Nature of Mathematics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Nature of Mathematics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

वैन हील का ज्यामितीय चिंतन का सिद्धांत उन स्तरों की रूपरेखा प्रस्तुत करता है जिनके माध्यम से छात्र ज्यामिति को समझने में प्रगति करते हैं। ये स्तर वर्णन करते हैं कि शिक्षार्थी आकृतियों को कैसे देखते हैं और उनके बारे में तर्क करते हैं, धीरे-धीरे दृश्य पहचान से गुणों और संबंधों पर आधारित तार्किक निगमन की ओर बढ़ते हैं।

मुख्य बिंदु

• रीना एक त्रिभुज की पहचान कर सकती है और उसकी भुजाओं और कोणों का वर्णन कर सकती है, जो दर्शाता है कि वह केवल दिखावे के बजाय उनके गुणों के आधार पर आकृतियों को पहचानती है।
• हालांकि, उसे विभिन्न त्रिभुजों (जैसे कि एक समबाहु त्रिभुज किस प्रकार समद्विबाहु त्रिभुज का एक विशेष प्रकार है) के बीच के संबंधों को समझने में परेशानी होती है।
• यह इंगित करता है कि वह अभी तक संबंधों के बारे में अनौपचारिक तर्क के स्तर पर नहीं पहुँची है।
• उसकी समझ वैन हील के सिद्धांत में विश्लेषण स्तर (स्तर 2) के साथ संरेखित होती है, जहाँ शिक्षार्थी आकृतियों के भागों और गुणों का वर्णन कर सकते हैं, लेकिन अभी तक इन गुणों को श्रेणियों में संबंधित या व्यवस्थित नहीं करते हैं।

संकेत

• दृश्यीकरण (स्तर 1): बच्चे आकृतियों को दिखावे के आधार पर पहचानते हैं, गुणों के आधार पर नहीं। रीना इससे आगे है।
• अनौपचारिक निगमन (स्तर 3): शिक्षार्थी संबंधों को समझते हैं और रीना के वर्तमान स्तर से परे तार्किक तर्क बना सकते हैं।
• औपचारिक निगमन (स्तर 4): इसमें कठोर प्रमाण और स्वयंसिद्ध शामिल हैं; आमतौर पर प्राथमिक स्तर पर अपेक्षित नहीं।

इसलिए, सही उत्तर विश्लेषण है।

गणित में, साहचर्य, वितरण और क्रमविनिमेय जैसे गुण या नियम छात्रों को व्यंजकों को कुशलतापूर्वक सरल बनाने और हेरफेर करने में मदद करते हैं। जब शिक्षार्थी इन गुणों को लागू करते हैं, तो वे संख्या संक्रियाओं और समस्या-समाधान में लचीलेपन की गहरी समझ का प्रदर्शन करते हैं।

मुख्य बिंदु

• दिए गए उदाहरण में: 6 × 15 = (2 × 3) × 15 = 2 × (3 × 15) = 2 × 45 = 90, छात्र 6 को 2 × 3 में तोड़ता है, फिर संख्याओं को 2 ×  (3 ×  15) के रूप में अलग-अलग समूहीकृत करता है, और अंत में 90 प्राप्त करने के लिए गुणा करता है।
• यह विधि स्पष्ट रूप से गुणन के साहचर्य नियम का उपयोग करती है, जो गुणा की समस्या में संख्याओं के समूहीकरण को परिणाम को प्रभावित किए बिना बदलने की अनुमति देता है: (2 × 3) × 15 = 2 × (3 ×  15)
• क्रमविनिमेय नियम, जिसमें गुणा की जा रही संख्याओं के क्रम को बदलना शामिल है (a ×  b = b × a), यहाँ लागू नहीं होता है, क्योंकि क्रम पूरे समय सुसंगत रहता है।
• वितरण नियम, जिसमें जोड़ या घटाव पर गुणन को वितरित करना शामिल है (जैसे a × (b + c) = a × b + a × c), इस समस्या में भी प्रयोग नहीं किया गया है।

इसलिए, छात्र ने केवल साहचर्य नियम लागू किया है।

इसलिए, सही उत्तर केवल (a) है।

ज्यामितीय चिंतन का वैन हील का सिद्धांत बताता है कि कैसे शिक्षार्थी ज्यामिति की समझ के विभिन्न स्तरों पर आगे बढ़ते हैं। ये स्तर आयु पर नहीं, बल्कि प्रदान किए गए निर्देश की गुणवत्ता और प्रकार पर आधारित होते हैं। सिद्धांत ज्यामितीय अवधारणाओं को सीखने में एक क्रमिक और विकासात्मक प्रक्रिया पर जोर देता है।

Key Points 

• वैन हील स्तरों पर प्रगति निर्देश पर निर्भर करती है, न कि जैविक आयु पर। अर्थात्, सुव्यवस्थित शिक्षण और अनुभव एक शिक्षार्थी के लिए एक स्तर से दूसरे स्तर पर जाने के लिए आवश्यक हैं।
• इसके अतिरिक्त, शिक्षार्थियों को स्तरों से क्रमिक रूप से गुजरना होगा, वे किसी स्तर को छोड़ नहीं सकते है, क्योंकि प्रत्येक चरण अगले के लिए नींव बनाता है। ये विशेषताएँ वैन हील के ढाँचे के लिए केंद्रीय हैं और शिक्षकों को ज्यामिति निर्देश को उचित रूप से संरचित करने में मदद करती हैं।

Hint 

• दृश्यीकरण उच्चतम स्तर नहीं है; यह वास्तव में वैन हील मॉडल में ज्यामितीय चिंतन का पहला स्तर है।
• उच्चतम स्तर कठोरता है, जिसमें औपचारिक कटौती और प्रमाण शामिल हैं। इसलिए, कथन (c) गलत है।

इसलिए, सही उत्तर (a) और (b) है।

एक बंद-अंत वाली समस्या में आमतौर पर एक विशिष्ट, सीमित समाधान होता है जिसका उत्तर एक या अधिक ठोस उत्तरों के साथ दिया जा सकता है। यह व्याख्या या विस्तारित अन्वेषण के लिए जगह नहीं छोड़ती है, जिससे यह खुले-अंत वाली समस्याओं से अलग होती है।

Key Points 

• 10 और 20 के बीच की सभी अभाज्य संख्याओं की पहचान करें: इस समस्या का एक निश्चित, विशिष्ट उत्तर है। 10 और 20 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 11, 13, 17 और 19 हैं।
• 3/8 के समतुल्य दो भिन्न प्रदान करें: इस समस्या के कई समाधान हो सकते हैं (जैसे 6/16, 9/24, आदि), जिससे यह एक खुली-अंत वाली समस्या बन जाती है क्योंकि कई संभावित उत्तर हैं।
• -5 और 5 के बीच की सभी पूर्णांकों की सूची बनाएँ: हालांकि इसकी एक सीमित सूची है, यह एक खुली-अंत वाली समस्या है क्योंकि यह कई संभावित उत्तरों (जैसे -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4) को सूचीबद्ध करने का निमंत्रण देती है, जिससे अधिक अन्वेषण के लिए जगह मिलती है।
• समीकरण 2x + 5 = 15 में x के लिए हल करें: यह एक बंद-अंत वाली समस्या है जिसका एक अनूठा समाधान है, जो x = 5 है।

इसलिए, बंद-अंत वाली समस्या समीकरण 2x + 5 = 15 में x के लिए हल करें।

गणित की समस्याओं को संभावित सही उत्तरों की संख्या के आधार पर खुले-समाप्त या बंद-समाप्त के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

Key Points

• एक बंद-समाप्त समस्या में सीमित संख्या में सही उत्तर होते हैं, आमतौर पर केवल एक या कुछ स्पष्ट रूप से परिभाषित उत्तर होते हैं। इस प्रकार की समस्याएँ तब उपयोगी होती हैं जब विशिष्ट ज्ञान या सटीकता का परीक्षण किया जा रहा हो।
• 5/7 के लिए चार समतुल्य भिन्न लिखना एक बंद-समाप्त समस्या है क्योंकि 5/7 के अंश और हर दोनों को समान संख्या से गुणा करके विशिष्ट, सही उत्तर बनते हैं।
• उदाहरण के लिए, 10/14 और 15/21 मान्य समतुल्य भिन्न हैं। ये उत्तर निश्चित हैं और एक निश्चित नियम का पालन करते हैं, जिससे कार्य संरचित और सटीक बन जाता है।

Hint

• 5 से कम पूर्णांक लिखना, या दो दिए गए मानों के बीच परिमेय संख्याएँ, या किसी सीमा में प्राकृतिक संख्याएँ लिखने से कई सही उत्तर मिलते हैं और छात्रों से अलग-अलग प्रतिक्रियाएँ प्राप्त करने को प्रोत्साहित करते हैं। ये प्रकृति में खुले-समाप्त हैं क्योंकि वे लचीलापन और कई सही आउटपुट की अनुमति देते हैं।

इसलिए, सही उत्तर है 5/7 के लिए चार समतुल्य भिन्न लिखिए।

बुनियादी गणित उन व्यक्तियों की बुनियादी मांगों को पूरा करने के लिए बनाया गया था जो गणित के मूल सिद्धांतों को सीखना चाहते हैं और कैसे उन्हें अपने दैनिक जीवन में उपयोग करना चाहते हैं। बुनियादी गणितीय अवधारणाएं जैसे जोड़, घटाव, भाग गुणा, प्रतिशत, लाभ और हानि दूसरों के बीच दैनिक जीवन में सभी के लिए आवश्यक हैं।

Key Points

अत:, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सही कथन केवल D है।

गणित संख्याओं, आकृति, मात्रा और स्वरूपों का अध्ययन है। गणित 'सभी विज्ञानों की रानी' है और इसकी मौजूदगी सभी विषयों में होती है। 

• गणित तर्क पर निर्भर करता है और शिक्षण को बच्चों के दैनिक जीवन के साथ जोड़ता है। यह दूसरे विषयों के आधार और संरचना के रूप में कार्य करती है। 
• यह तार्किक रूप से सोचने, तर्क करने, विश्लेषण करने और बच्चे को प्रशिक्षित करने के लिए मध्यम के रूप में कल्पित होता है। 

Key Points

गणित की प्रकृति तार्किक है क्योंकि यह निर्भर करता है: 

• सत्यता का मूल्यांकन या कथनों की संभावना पर। 
• गति, सटीकता, अनुमान जैसे कौशल के विकास पर। 
• तर्क शक्ति, विश्लेषणात्मक और महत्वपूर्ण सोच के सुधार पर।
• परिणामों के आकलन, खोज और सत्यापन जैसे वैज्ञानिक दृष्टिकोण की वृद्धि पर।

अतः यह स्पष्ट हो जाता है कि गणित की प्रकृति तार्किक होती है। 

पूर्व-संख्या अवधारणा: इन्हें गणित कौशल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें प्री-नर्सरी या किंडरगार्टन बच्चों द्वारा आकार, आकृति, रंग इत्यादि में विभिन्न भिन्नताओं को समझने के लिए सीखा जाता है। इन अवधारणाओं को पूर्वस्कूली वर्षों के दौरान अर्थात 7 वर्ष की आयु प्राप्त करने से पहले (मूर्त संक्रियात्मक अवस्था से पहले) बच्चों में विकसित किया जा सकता है।

Important Points पूर्व-संख्या अवधारणाओं के चरणों में निम्नलिखित शामिल हैं:

• वर्गीकरण: बच्चों को विभिन्न वस्तुओं की विशेषताओं को देखने और समान विशेषताओं को खोजने और तदनुसार उन्हें वर्गीकृत करने की आवश्यकता है।
• एक-से-एक संगतता- एक संख्या कहते हुए एक वस्तु को गिनने की क्षमता को एक-से-एक संगतता के रूप में जाना जाता है। यदि आप वस्तु को गिन रहे हैं, उदाहरण के लिए, आप पहले वाले को '1' कह सकते हैं और, फिर दूसरे को '2' कह सकते हैं, इत्यादि।
• प्रतिमान:- यह संख्याओं, आकृतियों और डिजाइनों की क्रमागत व्यवस्था को समझने और कुछ नियमों और संरचना के आधार पर सामान्यीकरण करने को संदर्भित करता है।
• मिलान:  मिलान हमारी संख्या प्रणाली का आधार बनता है।
• तुलना: बच्चे वस्तुओं को देखते हैं और बड़े / छोटे, गर्म / ठंडे, चिकने / खुरदरे, लम्बे / छोटे और भारी / हल्के जैसे अंतरों को समझकर तुलना करते हैं।

अत:, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि वर्गीकरण, प्रतिमान बनाना और एकैकी संगति अल्पवयस्क (छोटे) बच्चों के लिए पूर्व-संख्या संकल्पना का भाग हैं। 

आधार 2 प्रणाली द्विअंकीय संख्या प्रणाली में प्रदान की गई है। द्विअंकीय संख्या प्रणाली (0,1) में केवल दो संख्या ली जाती हैं।

हिंदू अरबी संख्या प्रणाली आधार 10 प्रदान की जाती है।

• हिंदू अरबी संख्या इस प्रकार है (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
• वे प्रकृति में योजक हैं
  • योजक:  a + b = b + a
• किसी संख्या में एक अंक की स्थिति उसके मूल्य को निर्धारित करती है।
• यह प्रकृति में गुणात्मक है।
•  यह एक आधार-दस (दशमलव) प्रणाली है क्योंकि स्थानीय मान दस की घात से बढ़ता है।
• इसके अलावा, यह प्रणाली स्थितीय होती है, जिसका अर्थ है कि एक प्रतीक की स्थिति को संख्या के भीतर उस प्रतीक के मान पर रखना पड़ता है।

गणित - गणित आकार, मात्रा और व्यवस्था के तर्क से संबंधित है। यह दुनिया की हमारी समझ में सहायता करता है और मानसिक अनुशासन विकसित करने के लिए एक अच्छा उपकरण है। तार्किक तर्क, आलोचनात्मक सोच, सृजनात्मक सोच, अमूर्त या स्थानिक सोच और समस्या-समाधान की क्षमता गणित द्वारा प्रोत्साहित की जाती है।

Key Points

• गणित की प्रकृति-
  • गणित की अपनी भाषा होती है जिसमें गणितीय शब्द, अवधारणाएं, सूत्र, सिद्धांत, नियम, संकेत आदि शामिल होते हैं।
  • इसमें अमूर्त अवधारणाओं को मूर्त में बदलना शामिल है।
  • यह छात्रों को सिद्धांतों, विचारों और अवधारणाओं के बारे में उनके मस्तिष्क में किसी भी अनिश्चितता को दूर करके आत्मविश्वास की आदत बनाने में मदद करता है।
  • गणित की जानकारी सटीक, व्यवस्थित, तार्किक और स्पष्ट होती है और इसे एक बार हासिल करने के बाद भुलाया नहीं जा सकता है।
  • गणितीय नियम, सिद्धांत और समीकरण सार्वभौमिक हैं और इन्हें किसी भी समय कहीं भी जांचा जा सकता है।
  • गणित में एक समस्या के समाधान के कई तरीके हो सकते हैं, क्योंकि यह बच्चों को लचीलापन विकसित करने और अवधारणाओं की समझ का समर्थन करने में मदद करता है।

अत:, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गणित की प्रकृति के संबंध में, गणित की अपनी भाषा है और गणितीय अवधारणाएँ अमूर्त होती हैं, कथन सही है​।

गणित, संरचना, क्रम, और संबंध का विज्ञान है जो वस्तुओं की आकृतियों की गणना, मापन और वर्णन करने के मौलिक तरीकों से विकसित हुआ है।

यह तार्किक तर्क और मात्रात्मक गणना से संबंधित है, और इसके विकास में इसके विषय के आदर्शीकरण और अमूर्तता की बढ़ती अवस्था शामिल है।

गणित को तर्क की एक शाखा के रूप में स्वीकार किया जाता है। सी. जी. हेम्पेल के अनुसार "यह निम्नलिखित अर्थों में तर्क से व्युत्पन्न है:

• तर्क की अवधारणाओं के संदर्भ में गणित की सभी अवधारणाओं अर्थात अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को परिभाषित किया जा सकता है।
• गणित के सभी प्रमेयों को तर्क के सिद्धांतों के माध्यम से इन परिभाषाओं से निगमित किया जा सकता है।

शुद्ध गणित की मुख्य शाखाएँ:

• बीजगणित: बीजगणित को पहले गणित की एक शाखा के रूप में स्वीकार किया जाता है। यह एक प्रकार का अंकगणित है जहां हम संख्याओं के साथ अज्ञात मात्रा का उपयोग करते हैं। इन अज्ञात मात्राओं का प्रतिनिधित्व अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षर जैसे X, Y, A, B, आदि या प्रतीकों द्वारा किया जाता है। अक्षरों का उपयोग हमें उन सूत्रों और नियमों को सामान्य बनाने में मदद करता है जो आप लिखते हैं और बीजीय व्यंजकों और समीकरणों में अज्ञात लुप्त मानों को ज्ञात करने में भी आपकी सहायता करते हैं।
• ज्यामिति: यह गणित की सबसे व्यावहारिक शाखा है जो  उनके गुणों और आकृतियों के आकारों और प्रतिरूपों से संबंधित है। ज्यामिति के मूल तत्व बिंदु, रेखाएँ, कोण, सतह और ठोस हैं।
• त्रिकोणमिति: ग्रीक त्रिकोणमिति, "त्रिकोण" और मेट्रो, "माप" से व्युत्पन्न है, यह गणित की एक शाखा है जो भुजा की लंबाई और त्रिभुज के कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है।
• गणना: यह गणित की एक शाखा है जो परिवर्तन की तात्कालिक दरों और असीम रूप से कई छोटे कारकों के योग से संबंधित है।
• सांख्यिकी और संभाव्यता: यादृच्छिक घटनाओं को नियंत्रित करने वाले नियमों से संबंधित गणित की शाखाएं, जिसमें समुच्चय, विश्लेषण, व्याख्या और संख्यात्मक डेटा का प्रदर्शन शामिल है।

अतिरिक्त टिप्पणी:

• अंकगणित: यह गणित की अन्य शाखाओं के बीच सबसे पुराना और सबसे प्राथमिक है। यह उनके बीच संख्या और मूल संक्रियाओं- जोड़, घटाव, गुणा, और विभाजन से संबंधित है।
• विश्लेषण: विश्लेषण गणित की वह शाखा है जो निरंतर परिवर्तनों का अध्ययन करता है और इसमें एकीकरण, अवकलन, माप, सीमा, विश्लेषणात्मक कार्य और अनंत श्रृंखला के सिद्धांत शामिल हैं।

अतः, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि गणित को तर्क की एक शाखा के रूप में स्वीकार किया जाता है।

गणितीय संकल्पनाओं के तीन मूल समूह वह है जो प्राथमिक विद्यालय स्तर पर गणित पाठ्यक्रम में शामिल सभी विषयों में आवश्यक हैं, जो संख्या और स्थानिक विचार और माप पर संचालन हैं। ध्यान दें कि:

• गणितीय संकल्पनाओं और प्रक्रियाओं को विभिन्न स्तरों पर, विशेष रूप से प्राथमिक स्तर पर, सरल से जटिल क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।
• इस तरह की व्यवस्था उनकी विचार क्षमताओं के विकास और शिक्षार्थी के विकास के साथ जुड़ी हुई है।
• अनुसंधान विचार की वृद्धि और गणितीय संकल्पनाओं के विकास के बीच एक निकट संबंध स्थापित किया है।
• एक शिक्षक के रूप में, एक व्यक्ति को ऐसे संबंध के बारे में पता होना चाहिए ताकि शिक्षक गणितीय संकल्पनाओं के उनके अधिगम में किसी कक्षा में प्रत्येक बच्चे की मजबूती और कठिनाइयों की समझ को विकसित कर सके और उस दिशा में उचित सुविधाजनक कदम उठा सके। 

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि अनुसंधान विचार की वृद्धि और गणितीय संकल्पनाओं के विकास के बीच एक निकट संबंध स्थापित किया है।

आम तौर पर, शिक्षण-अधिगम प्रक्रिया के दौरान शिक्षकों द्वारा पूछे गए प्रश्नों को दो प्रकारों - मुक्त सिरे वाले प्रश्नों और बंद सिरे वाले प्रश्नों में वर्गीकृत किया जा सकता है। 

• मुक्त सिरे और बंद सिरे वाले​ प्रश्न -
  • मुक्त सिरे वाले प्रश्नों के एक से अधिक उत्तर हो सकते हैं। वे छात्र की समझ और अधिगम के अनुप्रयोग के बारे में मूल्यवान और विशिष्ट जानकारी प्रदान करते हैं। वे गणित के वास्तविक-विश्व अनुप्रयोग के अवसर पैदा करते हैं। उन्हें अपसारी प्रश्नों के रूप में भी जाना जाता है।
  • बंद सिरे वाले​ प्रश्नों का केवल एक ही उत्तर हो सकता है जहां छात्र सीमित तरीकों से उत्तर दे सकता है जैसे "हां" या "नहीं" एवं "सही" या "गलत" में उत्तर देना। उन्हें अभिसारी प्रश्न के रूप में भी जाना जाता है।

Key Points

अत:, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि A व B मुक्त सिरे वाले प्रश्न हैं और C व D बंद सिरे वाले प्रश्न हैं। 

गणित : गणित विज्ञान की एक व्यवस्थित, संगठित और सटीक शाखा है। यह किसी राष्ट्र के सामाजिक, आर्थिक और तकनीकी विकास को गति देने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह जीवन की समस्याओं का समाधान करने में मदद करता है जिन्हें परिगणना और गणना की आवश्यकता होती है।

Important Points

गणित की मुख्य विशेषताओं को समझकर गणित की प्रकृति को स्पष्ट किया जा सकता है:

• गणित एक खोज का विज्ञान है।
• गणित एक बौद्धिक खेल है।
• यह निष्कर्ष निकालने की कला से संबंधित है।
• यह एक उपकरण विषय है।
• इसमें एक सहज विधि शामिल है।
• यह सटीकता, शुद्धता और यथार्थता​ का विज्ञान है।
• यह एक तार्किक और विशिष्ट अनुक्रम का विषय है।
• इसमें नई स्थितियों के लिए नियमों और अवधारणाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है।
• यह एक तार्किक अध्ययन संरचना और स्वरूप है।

इस प्रकार, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि विस्तारित अभिव्यक्ति गणित की प्रकृति से संबंधित नहीं है। 

हमारे दिन-प्रतिदिन के जीवन में हमें कई चीजों की मात्रा निर्धारित करने की आवश्यकता होती है जो हम उपयोग करते हैं या पार करते हैं, जैसे परिवार में सदस्य, कक्षा / विद्यालय में छात्र। वस्तुओं की गिनती के लिए, विभिन्न मात्राओं को व्यक्त करना, लंबाई, वजन, मात्रा को मापना, समय आदि को व्यक्त करना आवश्यक है। संख्याएँ हमारे जीवन से इतनी सहज रूप से जुड़ी हुई हैं कि हम उनके बिना कुछ भी नहीं सोच सकते। विभिन्न प्राचीन सभ्यताओं में संख्याओं की विभिन्न प्रणालियाँ विकसित की गईं। ध्यान दे-

• अंक एक प्रतिनिधित्व है जबकि संख्या एक विचार है।
• अंक एक प्रतीक है जो संख्या को दर्शाता है।उदाहरण के लिए, 'तीन' को '3' और 'III' के रूप में दर्शाया जा सकता है।
• समान संख्या को विभिन्न अंकों द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसे की ऊपर दर्शाया गया है।

इसलिए, दोनों कथन सत्य हैं।