Application of Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Application of Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

वक्र का समीकरण y = 4x है, और रेखा x = 4 वक्र को बिंदु (4, 16) पर प्रतिच्छेद करती है। हमें वक्र, x-अक्ष और रेखा x = 4 से परिबद्ध क्षेत्रफल को ज्ञात करना है।

ध्यान का क्षेत्र एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार x-अक्ष के साथ x = 0 से x = 4 तक है और ऊँचाई 16 इकाई है, जो बिंदु (4, 16) के संगत है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

$\text{Area}=\frac{1}{2}\times \text{base}\times \text{height}$

आधार (4 इकाई) और ऊँचाई (16 इकाई) के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$\text{Area}=\frac{1}{2}\times 4\times 16=32\text{square units}$

∴ क्षेत्रफल 32 वर्ग इकाई है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

(x, f(x)) पर वक्र y = f(x) के स्पर्श रेखा का ढाल प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए 4 है, और वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है।

स्पर्श रेखा का ढाल फलन का अवकलज है, इसलिए हमारे पास है:

$f^{\prime }(x)=4$

x के सापेक्ष f'(x) = 4 का समाकलन करने पर:

$f(x)=4x+C$

वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है, इसलिए जब x = 0, y = 0 है। इन मानों को समीकरण f(x) = 4x + C में प्रतिस्थापित करने पर:

$0=4(0)+C\Rightarrow C=0$

इसलिए, वक्र का समीकरण है:

$f(x)=4x$

यह मूलबिंदु से होकर गुजरने वाली, 4 के ढाल वाली एक सरल रेखा का समीकरण है।

∴ वक्र एक सरल रेखा है जिसका ढाल 4 है और जो मूलबिंदु से होकर गुजरती है।

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना

दिया गया है:

परवलय: y² = 4x

रेखा: x = 3

चूँकि y² = 4x है, तब y = $2\sqrt{x}$ (प्रथम चतुर्थांश में, y > 0)

अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 x (क्षेत्र OCAO का क्षेत्रफल)

⇒ क्षेत्रफल = $2{\int }_0^{3}ydx$

⇒ क्षेत्रफल = $2{\int }_0^{3}2\sqrt{x}dx$

⇒ क्षेत्रफल = $4{\int }_0^3{x}^{\frac{1}{2}}dx$

⇒ क्षेत्रफल = $4{\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]}_0^3$

⇒ क्षेत्रफल = $4\times \frac{2}{3}[(3{)}^{\frac{3}{2}}-0]$

⇒ क्षेत्रफल = $\frac{8}{3}(3\sqrt{3})$

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = $8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

परवलय y = x² और x = y² का प्रतिच्छेद बिंदु है

y = (y²)² ⇒ y = y⁴

⇒ y = 0, y = 1

∴ x = 0, x = 1

इसलिए, प्रतिच्छेद बिंदु O (0, 0) और (1, 1) हैं;

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = ${\int }_0^1({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1)\mathrm{d}\mathrm{x}$

${\int }_0^1(\sqrt{\mathrm{x}}-{\mathrm{x}}^2)\mathrm{d}\mathrm{x}$

${[\frac{{\mathrm{x}}^{3/2}}{3/2}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}]}_0^1=[\frac{1^{3/2}}{3/2}-\frac{1^3}{3}]-[\frac{0^{3/2}}{3/2}-\frac{0^3}{3}]$

= $[\frac{2}{3}-\frac{1}{3}]-[0]=\left(\frac{1}{3}\right)$

वैकल्पिक विधि:

हम जानते हैं कि यदि परवलय y² = 4ax और x² = 4by हैं। 

तो परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल = $\left(\frac{4\mathrm{a}\times 4\mathrm{b}}{3}\right)$

$A=\left(\frac{1\times 1}{3}\right)=\frac{1}{3}$

अतः विकल्प 4 सही है। 

गणना:

दिया गया है, x2 + y2 = 36…(i) जो परवलय y2 = 9x…(ii) के बाहर है।

समीकरण (ii) को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है x2 + 9x = 36

⇒ x2 + 12x - 3x - 36 = 0

⇒ x(x + 12) - 3(x + 12) = 0

⇒ (x + 12)(x - 3) = 0

⇒ x = 3[चूँकि वे धनात्मक x-अक्ष पर मिलते हैं]

⇒ y = ± 3√3

∴ वक्र बिंदु (3, ± 3√3) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

∴ आवश्यक क्षेत्रफल

= $\pi r^2-2[{\int }_0^3\sqrt{9x}dx+{\int }_3^6\sqrt{36-x^2}dx]$

= $36\pi -12\sqrt{3}-2{(\frac{x}{2}\sqrt{36-x^2}+18{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{6}\right))}_3^6$

= $36\pi -12\sqrt{3}-2(9-(\frac{9\sqrt{3}}{2}+3\pi ))$

= 24π - 3√3

∴ आवश्यक क्षेत्रफल 24π - 3√3 है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

x = a और x = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{x}$

y = a और y = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$

गणना:

यहाँ, x² = y  और रेखा y = 1 परवलय को काटती है। 

∴ x² = 1

x = 1 और -1

अब, 

$\text{Area =}{\int }_{-1}^{1}ydx$

यहां, वक्र  y- अक्ष के सममित है, हम एक तरफ क्षेत्र को पा सकते हैं और फिर इसे 2 से गुणा कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल को प्राप्त करेंगे, 

$\text{Area }-1={\int }_0^{1}ydx$

${\text{Area}}_1={\int }_0^1{x}^{2}dx$

$={\left[\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}$

यह क्षेत्र y = x2 और x-axis के बीच है I

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इस क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से घटाना होगा अर्थात।

$(1\times 1)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

$TotalArea=2\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई I

अवधारणा:

$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}+\frac{a^2}{2}si{n}^{-1}\frac{x}{a}+c$

फलन y = √f(x), f(x) 0 के लिए परिभाषित है। इसलिए y ऋणात्मक नहीं हो सकता।

गणना:

दिया गया है:

y = $\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}$ और x - अक्ष 

x - अक्ष पर, y शून्य होगा। 

y = $\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}$

⇒ 0 = $\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}$

⇒ 16 - x² = 0

⇒ x2 = 16

∴ x = ± 4

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (4, 0) और (−4, 0) हैं। 

चूँकि, वक्र y = $\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}$ है

तो, y ≥ o [सदैव]

तो, हम वृत्ताकार भाग लेंगे जो x-अक्ष के ऊपर है

वक्र का क्षेत्रफल, A $={\int }_{-4}^4\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

हम जानते हैं कि,

$\int \surd a^2-x^{2}dx=\frac{x}{2}\surd x^2-a^2+\frac{a^2}{2}si{n}^{-1}\frac{x}{a}+c$

= $[\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{(4^2-{\mathrm{x}}^2)}+\frac{16}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}}{4}{]}_{-4}^4$ 

= $[\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{(4^2-4^2)}+\frac{16}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{4}{4}]-[\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{(4^2-(-4{)}^2)}+\frac{16}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{4}{-4})]$

= 8 sin-1 (1) + 8 sin-1 (1)

= 16 sin-1 (1)

= 16 × π/2

= 8π वर्ग इकाई 

गणना:

संलग्न क्षेत्र

$=2{\int }_0^{\pi /4}\left(\cos x-\sin x\right)dx$

$=2{\left[\sin x+\cos x\right]}_0^{\pi /4}$

$=2\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\left(0+1\right)\right]$

$=2\left(\sqrt{2}-1\right)$

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल 

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को ऊर्ध्वाधर रूप से योग द्वारा ज्ञात कीजिए। 

• इस स्थिति में हम यह ज्ञात करते हैं कि क्षेत्रफल आयत की ऊंचाई x = f(y) और चौड़ाई dy का योग होता है। 
• यदि हमें y = f(x) दिया गया है, तो हमें इसे x = f(y) के रूप में पुनःव्यक्त करने की आवश्यकता है और हमें इसका योग नीचे से शीर्ष तक करने की आवश्यकता है।

इसलिए, $\mathbf{A}={\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{x}\mathbf{d}\mathbf{y}={\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{f}\left(\mathbf{y}\right)\mathbf{d}\mathbf{y}$

गणना:

दिया गया वक्र: x = 4 - y2

⇒ y2 = 4 - x
⇒ y2 = - (x - 4)

उपरोक्त वक्र परवलय का समीकरण है,

हम जानते हैं कि y - अक्ष पर; x = 0

⇒ y2 = 4 - x

⇒ y2 = 4 - 0 = 4

⇒ y = ± 2

⇒ (x, y) = (0, 2) या (0, -2) प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। 

वक्र के तहत क्षेत्रफल  $={\int }_{-2}^2\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$

$={\int }_{-2}^2(4-{\mathrm{y}}^2)\mathrm{d}\mathrm{y}$

$={[4\mathrm{y}-\frac{{\mathrm{y}}^3}{3}]}_{-2}^2$

$=\frac{32}{3}$ वर्ग इकाई

व्याख्या:

वृत्त का समीकरण x2 + y2 = a2 द्वारा दिया गया है

आइए पट्टी को y-दिशा के साथ लें और इसे 0 से 'a' में समाकलित करें इससे पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल मिलेगा और एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए 4 से गुणा करें

$y=\sqrt{x^2-a^2}$

प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल = $\underset{0}{\overset{a}{\int }}ydx$ = $\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx$

वृत्त का क्षेत्रफल = 4 × $\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{a^2-x^2}dx$

दिया गया है:

परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0

संकल्पना​:

दो वक्रों y₁ और y₂ के बीच के क्षेत्रफल की संकल्पना को x = a और x = b के बीच लागू करने पर 

$\mathrm{A}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}({\mathrm{y}}_1-{\mathrm{y}}_2)\mathrm{d}\mathrm{x}$

गणना:

परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0

तब 3x² = x² + 4

⇒ x² = 2

⇒ x = ± √ 2

तब क्षेत्रफल है

$\mathrm{A}={\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}({\mathrm{x}}^2+4-3{\mathrm{x}}^2)\mathrm{d}\mathrm{x}$

$\mathrm{A}={\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(4-2{\mathrm{x}}^2)\mathrm{d}\mathrm{x}$

$\mathrm{A}=[4\mathrm{x}-2\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}{]}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$

$\mathrm{A}=4[\sqrt{2}-(-\sqrt{2})]-\frac{2}{3}[{\sqrt{2}}^3-{(-\sqrt{2})}^3]$

$\mathrm{A}=8\sqrt{2}-\frac{8}{3}\sqrt{2}$

$\mathrm{A}=\frac{16\sqrt{2}}{3}$ वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

वक्र y = f(x) के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

A = ${\int }_{{\mathrm{x}}_1}^{{\mathrm{x}}_2}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

जहाँ x1 और x2 अंतिम बिंदु हैं जिसके बीच क्षेत्रफल की आवश्यकता होती है। 

Imp. Note: कुल क्षेत्र x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र और एक्स-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र के अलावा होगा।

गणना:

f(x) = y = 4x³

दिया गया अंतिम बिंदु x1 = -2, x2 = 3

वक्र का क्षेत्रफल (A) = $\left|{\int }_{-2}^{3}4{\mathrm{x}}^3\mathrm{d}\mathrm{x}\right|$

⇒ A = $\left|{\int }_{-2}^{0}4{\mathrm{x}}^3\mathrm{d}\mathrm{x}\right|+\left|{\int }_0^{3}4{\mathrm{x}}^3\mathrm{d}\mathrm{x}\right|$

⇒ A = $\left|4{\left[\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}\right]}_{-2}^0\right|+\left|4{\left[\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}\right]}_0^3\right|$

⇒ A = $\left|[0-2^4]\right|+\left|[3^4-0]\right|$

⇒ A = $|-16|+\left|81\right|$

⇒ A = 97

Additional Information

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = $\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}$+ C ; n ≠ -1
• $\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\ln \mathrm{x}$ + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C 

स्पष्टीकरण:

दिए गए वक्रों के समीकरण हैं

y = x² --- (1) और y = 16 --- (2)

दोनों समीकरणों (1) और (2) को हल करके हमारे पास है:

x² = 16

x = 4, -4

∴ प्रतिच्छेदन के बिंदु (4, 16) और (-4, 16) हैं।

आकृति से हमारे पास है

$RequiredArea={\int }_{-4}^4(16-x^2)dx$

समाकल गुण का उपयोग करके हमारे पास है

$A=2{\int }_0^4(16-x^2)dx$

$=2{\left[16x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^4$

$=2{\left[16x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^4$

$=2\left[64-\frac{64}{3}\right]$

$=2\times 64\times \frac{2}{3}$

$A=\frac{256}{3}sq.units$

Alternate Method

एक अन्य विधि भी है जिसके द्वारा हम समस्या को हल कर सकते हैं,

क्षैतिज पट्टी पर विचार करके और समरूपता की स्थिति से हमारे पास है:

$Area=2{\int }_0^{16}xdy$

$Area=2{\int }_0^{16}\sqrt{y}dy$

$Area=2\times \frac{2}{3}\times [y^{\frac{3}{2}}{]}_0^{16}$

$Area=2\times \frac{2}{3}\times [{16}^{\frac{3}{2}}-0]$

क्षेत्रफल = $\frac{256}{3}sq.unit$

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल:

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को क्षैतिज रूप से जोड़कर ज्ञात कीजिए। 

इस स्थिति में हम क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं जो आयत, ऊंचाई y = f(x) और चौड़ाई dx का योग है। 

हमें बाएँ से दाएँ तक योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। 

∴ क्षेत्रफल =  ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

गणना:

यहाँ, हम वक्र y = x2, x - अक्ष और कोटि अंक x = - 1 और x = 2 द्वारा परिबाधा क्षेत्रफल को ज्ञात करना है। 

इसलिए, दिए गए वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्रफल को ${\int }_{-1}^2{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ द्वारा ज्ञात किया गया है। 

चूँकि हम जानते हैं कि,$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{C}$

क्षेत्रफल = ${\int }_{-1}^2{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$

= ${\left[\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right]}_{-1}^2$

= $[\frac{8}{3}-\frac{-1}{3}]=\frac{9}{3}=3$

क्षेत्रफल = 3 वर्ग इकाई 

व्याख्या:

दिए गए वक्र y = x - 1 और y² = 2x + 6 हैं। 

इन्हे हल करने पर हमें प्राप्त होगा,

y² = 2(y + 1) + 6

⇒ y² - 2y - 8 = 0

⇒ (y - 4)(y + 2) = 0

⇒ y = -2, 4

अब, हम निम्न के द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं

A = ${\int }_{-2}^4[y+1-(\frac{y^2}{2}-3)]dy$

= ${\int }_{-2}^4(4+y-\frac{y^2}{2})dy$

= ${[4y+\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{6}]}_{-2}^4$

= $16+8-\frac{32}{3}-(-8+2+\frac{4}{3})$

∴ A = 18