2 चर में रेखीय समीकरण MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Linear Equation in 2 Variable - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

समीकरणों की प्रणाली

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

अनंत हल के लिए

\(\frac {a_1}{a_2}= \frac {b_1}{b_2}= \frac {c_1}{c_2}\)

गणना:

हमारे पास है

ax + by + c = 0       ----(1)

lx + my + n = 0       ----(2)

अनंत हल के लिए,

\(\frac{a}{l} = \frac{b}{m} = \frac{c}{n}\)

Important Points 

अद्वितीय हल के लिए

\(\frac {a_1}{a_2}≠ \frac {b_1}{b_2}\)

असंगत हल के लिए

\(\frac {a_1}{a_2}=\frac {b_1}{b_2}≠ \frac {c_1}{c_2}\)

गणना:

मान लीजिए कि 2 अंक क्रमशः x, y हैं।

2 अंकों की संख्या =10x + y

अंक का उपयोग करके प्राप्त होने वाली 2 अंकों की संख्या =10y + x

∴10x + y + 10y + x = 99

⇒ 11x + 11y = 99

⇒ x + y = 9

⇒ x − y = 3

जोड़ने पर :

⇒ 2x = 12

⇒ x = 6

x को ⟶(i) में रखने पर

⇒ 6 + y=9

⇒ y = 3

∴ संख्या =10x + y = 63, 10y + x = 36

∴ सही उत्तर 36 या 63 होगा।

माना मूल संख्या को XY के रूप में निरूपित किया जाता है, जहाँ X दहाई का अंक है और Y इकाई का अंक है।

प्रश्न से हमें दो बातें पता चलती हैं:

1) संख्या अपने अंकों के योग की 7 गुनी है। इसका अर्थ है 10X + Y = 7(X + Y) या 3X = 6Y या X = 2Y

2) अंकों को उलटने से प्राप्त संख्या मूल संख्या से 18 कम है। इसका अर्थ है 10X + Y - 18 = 10Y + X या 9X - 9Y = 18 या X - Y = 2

इन दो समीकरणों को हल करने पर,

X = 2Y
⇒ X - Y = 2

हम X को पहले समीकरण से दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है:

⇒ 2Y - Y = 2

⇒ Y = 2

Y = 2 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

X = 2 × 2 = 4

∴ मूल संख्या 42 है।

दिया गया है:

एक 3-अंकीय संख्या इस प्रकार है:

इकाई अंक दहाई अंक से 2 अधिक है

यदि संख्या में से 311 घटाया जाता है, तो परिणाम 13 है

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए कि संख्या को इस प्रकार दर्शाया गया है:
संख्या = 100a + 10b + c

जहाँ:

a = सैकड़े का अंक

b = दहाई का अंक

c = इकाई का अंक

इसके अलावा, c = b + 2

गणना:

(100a + 10b + c) − 311 = 13

⇒ 100a + 10b + c = 324

⇒ 100a + 10b + (b + 2) = 324

⇒ 100a + 11b + 2 = 324

⇒ 100a + 11b = 322

a के मानों का प्रयास करें:

मान लीजिए a = 3

⇒ 100 × 3 + 11b = 322

⇒ 300 + 11b = 322

⇒ 11b = 22

⇒ b = 2

⇒ c = b + 2 = 4

इसलिए, संख्या = 100a + 10b + c = 100 × 3 + 10 × 2 + 4 = 324

जाँच करें: 324 − 311 = 13

अंकों का योग = 3 + 2 + 4 = 9

∴ सही उत्तर 9 है।

दिया गया है:

7x + 3y = 4 और 2x + y = 2

गणना:

7x + 3y = 4      ----(1)

2x + y = 2     ----(2)

हल करने पर,

समीकरण (1) - 3 × समीकरण (2)

⇒ 7x + 3y - 3(2x + y) = 4 - (3 × 2)

⇒ x = -2

x का मान समीकरण (1) में रखने पर,

7x + 3y = 4

⇒ 7 × (-2) + 3y = 4

⇒ y = 6

∴ x और y के मान क्रमशः -2 और 6 है।

दिया गया है:

8k6 + 15k3 – 2 = 0

गणना:

माना, k3 = x

इसलिए, 8x² + 15x - 2 = 0

⇒ 8x2 + 16x - x - 2 = 0

⇒ 8x (x + 2) - 1 (x + 2) = 0

⇒ (8x - 1) (x + 2) = 0

⇒ 8x - 1 = 0 ⇒ x = 1/8

⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 [मान ऋणात्मक होने के कारण संभव नहीं है]

अब, k3 = 1/8

⇒ k = 1/2 ⇒ 1/k = 2

तो, (k + 1/k) = (1/2 + 2) = 5/2 = \(2\frac{1}{2}\)

∴ (k + 1/k) का मान \(2\frac{1}{2}\) है। 

गणना

माना A के पास टॉफी की संख्या x और B के पास टॉफी की संख्या y है।

यदि A, B को एक टॉफी देता है, तो:

⇒ x - 1 = y + 1

⇒ x = y + 2 .........(1)

अब जब B, A को एक टॉफी देता है, तो  A के पास B से दोगुनी टॉफियाँ हो जाती हैं:

⇒ x + 1 = 2 (y - 1) ......(2)

समीकरण (1) का मान समीकरण (2) में रखने पर

⇒ y + 3 = 2y - 2

⇒ y = 5

यदि y = 5 तब x = 7

⇒ x + y = 12

A और B के पास टॉफियों की कुल संख्या 12 है।

दिया गया है:

दो संख्याओं के बीच का अंतर = 5

यदि छोटी संख्या में से 25 घटाया जाता है और बड़ी संख्या में 20 जोड़ा जाता है, तब अनुपात = 1 : 2

गणना:

माना बड़ी संख्या और छोटी संख्या क्रमशः x और (x - 5) हैं

अब, प्रश्न के अनुसार,

(x – 5 – 25) : (x + 20) = 1 : 2

⇒ (x –  30)/(x + 20) = 1/2

⇒ 2x – 60= x + 20

⇒ x = 80

∴ बड़ी संख्या 80 है। 

गणना-

माना 1 मेज की कीमत 'x' और 1 कुर्सी की कीमत 'y' है

तब दी गई शर्त के अनुसार,

2x + 4y = 16,000 और x = 6y 

अब, 2x + 4y = 16,000

⇒ 2(6y) + 4y = 16,000

⇒ 16y = 16,000

⇒ y = 1,000

∴ 9 कुर्सियों की कीमत 9y = 9,000 होगी। 

दिया गया है:

x + y + 3 = 0

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)

गणना:

x + y + 3 = 0

⇒ x + y = - 3   .....(1)

⇒ (x + y)³ = (- 3)³  [दोनों पक्षों का घन करने पर]

⇒ x3 + y3 + 3xy (x + y) = - 27

⇒ x3 + y3 + 3xy × (- 3) = - 27  [∵ x + y = - 3]

⇒ x3 + y3 - 9xy = - 27

⇒ x3 + y3 - 9xy + 9 = - 27 + 9  [दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर]

⇒ x3 + y3 - 9xy + 9 = - 18

∴ x3 + y3 - 9xy + 9 का मान (- 18) है। 

दिए गए समीकरण हैं x + 2y = 8 व 2x + 4y = 16 या x + 2y = 8,

दिए गए दोनों समीकरण बराबर हैं

माना एक पेंसिल, पेन और रबड़ का मूल्य क्रमशः x, y, और z है।

प्रश्न के अनुसार,

8x + 5y + 3z = 111 रूपये      ----(1)

9x + 6y + 5z = 130 रूपये      ----(2)

16x + 11y + 3z = 221 रूपये      ----(3)

समीकरण (1) को (3) से घटाने पर,

⇒ (16x + 11y + 3z) - (8x + 5y + 3z) = 221 - 111

⇒ 8x + 6y = 110

⇒ 4x + 3y = 55      ----(4)

समीकरण (2) को 3 से गुणा करते हैं और 3 को 5 से गुणा करते हैं और फिर समीकरण 2 को 3 से घटाते हैं

⇒ (16x + 11y + 3z) × 5 - (9x + 6y + 5z) × 3 = 221 × 5 - 130 × 3

⇒ 80x + 55y + 15z - 27x - 18y - 15z = 1105 - 390

⇒ 53x + 37y = 715      ----(5)

समीकरण (4) को 53 से गुणा करते हैं और (5) को 4 से गुणा करते हैं और फिर समीकरण (4) को (5) से घटाते हैं

⇒ 212x + 159y - 212x - 148y = 2915 - 2860

⇒ 11y = 55

⇒ y = 5

y = 5 का मान समीकरण (4) में रखने पर

⇒ 4x + 3 × 5 = 55

⇒ x = 10

समीकरण (1) में y = 5 और x = 10 का मान रखने पर

⇒ 8 × 10 + 5 × 5 + 3z = 111

⇒ 80 + 25 + 3z = 111

⇒ z = 2

∴ 39 पेंसिल, 26 पेन और 13 रबड़ का मूल्य 39x + 26y + 13z =39 × 10 + 26 × 5 + 13 × 2 = 546 रूपये है

Shortcut Trick 

माना की 1 पेंसिल की कीमत = x, 1 पेन की कीमत = y और एक रबड़ की कीमत = z 

फिर, 8x + 5y + 3z = 111 ---- (1)

9x + 6y + 5z = 130 ---- (2)

16x + 11y + 3z = 221 ---- (3)

(1), (2) और (3) को जोड़ने पर, हमें मिलता है

33x + 22y + 11z = 462

⇒ 3x + 2y + z = 42

⇒ 39x + 26y + 13z = 546 (13 के साथ गुणा करने पर )

माना एक पेन का मूल्य P रूपये है, एक नोटबुक का मूल्य N रूपये और एक फ़ाइल का मूल्य F रूपये है

प्रश्न के अनुसार,

⇒ 4P + 6N + 9F = 305    ---- (i)

⇒ 3P + 4N + 2F = 145    ---- (ii)

अब 2 × (i) – (ii)

⇒ (8 – 3)P + (12 – 4)N + (18 – 2)F = 5P + 8N + 16F = 2 × 305 – 145 = 465

दिया गया है:​

एक वस्तु का मूल्य ₹4 कम कर दिया जाए, तो ₹288 में 12 वस्तुएँ और खरीदी जा सकती हैं।

गणना:

माना, प्रत्येक वस्तु का वास्तविक मूल्य = y

बेची गयी वस्तुओं की संख्या = x

कुल मूल्य = xy = 288

⇒ x = 288/y --(i)

प्रत्येक वस्तु का नया मूल्य = y - 4

बेची गई नयी वस्तुओं की संख्या = x + 12

∴ प्रश्नानुसार,

⇒ (x + 12) (y - 4) = xy

xy - 4x + 12y - 48 = xy

4x - 12y = 48

समीकरण (i) से,

⇒ 4(288/y) - 12y = 48

⇒ 1152 - 12y2 - 48y = 0

⇒ 12y2 + 48y - 1152 = 0

y2 + 4y - 96 = 0 ⇒ (y + 12) (y - 8) = 0

y = -12, y = 8

चूँकि मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता इसलिए y = -8 संभव नहीं है।

∴ नयी वस्तु का वास्तविक मूल्य 12 रुपये है।​

Alternate Method गणना:

प्रश्नानुसार:

⇒ 288/(x - 4) - 288/x = 12

⇒ x - x + 4/(x - 4) x = 12/288

⇒ 4/(x - 4) x = 1/24

⇒ x (x - 4) = 96

इसलिए विकल्प से हम x का मान रख सकते हैं।

यदि हम x = 12 रखते हैं,

⇒ 12 × 8 = 96

⇒ 96 = 96 (समीकरण संतुष्ट है)

∴ सही उत्तर 12 रुपये है।

दिया गया है:

समीकरणों के निकाय 17x + my + 102 = 0 और 23x + 299y + 138 = 0 के अनंत हल हैं।

प्रयुक्त अवधारणा:

जब Ax + By = C और Px + Qy = R एक रैखिक समीकरण निकाय बनाते हैं, तो इसके अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं, यदि,

A/P = B/Q = C/R

गणना:

चूँकि दिए गए रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल हैं, इसलिए,

अवधारणा के अनुसार,

17/23 = m/299 = 102/138

अतः,

17/23 = m/299

⇒ m = (17 × 299) ÷ 23

⇒ m = 221

∴ m का मान 221 है।