\(\smallint {\sin ^3}x\cos x\;dx\) किसके बराबर है?

धारणा:

• \(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{n}+1}}}}{{\rm{n+1}}} + {\rm{c}}\)

गणना:

माना कि I = \(\smallint {\sin ^3}x\cos x\;dx\)

माना कि sin x = t

अब दोनों पक्षों का अवकलन करते हुए हम प्राप्त करते हैं

⇒ cos x dx = dt

अब

\({\rm{I\;}} = \smallint {\sin ^3}{\rm{x}}\cos {\rm{x\;dx}} = {\rm{\;}}\smallint {{\rm{t}}^3}{\rm{dt}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{t}}^4}}}{4} + {\rm{c}}\)

\(\Rightarrow {\rm{I\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\sin }^4}{\rm{x}}}}{4} + {\rm{c}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}{\rm{x}}} \right)}^2}}}{4} + {\rm{c\;}}\)

∴ विकल्प 4 सही उत्तर है