Modulus of Complex Number MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Modulus of Complex Number - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

$\frac{1}{2}+\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\frac{{\mathrm{Z}}_1}{{\mathrm{Z}}_2}\right)=\frac{1}{2}+\mathrm{R}\mathrm{e}(\frac{\omega }{{\omega }^2})$

= $\frac{1}{2}Re(\omega {)}^2$

= $\frac{1}{2}+Re[-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

= $\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})=0$

इसलिए, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

${\mathrm{Z}}_1^2+{\mathrm{Z}}_2^2+{\mathrm{Z}}_1{\mathrm{Z}}_2=0$

⇒ Z ₁ = ω और Z ₂ = ω ²

अब

⇒ $|\frac{Z_1}{Z_2}|=|\frac{\omega }{(\omega {)}^2}|=|\frac{1}{\omega }|=1$

विकल्प (a) सही है।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है,

$\mathrm{z}=\frac{1}{3}\left|\begin{array}{ccc}i& 2i& 1\\ 2i& 3i& 2\\ 3& 1& 3\end{array}\right|$

$Z=\frac{1}{3}[[(i9–2)–2i(6i–6)1(2i–9i)]$

$Z=\frac{1}{3}[3+3i]=1+i$

|Z| = $\surd 1^2+1^2=$ √2

∴ विकल्प (b) सही है।

संकल्पना:

यदि z = a + ib, |z| = $\sqrt{a^2+b^2}$

यदि z = a + ib, $\frac{1}{z}$ = $\frac{a-ib}{a^2+b^2}$ 

|z₁z₂| = |z₁| × |z₂|

गणना:

दिया गया है: z1 = 1 - 2i , z2 = 1 + i और z3 = 3 + 4i

∴ $\frac{1}{z_1}$ = $\frac{1+2i}{1^2+2^2}$ = $\frac{1+2i}{5}$

इसी प्रकार,  $\frac{2}{z_2}$ = 2 ×  $\frac{1}{z_2}$  = 2 × $\frac{1-i}{1^2+1^2}$ = 2 ×  $\frac{1-i}{2}$ = (1 - i)

$\frac{2}{z_2}$ = (1 - i)

⇒ $\frac{1}{z_2}$ = $\frac{1-i}{2}$

$\frac{z_3}{z_2}$ = z₃ × $\frac{1}{z_2}$  = (3 + 4i) × $\frac{1-i}{2}$

⇒ $\frac{z_3}{z_2}$ =  $\frac{7+i}{2}$

हमें $\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right)\frac{z_3}{z_2}\right|$ ज्ञात करना है। 

$\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right)\frac{z_3}{z_2}\right|$ = $\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right)\right|$× $\left|\frac{z_3}{z_2}\right|$

=  $\left|\left(\frac{1+2i}{5}+(1-i)\right)\right|$ × $|\frac{7+i}{2}|$

= $|\frac{1+2i+5-5i}{5}|$ × $|\frac{7+i}{2}|$

= $|\frac{6-3i}{5}|$ × $|\frac{7+i}{2}|$

= $\frac{\sqrt{6^2+(-3{)}^2}}{5}\times \frac{\sqrt{7^2+1^2}}{2}$

= $\frac{\sqrt{36+9}}{5}\times \frac{\sqrt{49+1}}{2}$

= $\frac{\sqrt{45}}{5}\times \frac{\sqrt{50}}{2}=\frac{\sqrt{45}}{5}\times \frac{5\sqrt{2}}{2}$

=  $\frac{\sqrt{45}\times \sqrt{2}}{2}$

= $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{2}}$ 

= $\sqrt{\frac{45}{2}}$

मान ज्ञात करने पर, हमें $\sqrt{\frac{45}{2}}$ प्राप्त होता है।

संकल्पना

सम्मिश्र संख्या का सामान्य रुप z = x + iy है। z का ध्रुवीय निरुपण z = r(cos θ + i sin θ) है।

यहाँ r, z का मापांक है और θ को आयाम या सम्मिश्र संख्या का स्वतंत्र चर है।

सम्मिश्र संख्या का आयाम ढूँढने के लिए सूत्र निम्न है: 

 ${\displaystyle \theta =ta{n}^{-1}\frac{y}{x}}$ और ∣z∣ = $\sqrt{x^2+y^2}$

गणना

दिया गया है:

|z| = 4 और arg z = ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

माना कि z = |z| (cos θ + i sin θ) जहाँ θ = arg(z)

⇒ z = ${\displaystyle 4(cos\frac{5\pi }{6}+isin\frac{5\pi }{6})}$

⇒ z = ${\displaystyle 4(\frac{-\surd 3}{2}+i\frac{1}{2})}$

⇒ z = - 2√3 + 2i

∴ z = - 2√3 + 2i

संकल्पना:

z का मापांक = |z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{\mathrm{R}\mathrm{e}(\mathrm{z}{)}^2+\mathrm{I}\mathrm{m}(\mathrm{z}{)}^2}$

गणना:

माना कि $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{i}\mathrm{y}={\displaystyle \frac{4+2\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}}$

$={\displaystyle \frac{4+2\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}}\times {\displaystyle \frac{1+2\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}}$

$={\displaystyle \frac{4+10\mathrm{i}+4{\mathrm{i}}^2}{1-4{\mathrm{i}}^2}}$   

चूँकि हम जानते हैं i2 = -1

$={\displaystyle \frac{4+10\mathrm{i}-4}{1+4}}$

$\mathrm{x}+\mathrm{i}\mathrm{y}={\displaystyle \frac{10\mathrm{i}}{5}}=0+2\mathrm{i}$

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को |z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$ द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = $\sqrt{0^2+2^2}=2$

अवधारणा;

एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy का मापांक इसके द्वारा दिया गया है:

|z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$

(a + b)(a - b) = a2 - b2

गणना:

यदि z = $\frac{{\mathrm{z}}_1}{{\mathrm{z}}_2}$ तो |z| का मापांक | = $\frac{|{\mathrm{z}}_1|}{|{\mathrm{z}}_2|}$

z = $\frac{1+\mathrm{i}}{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}$

|z| = $\frac{\sqrt{(1{)}^2+(1{)}^2}}{\sqrt{(1{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को सम्मिश्र संख्या या Re (z) का वास्तविक भाग कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या या Im (z) का काल्पनिक भाग कहा जाता है। 

z का मापांक​ = |z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{\mathrm{R}\mathrm{e}(\mathrm{z}{)}^2+\mathrm{I}\mathrm{m}(\mathrm{z}{)}^2}$

गणना:

माना कि $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{i}\mathrm{y}=(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}-\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}})$

$$\begin{gathered} =\frac{(1+\mathrm{i}{)}^2-(1-\mathrm{i}{)}^2}{1^2-{\mathrm{i}}^2} \\ =\frac{1+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2-1+2\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2}{1+1} \\ =\frac{4\mathrm{i}}{2}=2\mathrm{i} \end{gathered}$$

z = x + iy = 0 + 2i

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को, |z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$ द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = $\sqrt{0^2+2^2}=2$

अवधारणा:

iota घात:

• i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1
• रूप 2n की संख्या हमेशा सम होती है, n ∈ N
• 2n +1 या 2n-1 के रूप की संख्या हमेशा विषम होती है, n ∈ N
• (-a)^{2n -1} = -(a)^{2n -1}

गणना​:

माना,

Z = i2n + 1(-i)2n - 1

⇒ Z = i2n+1 × (i)2n-1 × (-1)2n-1

⇒ Z =  i2n +1+2n-1 ×(-1)2n-1

⇒ Z = i4n × (-1)          [∵ (-1)2n-1 = -1]

⇒ Z = (-1)4n ×

⇒ Z = i4n × (-1)

⇒ Z = -(i)4n × (-1)

⇒  Z = 1 × (-1)         [∵ i4n = 1] 

⇒ Z = -1

⇒ |Z| = |-1| = 1

अत: सम्मिश्र संख्या i2n + 1(-i)2n - 1 का मापांक 1 है

अवधारणा;

एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy का मापांक इसके द्वारा दिया गया है:

|z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$

(a + b)(a - b) = a2 - b2

गणना:

दिया गया: z = $\frac{5-5\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}}$

(3 + 4i) द्वारा हर में और अंश में गुणा करें।

z = $(\frac{5-5\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}})\times (\frac{3+4\mathrm{i}}{3+4\mathrm{i}})$ = $5[\frac{(1-\mathrm{i})(3+4\mathrm{i})}{(3{)}^2-(4\mathrm{i}{)}^2}]$ = $5(\frac{3+4\mathrm{i}-3\mathrm{i}-4{\mathrm{i}}^2}{25})$                   (∵ i² = -1)

z = $\frac{7+\mathrm{i}}{5}$

|z| = $\frac{\sqrt{(7{)}^2+(1{)}^2}}{5}=\frac{\sqrt{49+1}}{5}=\frac{\surd 50}{5}=\frac{5\surd 2}{5}$

|z| = √2

यदि z = $\frac{{\mathrm{z}}_1}{{\mathrm{z}}_2}$ तो |z| का मापांक | = $\frac{|{\mathrm{z}}_1|}{|{\mathrm{z}}_2|}$

z = $\frac{5-5\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}}$

|z| = $\frac{\sqrt{(5{)}^2+(5{)}^2}}{\sqrt{(3{)}^2+(4{)}^2}}=\frac{\surd 50}{\surd 25}=\frac{5\surd 2}{5}$

|z| = √2

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग या Re (z)  कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग या Im (z) कहा जाता है। 

z का मापांक = |z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{\mathrm{R}\mathrm{e}(\mathrm{z}{)}^2+\mathrm{I}\mathrm{m}(\mathrm{z}{)}^2}$
 

गणना:

माना कि z = x + iy = (1 + i)² = 1² + 2i + i² है।      (∵ (a + b)² = a² + b² + 2ab)

z = 1 + 2i - 1                                (∵ i² = -1)

∴ z = x + iy = 2i

इसलिए, x = 0  और y = 2

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि z = x + iy कोई सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है, |z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$

∴ |z| = $\sqrt{(0{)}^2+2^2}=\sqrt{4}=2$ 

अवधारणा :

• i2 = - 1
• यदि z = x + iy तब $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$​ 

गणना :

दिया गया: z = (1 - i)4

पहले अभिव्यक्ति (1 - i)4 को सरल करें

⇒ (1 - i)2 = 1 + i2 - 2i

जैसा कि हम जानते हैं कि, i2 = - 1

⇒ (1 + i)2 = -2i

Since (1 - i)4 = (1 - i)2 × (1 - i)2 we get:

⇒ (1 + i)4 = (-2i)2 = - 4

⇒ z = - 4 + 0i

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि z = x + iy तो $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

यहाँ, x = - 4 और y = 0

⇒ $|z|=\sqrt{(-4{)}^2+0^2}=\pm 4$

जैसा कि हम जानते हैं कि |z| आरगां समतल में मूल और z के बीच की दूरी को दर्शाता है। तो, |z| ऋणात्मक नहीं हो सकता

⇒ |z| = 4

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

अवधारणा:

एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy का मापांक निम्न है

|z| = $\sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2}$

$\bar{\mathrm{z}}$  का संयुग्म = x - iy

गणना:

z = 1+ 2i

$\bar{\mathrm{z}}$= 1 - 2i

S = $\left|\frac{\mathrm{z}+\bar{\mathrm{z}}+1}{\mathrm{z}+\bar{\mathrm{z}}-1}\right|$

S = $\left|\frac{1+2\mathrm{i}+1-2\mathrm{i}+1}{1+2\mathrm{i}+1-2\mathrm{i}-1}\right|$

S = $\left|\frac{3}{1}\right|$ 

S = 3

Concept:

If z = a + ib, then |z| = $\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$

Solution:

The given equation can be solved as:

iz3 + z2 - z + i = 0

⇒ iz3 + i2z + z2 + i = 0

⇒ iz(z2 + i) + (z2 + i) = 0

⇒ (z2 + i)(zi + 1) = 0

⇒ z2 + i = 0 OR zi + 1 = 0

⇒ z2 = -i OR z = i

|z| = 1 in both the cases.

संकल्पना: 

सम्मिश्र संख्या का मापांक  z =  a + ib इसके |z| = $\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$  द्वारा दिया जाता  है।

सम्मिश्र संख्या का गुणधर्म:

$\left|\frac{{\mathrm{z}}_1}{{\mathrm{z}}_2}\right|=\frac{|{\mathrm{z}}_1|}{|{\mathrm{z}}_2|}$

गणना:

माना कि z = $\frac{\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta }{\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta }$

दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,हमें मिलता है

⇒ |z| = $\left|\frac{\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta }{\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta }\right|$

= $\frac{|\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta |}{|\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta |}$

= $\frac{\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }}{\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }}$

= 1