सकता है,

6x + 8y + 18 = 0

चूँकि, दोनों रेखाएँ समानांतर हैं, इसलिए इसका ग्राफ निम्न समान होगा

हमारे पास है,

c2 - c1 = 18 - 15 = 3

a² + b² = 62 + 82 = 100

सीधी रेखाओं के बीच दूरी के सूत्र का उपयोग करना,

D = $\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3|}{\sqrt{100}}=\frac{3}{10}$ इकाई

संकल्पना:

माना कि A (x₁, y₁) और B (x2, y2) रेखा AB के अंतिम बिंदु है। C रेखा AB की मध्य बिंदु है। 

C का निर्देशांक = $({\displaystyle \frac{{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2}{2}},{\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2}{2}})$

दूरी सूत्र AB से = $\sqrt{({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1{)}^2+({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1{)}^2}$

गणना:

दिया गया है, बिंदु A(10, 5), B(8, 4) और C(6, 6) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं,

माना कि D रेखा BC पर मध्य बिंदु है। 

इसके निर्देशांक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

D = $({\displaystyle \frac{8+6}{2}},{\displaystyle \frac{4+6}{2}})$

D = $(7,5)$

यहाँ, A से माध्यक की लम्बाई = AD = $\sqrt{(10-7{)}^2+(5-5{)}^2}$

⇒AD = $\sqrt{9+0}$

⇒AD = 3

बिंदु A(10, 5), B(8, 4) और C(6, 6) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो A से माध्यक की लम्बाई 3 है।

संकल्पना:

दो लंबवत रेखाओं का अदिश गुणनफल शून्य होता है।

दो बिंदुओं (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है, $\sqrt{({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1{)}^2+({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1{)}^2+({\mathrm{z}}_2-{\mathrm{z}}_1{)}^2}$

गणना:

मान लीजिए M बिंदु P(2, 3, 4) से खींचे गए लंब का पाद है।

माना, ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}-0}{1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{y}-0}{0}}={\displaystyle \frac{\mathrm{z}-0}{0}}=\mathrm{k}$

x = k, y  = 0, z = 0

इसलिए M = (k, 0, 0)

अब PM के दिक् अनुपात = (2 - k, 3 - 0, 4 - 0) = (2- k, 3, 4) और दी गई रेखा के दिक् अनुपात 1, 0, 0 हैं। 

PM दी गई रेखा के लंबवत है इसलिए,

(2 - k) (1) + 3(0) + 4 (0) = 0

∴ k = 2

M = (2, 0, 0)

लंबवत दूरी PM =

 $$\begin{gathered} \sqrt{(2-2{)}^2+(0-3{)}^2+(0-4{)}^2} \\ =\sqrt{9+16} \\ =5 \end{gathered}$$

अत: विकल्प (2) सही है।

संकल्पना:

रेखा ax + by + c = 0 से बिंदु (x₁, y₁) की दूरी

D = $\left|\frac{\mathrm{a}{\mathrm{x}}_1+\mathrm{b}{\mathrm{y}}_1+\mathrm{c}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}\right|$

गणना:

दी गयी रेखा 3y = 4x + 5 है। 

⇒ 4x - 3y + 5 = 0

(x1, y1) = (2, 1)

∴ D = $\left|\frac{\mathrm{a}{\mathrm{x}}_1+\mathrm{b}{\mathrm{y}}_1+\mathrm{c}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}\right|$

⇒ D = $\left|\frac{4\times 2+(-3)\times 1+5}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}\right|$

⇒ D = $\left|\frac{10}{5}\right|$ = 2

दिया गया है:

दिए गए निर्देशांक हैं (-1, 1) और (3, -2)

अवधारणा:

सूत्र, जब दो बिंदु समदूरस्थ होते हैं-

$\sqrt{(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2}=\sqrt{(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2}$

गणना:

माना कि बिन्दुपथ बिंदु (x, y) है,

दो बिंदुओं (-1, 1) और (3, -2) से समदूरस्थ बिंदुओं के बिन्दुपथ के रूप में, इसलिए समीकरण होगा-

 $\Rightarrow \sqrt{(x+1{)}^2+(y-1{)}^2}=\sqrt{(x-3{)}^2+(y+2{)}^2}$

⇒ (x + 1)2 + (y - 1)2 = (x - 3)2 + (y + 2)2

∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 & 

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 

⇒ x2 + 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = x2 - 6x + 9 + y2 + 4y + 4

⇒ 2x - 2y + 2 = - 6x + 4y + 13

⇒ 8x - 6y - 11 = 0

अत:, समीकरण 8x - 6y - 11 = 0 है

संकल्पना:

माना कि A (x₁, y₁) और B (x₂, y₂), XY - तल में दो बिंदु हैं, तो A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

 $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

गणना:

दिया गया है: बिंदु (3, 4) और (a, 2) के बीच की दूरी 8 इकाई है। 

यहाँ, हमें a का मान ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, दो बिंदु A (x1, y1) और B (x2, y2) के बीच की दूरी को$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$ द्वारा ज्ञात किया गया है।

⇒ $\sqrt{{\left(a-3\right)}^2+{\left(2-4\right)}^2}=8$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (a - 3)² + 4 = 64

⇒ a² + 9 - 6a - 60 = 0

⇒ a² - 6a - 51 = 0

⇒ $a=\frac{6\pm \sqrt{240}}{2}=3\pm 2\sqrt{15}$

अतः विकल्प A सही उत्तर है। 

संकल्पना:

माना कि A (x₁, y₁) और B (x₂, y₂), XY - तल में कोई दो बिंदु हैं, तो A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

गणना:

दिया  गया है: बिंदु (5, - 2) और (1, a) के बीच की दूरी 5 है। 

माना कि A = (5, - 2) और B = (1, a) है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

यहाँ, x₁ = 5, y₁ = - 2, x₂ = 1 और y₂ = a

संकल्पना:

यदि दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत होती हैं, तो उनके ढलान का गुणनफल -1 होता है। 

अलग-अलग बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली एक रेखा का ढलान $\frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1}$ है। 

गणना:

बिंदु (0, k) और (3, 1) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान 

 $$\begin{gathered} =\frac{1-\mathrm{k}}{3-0} \\ =\frac{1-\mathrm{k}}{3} \end{gathered}$$

3x - 4y - 5 = 0 

⇒4y = 3x - 5

⇒ y = $\frac{3}{4}\mathrm{x}-\frac{5}{4}$ 

इसलिए, रेखा 3x - 4y - 5 = 0 का ढलान 3/4 है। 

अब चूँकि रेखा OP और 3x - 4y - 5 = 0 एक-दूसरे के लंबवत हैं। 

$$\begin{gathered} \frac{1-\mathrm{k}}{3}\times \frac{3}{4}=-1.....(\text{Product of slopes of perpendicular lines}) \\ \Rightarrow 1-\mathrm{k}=-4 \\ \Rightarrow \mathrm{k}=5 \end{gathered}$$

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

समानांतर रेखा ax + by + c₁ और ax + by + c₂ के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

D = $\left|\frac{{\mathrm{c}}_1-{\mathrm{c}}_2}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}\right|$

गणना:

दी गयी 2 रेखाएं निम्न हैं:

3y + 4x - 12 = 0

3y + 4x - 7 = 0

a = 4, b = 3, c₁ = -12 और c₂ = -7

∴ रेखाओं के बीच की दूरी

D = $\left|\frac{{\mathrm{c}}_1-{\mathrm{c}}_2}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}\right|$

⇒ D = $\left|\frac{-12-(-7)}{\sqrt{4^2+3^2}}\right|$

⇒ D = $\left|\frac{-5}{5}\right|$ = 1

संकल्पना:

माना कि A(x1, y1) और B(x2, y2), X-Y तल पर कोई दो बिंदु है। मान लीजिए बिंदु C रेखाखंड AB का मध्यबिंदु है, तो बिंदु C का निर्देशांक निम्न है:

 $\left(\frac{{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2}{2},\frac{{\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2}{2}\right)$.

गणना:

(10, -6) और (k, 4) का मध्य-बिंदु:

$\left(\mathrm{a},2\mathrm{b}\right)=\left(\frac{10+\mathrm{k}}{2},\frac{-6+4}{2}\right)=\left(5+\frac{\mathrm{k}}{2},-1\right)$

अतः

$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{k}}{2}+5$

2b = - 1

दिया हुआ, a – 2b = 7

$\left(\frac{\mathrm{k}}{2}+5\right)+1=7$

$\frac{\mathrm{k}}{2}+6=7$

$\frac{\mathrm{k}}{2}=1$

k = 2