Language of Mathematics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Language of Mathematics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणित के विभिन्न शैक्षिक मूल्य हैं जो कक्षा से परे इसके महत्व को उजागर करते हैं। इनमें अनुशासनात्मक, सांस्कृतिक, सौंदर्य और उपयोगितावादी मूल्य शामिल हैं।

Key Points 

• जब लोग खरीददारी करते समय छूट की गणना करने या घरेलू बजट का प्रबंधन करने के लिए गणित का उपयोग करते हैं, तो वे व्यावहारिक, वास्तविक जीवन की स्थितियों में गणितीय कौशल को लागू कर रहे होते हैं।
• यह एक प्रत्यक्ष उदाहरण है कि कैसे गणित व्यक्तियों को सूचित वित्तीय निर्णय लेने में मदद करने में एक कार्यात्मक उद्देश्य की पूर्ति करता है।
• इस तरह के उपयोग गणित को उपयोगिता के लिए एक उपकरण के रूप में प्रदर्शित करता है, जो इसके उपयोगितावादी मूल्य के साथ संरेखित होता है।

Hint 

• गणित का सांस्कृतिक मूल्य इस बात से संबंधित है कि गणित विभिन्न सभ्यताओं में कैसे विकसित हुआ है और विरासत में योगदान दिया है।
• सौंदर्य मूल्य गणितीय पैटर्न और संरचनाओं में सुंदरता और लालित्य को संदर्भित करता है।
• अनुशासनात्मक मूल्य गणित की तार्किक और व्यवस्थित प्रकृति को दर्शाता है जो मन को प्रशिक्षित करता है।

इसलिए, सही उत्तर गणित का उपयोगितावादी मूल्य है।

अंकगणित में, संक्रियाओं के गुणों को समझने से छात्रों को समस्याओं को लचीले और कुशलतापूर्वक हल करने में मदद मिलती है। वितरण गुणधर्म गुणन को योग या घटाव पर वितरित करने की अनुमति देता है, जिससे जटिल गणनाएँ अधिक प्रबंधनीय हो जाती हैं।

Key Points 

• छात्र 6 × 35 को 6 × (30 + 5) के रूप में पुनर्लेखित करता है और फिर इसकी गणना (6 × 30) + (6 × 5) के रूप में करता है। यह स्पष्ट रूप से योग पर गुणन के वितरण गुणधर्म को लागू करता है: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
• संख्याओं का पुनर्व्यवस्थापन या कारकों के समूहीकरण नहीं है जो इस प्रक्रिया में क्रमविनिमेय (क्रम बदलना) या साहचर्य (समूहीकरण बदलना) गुणों के उपयोग का सुझाव देते हैं।

Hint 

• क्रमविनिमेय गुणधर्म में संख्याओं के क्रम को बदलना शामिल होगा: 6 × 35 = 35 × 6, जो यहां नहीं किया गया है।
• साहचर्य गुणधर्म में पुनर्समूहीकरण शामिल है: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4), जो भी लागू नहीं किया गया है।

इसलिए, सही उत्तर केवल (a) है।

गणित की भाषा बच्चे की अवधारणाओं की समझ को आकार देने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। प्राथमिक वर्षों में, बच्चों को अपने शब्दों में गणितीय विचारों को स्पष्ट करने की अनुमति देने से सीखने में आराम और स्वामित्व का निर्माण होता है।

Key Points 

• बच्चों को गणितीय विचारों को शुरू में अपनी भाषा में व्यक्त करने के लिए प्रोत्साहित करना वैचारिक विकास और संचार को बढ़ावा देता है। इससे शिक्षकों को समझ का आकलन करने और गलतफहमियों को जल्दी ठीक करने में मदद मिलती है।
• इसी समय, निर्देशित निर्देश के माध्यम से गणितीय भाषा में स्पष्टता सुनिश्चित करने से दोषपूर्ण धारणाओं के विकास को रोका जाता है। यह संतुलित दृष्टिकोण गणित में बच्चे की नींव को मजबूत करता है।
• दोनों कथन बच्चे की भाषा से शुरू करने और फिर औपचारिक स्पष्टता की ओर बढ़ने के महत्व को उजागर करते हैं, जो एक विकासात्मक रूप से उपयुक्त और प्रभावी शिक्षाशास्त्र दिखाते हैं।

Hint 

• बच्चे की प्राकृतिक भाषा के लिए जगह दिए बिना शुरू से ही औपचारिक गणितीय भाषा का परिचय चिंता पैदा कर सकता है और समझ में बाधा डाल सकता है।
• बच्चे की आवाज को महत्व दिए बिना केवल शुद्धता या स्पष्टता पर ध्यान केंद्रित करने से बच्चे की संज्ञानात्मक व्यस्तता सीमित हो जाती है।

इसलिए, सही उत्तर I और III है।

गणित शिक्षण में, प्रभावी शिक्षण अक्सर ठोस से अमूर्त तक के अनुक्रम का अनुसरण करता है। यह दृष्टिकोण बच्चों को पहले मूर्त सामग्रियों के साथ बातचीत करके, फिर परिचित भाषा में अपने विचारों को व्यक्त करके, तथा अंततः औपचारिक गणितीय प्रतीकों और शब्दावली में परिवर्तन करके समझ विकसित करने का अवसर देता है। इस तरह की प्रगति वैचारिक स्पष्टता और सार्थक सीखने का समर्थन करती है।

Key Points 

• वह परिदृश्य जहाँ एक शिक्षक पहले समूहों को मिलाने के लिए वास्तविक वस्तुओं का उपयोग करता है, छात्रों को अपने शब्दों का उपयोग करके उन्होंने जो किया उसके बारे में बात करने के लिए प्रोत्साहित करता है, और अंत में '+' चिह्न के साथ "योग" शब्द का परिचय देता है, एक अच्छी तरह से नियोजित निर्देशात्मक रणनीति को दर्शाता है।
• यह प्रक्रिया छात्रों को अपने ठोस अनुभवों और अनौपचारिक भाषा को औपचारिक गणितीय अवधारणाओं और प्रतीकों से जोड़ने में मदद करने के महत्व पर प्रकाश डालती है।
• यह सम्मान करता है कि बच्चे कैसे स्वाभाविक रूप से सीखते हैं, जो वे जानते हैं उससे शुरू करके और धीरे-धीरे सार्थक संदर्भों में नए विचारों का परिचय देते हैं।

Hint 

• संदर्भ के बिना सीधे औपचारिक शब्दावली का परिचय देने से गहन समझ के बजाय रटने की शिक्षा हो सकती है।
• गणित में रोज़मर्रा की भाषा से बचना शिक्षार्थियों को नई अवधारणाओं को समझने के लिए आवश्यक सेतु से वंचित करता है।
• केवल प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व पर ध्यान केंद्रित करने से पहले ठोस और मौखिक अनुभवों में समझ को मजबूत करने की विकासात्मक आवश्यकता को नजरअंदाज कर दिया जाता है।

इसलिए, सही उत्तर ठोस अनुभवों को अमूर्त गणितीय भाषा से जोड़ना है।

बच्चों की गणितीय सोच धीरे-धीरे विकसित होती है और वास्तविक दुनिया के संदर्भों, सामग्रियों और पूर्व ज्ञान के साथ उनकी बातचीत से आकार लेती है। प्रक्रियाओं को केवल अवशोषित करने के बजाय, वे समस्याओं को हल करने के लिए अपनी अनौपचारिक रणनीतियाँ बनाते हैं। यह समझना कि बच्चे कैसे सोचते हैं— जिसमें उनकी त्रुटियों की प्रकृति और व्यावहारिक अनुभवों का महत्व शामिल है, प्रभावी गणित शिक्षण की कुंजी है।

Key Points 

• बच्चे अक्सर मानक एल्गोरिदम सिखाए जाने से पहले अपनी समस्या-समाधान विधियाँ लेकर आते हैं। उदाहरण के लिए, एक बच्चा गुणा की समस्या को हल करने के लिए बार-बार संख्याएँ जोड़ सकता है, सहज तर्क दिखाता है। यह दर्शाता है कि बच्चे निष्क्रिय शिक्षार्थी नहीं बल्कि ज्ञान के सक्रिय निर्माता हैं।
• इसके अलावा, जब बच्चे ठोस सामग्री का उपयोग करते हैं जैसे ब्लॉक, काउंटर या आकार, वे गणितीय विचारों की कल्पना और हेरफेर कर सकते हैं, जो गहरी वैचारिक समझ का समर्थन करता है।
• ये अभ्यास गणित में सार्थक शिक्षा की नींव बनाते हैं। इसलिए, पहला और तीसरा दोनों कथन बच्चों के गणितीय विकास पर अनुसंधान-आधारित विचारों को सटीक रूप से दर्शाते हैं।

Hint 

• दूसरा कथन गलत है, क्योंकि बच्चों की त्रुटियाँ हमेशा प्रयास की कमी के कारण नहीं होती हैं; वे अक्सर गलत धारणाओं, अति सामान्यीकरण या समझ के विकासात्मक चरणों से उत्पन्न होती हैं। त्रुटियों को केवल लापरवाही के रूप में मानने से उनके सीखने के अवसरों के रूप में उनकी क्षमता को नजरअंदाज किया जाता है।

इसलिए, सही उत्तर I और III है।

गणित केवल संख्याओं और सांख्यिकीय आंकड़ों का अध्ययन नहीं है बल्कि विभिन्न प्रकार के आकार, आकृतियों और प्रतिरूपों का भी अध्ययन करता है।

• प्रारंभिक विद्यालयी शिक्षा में, शिक्षार्थियों ने आकृतियों के बारे में सीखना शुरू किया और विभिन्न आकृतियों को एक दूसरे से अलग करने का प्रयास किया।
• वैन हीले का स्तर 1957 में नीदरलैंड के यूट्रेक्ट विश्वविद्यालय से पियरे वैन हीले और उनकी पत्नी द्वारा दिया गया था।
• इसने विश्व में पाठ्यक्रम को आकार देने में मदद की जिसने विशेष रूप से बड़े स्तर पर ज्यामिति अधिगम को प्रभावित किया।
• यह शिक्षक को इस बारे में एक अंतर्दृष्टि प्रदान करता है कि छात्र विभिन्न स्तरों पर ज्यामिति कैसे सीखते हैं। यह वर्णन करता है कि छात्र प्रत्येक स्तर पर कैसे सीखते हैं और दूसरे स्तर पर कैसे जाते हैं।

Key Points

वैन हीले के स्तर नीचे वर्णित हैं:

इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि रोहित वैन हील के मानस चिंतन के स्तर 2 (संबंध) चरण पर है।

विवेचनात्मक चिंतन: तर्क या तर्क को नई या अपरिचित स्थितियों, विचारों और अभिप्राय पर लागू करने की क्षमता। यह तथ्यों, घटनाओं आदि का आकलन करने या उनका विश्लेषण करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है। इसके लिए उचित विश्लेषण, मूल्यांकन, निष्कर्ष और स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है।

विवेचनात्मक चिंतन में चीजों को गृहणशीलता से देखना और अवलोकन करना और एक विचार या अवधारणा को यथासंभव कई कोणों के रूप में जांचना शामिल है।
तर्क कार्य गणित में विवेचनात्मक और रचनात्मक चिंतन को बढ़ावा देते हैं।
ओपन-एंडेड प्रश्न: ओपन-एंडेड प्रश्न वे प्रश्न होते हैं जिनका उत्तर हां या नहीं में नहीं दिया जा सकता है, बल्कि उचित स्पष्टीकरण के साथ विस्तृत उत्तर की आवश्यकता होती है। नए विचारों की खोज करने और विवेचनात्मक चिंतन विकसित करके छात्रों की मदद करने के लिए प्राथमिक शिक्षकों के लिए ये एक उपयोगी उपकरण हैं।

उदाहरण के लिए: - निम्नलिखित प्रश्न ओपन-एंडेड हैं: -

• 72 × 73 को विभिन्न तरीकों से हल करके उनके परिणामों की तुलना कीजिये
• समीकरण 7x + 3 = 24 को निरूपित करने वाली कोई दो स्थितियों को सूत्रबद्ध कीजिये
• एक विद्यार्थी ने जब लंब वृत्तीय बेलन जिसकी त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊंचाई 10 सेमी है का आयतन 38.5 सेमी3 परिकलित किया। उसने कहाँ गलती की?

क्लोज एंडेड प्रश्न: ये एक शिक्षार्थी को संभावित उत्तरों की एक सीमित सूची में से एक उत्तर चुनने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए: - एक लंब वृत्तीय बेलन का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊंचाई 10 सेमी है। 

यहां एक लंब वृत्तीय बेलन के आयतन की गणना करने से छात्रों के बीच विवेचनात्मक विचार विकसित नहीं होगा, क्योंकि  यह सिर्फ पहले से ही निगमन सूत्र में मूल्यों को रखने से संबंधित है।

एक बच्चे में विवेचनात्मक विचार विकसित करने के तरीके:

• एक प्रश्न के साथ शुरू करें
• एक नींव बनाएँ
• क्लासिक्स से सलाह लें
• सूचना प्रवाह का उपयोग करें
• सहकर्मी समूहों का उपयोग करें
• एक समय में एक वाक्य का प्रयत्न करें
• समस्या-समाधान
• रोल-प्लेइंग में पुनरागमन

इसलिए, यह स्पष्ट हो जाता है कि सही लंब वत्तीय बेलन के आयतन की गणना करने जैसे कार्यों से छात्रों में विवेचनात्मक विचार विकसित नहीं होगा।

गणित में शब्द समस्या वे प्रश्न हैं जो कथनों के रूप में दिए जाते हैं, जिन्हें समझने के बाद गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके हल किया जाता है। शब्द समस्याएं वास्तविक जीवन की समस्याओं को गणितीय समस्याओं में बदलने और समाधान खोजने की क्षमता विकसित करने में मदद करती हैं।

Key Points

• यह ध्यान दिया जाता है कि जब बच्चे को शब्द समस्या को हल करने में समस्या का सामना करना पड़ता है, तो बच्चे को संख्या संचालन को समझने में समस्या होती है।
• उसे जोड़, घटाव, गुणा या भाग जैसी संख्याओं की अवधारणा को समझने में कठिनाई हो रही है।
• इसलिए यदि बच्चा समस्या कथन शब्द को नहीं समझ सकता है तो उसके पास संख्या संचालन से संबंधित वैचारिक समझ का अभाव है जो उसे स्पष्ट नहीं है।
• उदाहरण के लिए, राजन एक शब्द समस्या को हल करते समय समस्याओं का सामना कर रहा है और पूछता है "क्या मुझे जोड़ना चाहिए या घटाना चाहिए", "क्या मुझे गुणा करनी चाहिए या भाग करना चाहिए?"। यह दिखा रहा है कि वह समस्या की व्याख्या करने में असमर्थ है और अगला चरण में जाने से अनजान है।
• गणित के शिक्षक को उसे जटिल गणितीय शब्द समस्याओं को समझने में मदद करने के लिए विभिन्न विधियों का उपयोग करके पढ़ाना चाहिए।

Hint

•  एक बच्चे को सभी प्रश्नों की भाषा समझने में समस्या का सामना नहीं करना चाहिए और यदि ऐसा है तो इसका मतलब है कि बच्चे को प्रश्न के अन्य पहलुओं में समस्या का सामना करना पड़ रहा है।
• यहाँ, यह दर्शाता है कि राजन को संख्या संक्रियाओं को समझने में समस्या है। यही कारण है कि एक शब्द समस्या से गुजरने के बाद वह आमतौर पर पूछता है "क्या मुझे जोड़ना या घटाना चाहिए", "क्या मुझे गुणा करना चाहिए या विभाजित करना चाहिए?"

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि राजन आमतौर पर "क्या मुझे जोड़ना चाहिए या घटाना चाहिए", "क्या मुझे गुणा करनी चाहिए​ या भाग करना चाहिए?"। इस तरह के प्रश्न से पता चलता है कि राजन में संख्या संचालन की समझ का अभाव है।

ज़ोल्टन पॉल डीन्स गणित शिक्षण और अधिगम दोनों की सन्निहित अवधारणा के शुरुआती प्रतिनिधियों में से एक है। हंगेरियन गणितज्ञ और शिक्षा मनोवैज्ञानिक ज़ोल्टन डीन्स का मानना था कि जोड़-तोड़, खेल और कहानियों के उपयोग के माध्यम से प्राथमिक आयु वर्ग के बच्चों को गणितीय संरचनाओं को प्रभावी ढंग से पढ़ाया जा सकता है।

Key Points ज़ोल्टन के सिद्धांत में चार नियम हैं जो कि गणित अधिगम पर लागू होते हैं।

• गतिशील सिद्धांत - अधिगम एक सक्रिय प्रक्रिया है जिसमें छात्रों को अंत:क्रिया करने के लिए अवसर प्रदान करने की आवश्यकता होती है। उनका कहना है कि एक अवधारणा को समझने में सक्षम होने के लिए, तीन आवश्यक चरण - खेल चरण, संरचना चरण, और अंत में अभ्यास चरण है।
• मुख्य प्रत्यक्षज्ञानात्मक (बोधात्मक)​ सिद्धांत: इसमें कहा गया है कि एक ही अवधारणा या विचार को सिखाने के लिए विभिन्न प्रकार की शिक्षण सामग्री का उपयोग किया जाना चाहिए।
• गणितीय परिवर्तिता सिद्धांत​: यह बताता है कि जब ज्ञान प्रदान किया जाता है, तो अन्य सभी अप्रासंगिक तथ्यों को प्रासंगिक चर को समान रखते हुए व्यवस्थित रूप से भिन्न होना चाहिए। उदाहरण के लिए, त्रिभुज क्या है की परिभाषा सिखाने में, शिक्षक को त्रिभुज का आकार, कोण और अभिविन्यास बदलना चाहिए ताकि छात्र समझ सकें कि त्रिभुज को परिभाषित करने वाली तीन भुजाएँ और तीन कोण हैं।
• रचनात्मक सिद्धांत - छात्रों को विश्लेषणात्मक गतिविधि से पहले अपने ज्ञान का निर्माण करने की आवश्यकता है।

अत:, ज़ोल्टन के सिद्धांत का सही क्रम प्रत्यक्षज्ञानात्मक (बोधात्मक) परिवर्तिता सिद्धांत, गणितीय परिवर्तिता सिद्धांत, रचनात्मक सिद्धांत​ है।

ज्यामिति गणित की एक शाखा है जो माप, आकार, स्थिति कोण और वस्तुओं की विमाओं का अध्ययन करती है। चतुर्भुज, वृत्त और त्रिभुज जैसी समतल आकृतियाँ समतल ज्यामिति का एक भाग होती हैं और इन्हें 2 डी आकृतियाँ कहा जाता है। इन आकृतियों में केवल दो विमीय लम्बाई और चौड़ाई होते हैं। एक समतल ज्यामिति में 2 डी आकार के उदाहरण।

औपचारिक ज्यामिति:

• ज्यामिति का एक उप-क्षेत्र होता है जिसे औपचारिक ज्यामिति कहा जाता है जो बीजगणितीय ज्यामिति से संबंधित होता है और औपचारिक योजनाओं जैसे कि सामयिक बीजगणितीय ज्यामिति में तुलना प्रमेय, ग्रोथेंडिक अस्तित्व प्रमेय के रूप में विषयों के साथ संबंधित होता है। इसे माध्यमिक और वरिष्ठ माध्यमिक कक्षाओं में पढ़ाया जाता है क्योंकि इसमें तार्किक और अमूर्त सोच की आवश्यकता होती है

अनौपचारिक ज्यामिति:

• अनौपचारिक ज्यामिति में ज्यामितीय आकृतियों और आंकड़ों की परिभाषा, माप और निर्माण के विषय में हैं। औपचारिक प्रमाण पर कोई ध्यान नहीं दिया जाता है। उपविषयों में बिंदु, रेखाएँ, कोण, त्रिकोण, चतुर्भुज, वृत्त, क्षेत्र और परिमाप शामिल हैं। इसलिए, यह प्राथमिक कक्षाओं में पढ़ाया जाता है।

समानुपातिक तर्क: इसमें परिमेय मात्राओं (a/b = c/d) के बीच गुणात्मक संबंधों का बोध शामिल है, और यह तर्क का एक रूप है जो गणित और विज्ञान में महत्वपूर्ण संरचनात्मक संबंधों की विशेषता है।

• समानुपातिक तर्क अनुपातों की तुलना करने की क्षमता या अनुपातों के बीच समानता के कथन करने का कौशल है।
• भिन्न को समझने के लिए समानुपातिक युक्ति तर्कसंगत है।
• समानुपातिक तर्क में शामिल है, पता लगाना, व्यक्त करना, विश्लेषण करना, प्रतिपादन करना और समानुपातिक संबंधों के बारे में अभिकथन के समर्थन में साक्ष्य प्रदान करना।
• इसमें संबंधों के बीच संबंधों के बारे में चिंतन शामिल है।

ज़ाँ प्याजे का दृष्टिकोण:

• समानुपातिक तर्क बच्चों की गणितीय चिंतन के विकास में आधारशिला का प्रतिनिधित्व करता है।
• प्याजे अमूर्त संक्रियात्मक चिंतन का प्राथमिक संकेतक होने के लिए अनुपात में तर्क की क्षमता पर विचार करता है, और इस चरण को संज्ञानात्मक विकास के उच्चतम स्तर के रूप में देखा जाता है।
• समानुपातिक तर्क अनुपात और समानुपात से संबंधित अवधारणा को समझने में मदद करता है।
• छात्रों को समझने के लिए अनुपात और समानुपात आलोचनात्मक चिंतन हैं।

अमूर्त संक्रियात्मक चिंतन के लिए पियागेट की अवधारणा:

• यह आनुपातिक रूप से तर्क करने की क्षमता के साथ जुड़ा हुआ है।
• आनुपातिक तर्क की प्राप्ति छात्रों के संज्ञानात्मक विकास में एक मील का पत्थर मानी जाती है।
• प्याजे ने तीन चरणों में आनुपातिक तर्क के विकास का वर्णन किया:

1. छात्र अनुपात निर्भरता के बारे में नहीं जानते हैं और अनुमान लगाकर समाधान चाहते हैं।
2. छात्र वस्तुनिष्ठ निर्भरता से अवगत हैं।
3. सही समाधान प्राप्त करने के लिए आनुपात की खोज और प्रयुक्त करना।

टिप्पणी:

• वन हैले बताते हैं कि लोग ज्यामिति कैसे सीखते हैं। उनके सिद्धांत के अनुसार, ज्यामिति में चिंतन के पाँच स्तर हैं।
• ज़ोल्टन डिएन्स ज़ाँ प्याजे और जेरोम ब्रूनर के साथ एक महान व्यक्ति के रूप में स्थित है, जिनके अधिग के सिद्धांतों ने गणित की शिक्षा के क्षेत्र में एक स्थायी छाप छोड़ी है।
• लिव वायगोत्स्की ने 'सामाजिक-सांस्कृतिक सिद्धान्त' का प्रस्ताव रखा।

इसलिए, यह स्पष्ट हो जाता है कि अनुपात और समानुपात से संबंधित अवधारणा को समझने में आनुपातिक तर्क की भूमिका ज़ाँ प्याजे द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

गणित अधिगम का संबंध तथ्यों, सिद्धांतों, नियमों और कानूनों को समझने और गणित अधिगम के उद्देश्य से है। एक शिक्षक के रूप में, अपने छात्रों को यह समझना चाहिए कि गणित में दैनिक जीवन में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। इसी तरह, छात्रों को समझाने के लिए शिक्षक का यह कर्तव्य है कि गणित रटे-रटा कर सीखा जाने वाला विषय नहीं है। बच्चे समस्याओं को हल करने के लिए स्थितियों में आते हैं, और उसी के लिए, गणितीय तर्क का उपयोग किया जाता है।

• गणितीय तर्क बच्चों को समस्याओं में शामिल तथ्यों के परिवर्तन के बाद समाधान / निर्णय / निष्कर्ष पर पहुंचने में सक्षम बनाता है। समस्याओं को हल करने के लिए, बच्चे स्थितियों का मूल्यांकन करते हैं, समस्या-समाधान रणनीतियों का चयन करते हैं, तार्किक निष्कर्ष निकालते हैं, समाधानों का विकास करते हैं और पहचानते हैं कि ये समाधान कैसे लागू किए जा सकते हैं।
• त्रिविम विवेचन में आकृतियों, प्रत्यक्षीकरण की रचना और विघटन करना, चित्र या वस्तु को मानसिक रूप से परिवर्तित करने, घुमाने, मोड़ने या पलटने, स्थानिक अभिविन्यास, या वस्तु के अभिविन्यास में परिवर्तन होने पर भी किसी वस्तु को पहचानने की क्षमता सम्मिलित है।

Important Points

छात्रों के बीच त्रिविम विवेचन विकसित करने के लिए गतिविधियाँ:

• रास्ता खोजने के लिए पथ प्रदर्शन।
• पार्किंग में गाड़ी खड़ी करना।
• घोड़े और सवार का एक चौपड़ पाने के लिए रूपांकन के साथ समतल को चौपड़ करना।
• दीवारों, सजावट के टुकड़ों, आदि पर कई प्रकार की झुकाव देखना।
• टेनिस, बास्केटबॉल, या फ़ुटबॉल खेलने के दौरान गेंद कहाँ गिरेगी? यह देखना।
• यह पता लगाना कि कितने आइटम एक निश्चित आकार के बॉक्स में फिट होने में सक्षम हैं।

Key Points

चौपड़ टाइलिंग का दूसरा नाम है, जो गणितज्ञों की तुलना में अधिक कलाकारों द्वारा उपयोग किया जाता है। समतल को ढंकने के लिए चौपड़ करना या तो एकल आकार का उपयोग करता है जो नियमित हो सकता है या अधिकांश कुछ आकार में नहीं हो सकता है। शुद्ध ज्यामितीय रूपों के बजाय पक्षियों, मछलियों, घोड़ों, लोगों आदि जैसे प्राकृतिक दिखने वाले आकृतियों का उपयोग करने पर जोर दिया जाता है। निम्नलिखित गतिविधि के माध्यम से, आप चौपड़ बनाने में शामिल कुछ बुनियादी सिद्धांतों को उठा सकते हैं और अपनी खुद की कुछ चौपड़ आकृति बना सकते हैं।

चित्र देखिये:

ध्यान दें:

• सुडोकू पहेलियों को हल करने से समस्या सुलझाने की क्षमता विकसित होती है।
• आंकड़ों को निरूपित करने के लिए दंड आलेख खींचना रचनात्मकता कौशल विकसित करता है
• संख्या-चार्ट में नमूने की पहचान करने से चौपड़ नमूने के कौशल का विकास होता है।

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि छात्रों के बीच त्रिविम विवेचन को विकसित करने के लिए चौपड़ आकृति की पहचान करना सर्वाधिक संभावना है।

बच्चों को प्रारंभिक अवस्था में मौखिक समस्याओं से अवगत कराया जाना चाहिए, न कि जब वे 'तथ्यों को सीख जाते है' उसके बाद। जब आप एक बच्चे के साथ अंत:क्रिया करते हैं, तो बच्चे से उस अवधारणा, जिसे सीखने में आप उसकी मदद कर रहे है, के बारे में एक मौखिक समस्या पूछने के लिए प्राकृतिक अवसर तलाश करने चाहिए। 

Key Points

मोटे तौर पर, शब्द समस्याओं के दो मॉडल हैं जिनमें जोड़ शामिल हैं, जिनसे बच्चों को अवगत कराया जाता है, अर्थात्:

• वृद्धि- जहां एक मात्रा को कुछ राशि से बढ़ाया (या संवर्धित) किया जाता है, और बढ़ा हुआ मूल्य प्राप्त करना होता है। (जैसे, 5 बोतलों वाली एक कैरेट में, 4 और जोड़ी जाती हैं। अब कैरेट में कुल कितनी बोतलें हैं?)
• एकत्रीकरण - जब उन्हें एक ही मात्रा प्राप्त करने के लिए दो या अधिक मात्राओं (जैसे वस्तुओं, धन, दूरी, मात्रा, आदि के समूह) को संयोजित करने की आवश्यकता होती है। (जैसे, अगर मुन्नी के पास 3 पेंसिल हैं और मुन्ना के पास 2 हैं, तो कुल मिलाकर कितनी पेंसिल हैं?)
• “एक टोकरी में 5 सेब हैं और उसमें 7  सेब मिलाए जाते हैं। टोकरी में अब कितने सेब हैं?” यह एक एकत्रीकरण संरचना है क्योंकि दो मात्राएँ मिलती हैं।

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उपरोक्त शब्द समस्या एकत्रीकरण से संबंधित है।

गणितीय प्रवीणता अवधारणाओं को समझने और गणितीय प्रवीणता के पांच अन्योन्याश्रित पहलुओं को सक्षम रूप से लागू करने की क्षमता है।

ये पांच अन्योन्याश्रित पहलू इस प्रकार हैं: -

1. संकल्पनात्मक समझ
2. प्रक्रियात्मक प्रवाह
3. सामरिक क्षमता
4. अनुकूली तर्क
5. उत्पादक स्वभाव

Important Points गणित भाषा में प्रवीणता विकसित करने का क्रम निम्नलिखित होना चाहिए-

1. दैनिक जीवन की भाषा- दैनिक जीवन की भाषा का प्रयोग किया जाता है ताकि विद्यार्थी समस्या को आसानी से समझ सकें,
2. गणितीय स्थिति भाषा- फिर गणितीय स्थिति भाषा का उपयोग किया जाता है ताकि बच्चा दी गई समस्या से सहसंबद्ध हो सके।
3. गणितीय समस्या समाधान की भाषा- एक बच्चा स्थिति पर विचार किए बिना भी भाषा को समझ सकता है।
4. प्रतीकात्मक भाषा- बच्चे को समस्या को हल करने के लिए उच्च स्तर के दृश्य की आवश्यकता होती है। यह अवधारणाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए वर्णों या प्रतीकों का उपयोग करता है।

अतः, दैनिक जीवन की भाषा → गणितीय स्थिति भाषा → गणितीय समस्या समाधान की भाषा → प्रतीकात्मक भाषा गणितीय प्रवीणता का सही क्रम है।

गणित केवल संख्याओं और सांख्यिकीय आंकड़ों का अध्ययन नहीं है बल्कि यह विभिन्न प्रकार के आकार, आंकड़े और स्वरूप का भी अध्ययन करता है।

• प्रारंभिक विद्यालयी शिक्षा में, शिक्षार्थी आकृतियों के बारे में सीखना शुरू करते हैं और विभिन्न आकृतियों को एक दूसरे से अलग करने का प्रयास करते हैं।
• छात्र अपने अनुभव के स्तर और अपने व्यक्तिगत अंतर के अनुसार सीखते हैं, प्रत्येक स्तर में उम्र अलग-अलग हो सकती है क्योंकि वे अपनी गति से सीखते हैं। 
• वैन हाईले का सिद्धांत शिक्षक को एक अंतर्दृष्टि प्रदान करता है कि छात्र विभिन्न स्तरों पर ज्यामिति कैसे सीखते हैं। इसकी उत्पत्ति 1957 में नीदरलैंड के यूट्रेक्ट विश्वविद्यालय से पियरे वैन हाईले और उनकी पत्नी द्वारा दी गई थी।
• यह, यह वर्णन करने में मदद करता है कि छात्र प्रत्येक स्तर पर कैसे सीखते हैं और दूसरे स्तर पर कैसे जाते हैं और अधिगम के प्रत्येक स्तर में ज्यामिति के उनके अधिगम को आकार देते हैं।

Key Points

वैन हाईले के स्तर: वैन हाईले के स्तर नीचे वर्णित हैं:

इसलिए, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि वैन हाईले के सिद्धांत के प्रत्योक्षकरण​ स्तर पर बच्चा ज्यामितीय आकृतियों को उनके आकार से "संपूर्ण" के रूप में पहचान सकता है और उनके मूलरूप या रोजमर्रा की वस्तु के साथ आंकड़ों की तुलना कर सकता है लेकिन ज्यामितीय आंकड़ों के गुणों की पहचान नहीं कर सकता है।