Group & Subgroups MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Group & Subgroups - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 1, 2025
Latest Group & Subgroups MCQ Objective Questions
Group & Subgroups Question 1:
मान लीजिये G एक ऐसा समूह है जिसका तत्समक अवयव e है। मान लीजिये H, G का एक आबेली अतुच्छ उचित उपसमूह है जिसमे यह गुण है कि सभी g / ∉ H के लिए H ∩ gHg−1 = {e}।
यदि K = \(\{g \in G: g h=h g \text { सभी } h \in H \text{ के लिए }\}\), तब
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
H, G का एक आबेली अतुच्छ उचित उपसमूह है जिसमे यह गुण है कि सभी g / ∉ H के लिए H ∩ gHg−1 = {e}
K = \(\{g \in G: g h=h g \text { सभी } h \in H \text{ के लिए }\}\),
H, K में प्रसामान्य है, क्योंकि K, H को केन्द्रीकृत करता है
विकल्प (1): K, H का उचित उपसमूह है
चूँकि \(H \subseteq K \) परिभाषा के अनुसार, K, H का उचित उपसमूह नहीं हो सकता है
इसके बजाय, K या तो H के बराबर है या इससे कड़ा बड़ा है।
विकल्प (1) सही नहीं है
विकल्प (2): H, K का उचित उपसमूह है
K, H के बराबर हो सकता है क्योंकि H का केन्द्रीकृत करने वाला केवल स्वयं H ही हो सकता है, समूह संरचना पर निर्भर करता है
विकल्प (3): K = H
चूँकि \(H \cap gHg^{-1} = \{e\} सभी g \notin H \text{ के लिए }\)
H के बाहर कोई भी अवयव H के सभी अवयवों के साथ क्रमविनिमेय नहीं हो सकता है
इसलिए, G में H का केन्द्रीकृत करने वाला ठीक H है, जिसका अर्थ है K = H
विकल्प (4): कोई ऐसा आबेली उपसमूह \(L \subseteq G \) नहीं है जिसके लिए K, L का उचित उपसमूह हो
चूँकि K = H, और H आबेली और पृथक है (H के बाहर कोई भी अवयव H के सभी अवयवों के साथ क्रमविनिमेय नहीं है),
ऐसा कोई बड़ा आबेली उपसमूह L मौजूद नहीं हो सकता है जिसमें K एक उचित उपसमूह के रूप में हो।
इसलिए विकल्प (3) और विकल्प (4) सही हैं
Group & Subgroups Question 2:
माना G कोटि 660 का एक समूह है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन G के बारे में हमेशा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
G की कोटि:
\(|G| = 660 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 . \)
विकल्प 1:
सिलो 5-उपसमूह के लिए,
\(n_5 \equiv 1 \pmod{5} \) और \(n_5 \mid \frac{660}{5} = 132 \)
\(n_5 \) के संभावित मान 1, 6, 11, 22, 33, 66, 132 हैं।
एक अद्वितीय सिलो 5-उपसमूह की गारंटी नहीं है, इसलिए यह प्रसामान्य नहीं हो सकता है।
विकल्प (1) गलत है।
विकल्प 2:
सिलो 11-उपसमूह के लिए,
\(n_{11} \equiv 1 \pmod{11} \) और \(1+11k|660 \text{ k=0,1,2...}\)
⇒ \(n_{11} =1 ,12 \)
सिलो की प्रमेयों द्वारा, \(n_{11} \) हमेशा इन मानों में से एक होता है,
इसलिए विकल्प (2) सही है।
विकल्प 3:
कोटि 110 का एक उपसमूह मौजूद होगा यदि सिलो 5-उपसमूह और सिलो 11-उपसमूह हैं जो संयोजित होते हैं।
हालांकि, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि ऐसा उपसमूह मौजूद है, क्योंकि यह समूह संरचना और सिलो उपसमूहों की प्रसामान्यता पर निर्भर करता है।
विकल्प (3) गलत है।
विकल्प 4:
कोटि 660 के सभी समूह चक्रीय नहीं होते हैं।
उदाहरण के लिए, G एक अन्बेली समूह हो सकता है जैसे \(\mathbb{Z}_3 \times S_5 \) (एक अर्ध-प्रत्यक्ष गुणनफल)।
इस प्रकार, G आवश्यक रूप से \(\mathbb{Z}_{660} \) के तुल्यकारी नहीं है।
विकल्प (4) गलत है।
इसलिए विकल्प (2) सही उत्तर है।
Group & Subgroups Question 3:
निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
सिलो तीसरा प्रमेय: मान लीजिए कि किसी परिमित समूह G के किसी सिलो p-उपसमूह P की कोटि q है। मान लीजिये कि np G के सिलो p-उपसमूहों की संख्या को दर्शाता है। तब
(a) np = [G : NG(P)] (जहाँ NG(P) P का प्रसामान्यक है)
(b) np , |G|/q को विभाजित करता है, और
(c) np ≡ 1 (mod p).
व्याख्या:
विकल्प (1): 540 = 22 × 33 × 5
कोटि 33 = 27 का एक उपसमूह संभव है।
सिलो के प्रमेयों द्वारा, ऐसे उपसमूहों की संख्या 1 mod 3 है और 20 को विभाजित करती है।
अर्थात, संभावित मान 1, 5, 10, 20 हैं।
इसलिए, G में कोटि 27 का अनिवार्य रूप से एक अद्वितीय उपसमूह नहीं है।
विकल्प (1) गलत है।
विकल्प (2):
1120 = 25⋅ 5 ⋅ 7.
इसलिए, सिलो के प्रमेय द्वारा कोटि 35 = 5⋅7 का एक उपसमूह मौजूद है।
ऐसे उपसमूहों की संख्या 32 को विभाजित करती है और 1mod7 है।
इसे संतुष्ट करने वाला एकमात्र मान 1 है, इसलिए उपसमूह अद्वितीय है।
विकल्प (2) सही है।
विकल्प (3): 385 = 5⋅7⋅11
कोटि 5, 7 और 11 के लिए सिलो उपसमूह मौजूद हैं।
कोटि 7 का एक उपसमूह अद्वितीय है क्योंकि उपसमूहों की संख्या 55 को विभाजित करती है और 1mod7 के बराबर होती है।
यह संख्या 1 बनाता है।
विकल्प (3) सही है।
विकल्प (4):
121 = 112
कोटि 11 के सभी उपसमूह चक्रीय हैं, और उनकी संख्या 121 को विभाजित करती है जबकि 1 mod 11 को संतुष्ट करती है।
इसलिए, कोटि 11 का केवल एक चक्रीय उपसमूह अस्तित्व में है।
विकल्प (4) गलत है।
Group & Subgroups Question 4:
प्रत्येक अपरिमित चक्रीय समूह में है -
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
हम जानते हैं कि
प्रत्येक अनंत चक्रीय समूह के ठीक दो जनक होते हैं।
(2) सत्य है।
Group & Subgroups Question 5:
मान लें कि N एक समूह G का एक प्रसामान्य उपसमूह है और \(\rm f:G\rightarrow \frac{G}{N}\), f(x) = xN ∀ x ∈ G द्वारा परिभाषित एक प्रतिचित्रण है, तो f है:
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
माना कि N, समूह G का एक प्रसामान्य उपसमूह है और \(\rm f:G\rightarrow \frac{G}{N}\) एक प्रतिचित्रण है जो कि f(x) = xN ∀ x ∈ G द्वारा परिभाषित है,
माना कि x, y ∈ G
f(xy) = xyN = (xN)(yN) = f(x)f(y)
इसलिए, f एक समाकारिता है।
साथ ही, प्रत्येक xN ∈ G/N के लिए हमें एक पूर्व प्रतिबिम्ब x ∈ G इस प्रकार प्राप्त होगा कि f(x) = xN है।
इसलिए, f आच्छादी है।
अतः f एक आच्छादक समाकारिता है।
विकल्प (2) सही है।
Top Group & Subgroups MCQ Objective Questions
n ≥ 1 के लिए, माना कि Sn, n प्रतीकों पर सभी क्रमचयों के समूह को दर्शाता है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFहल - Sn, n प्रतीकों पर सभी क्रमचयों के समूह को दर्शाता है।
\(S_3\) में संभावित क्रम लघुतम समापवर्त्य (3,1) है इसलिए अधिकतम संभावना 3 है
इसलिए, विकल्प 1 गलत है
\(S_4 \) में, अधिकतम संभावना 4 है
इसलिए, विकल्प 2) और विकल्प 3) भी गलत है
\(S_5\) में, लघुतम समापवर्त्य (3,2) =6 होने की अधिकतम संभावना है
इसलिए, सही विकल्प (विकल्प 4) है।
X को अरिक्त समुच्चय मानें तथा P(X) को X के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय मानें। P(X) पर दो प्रचालन (ऑपरेशन) ⋆ तथा Δ निम्नवत परिभाषित करें:
A, B ∈ P(X) के लिए A ⋆ B = A ∩ B; AΔB = (A ∪ B)\(A ∩ B).
निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
मान लीजिये संक्रिया, Δ अर्थात, A, B ∈ P(X) ⇒ A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) इसके लिए,
(i) संवृत: माना A, B ∈ P(x) तब A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) ∈ P(X)
इसलिए, P(x) Δ के अंतर्गत संवृत है।
(ii) साहचर्यता: माना A, B, C ∈ P(x), तब (A Δ B) ΔC = ([(A ∪ B) \ (A ∩ B))] ∪ C) \[([A ∪ B) \ ((A ∩ B))] ∩ C)
A Δ (B Δ C) = (A ∪[(B ∪ C) | (B∩C)]) \ (A∩[(B∪C) | (B∩C)])
आकृतियों से आप देख सकते हैं,
(A Δ B) ΔC = A Δ (B Δ C)
(iii) तत्समक:
AΔϕ = (A ∪ ϕ) \ (A ∩ ϕ) = A \ ϕ = A
इसलिए, ϕ ∈ P(x) ऐसा है कि A Δ ϕ = A
(iv) प्रतिलोम:
A Δ A = (A ∪ A) \ (A ∩ A) = A \ A = ϕ
इसलिए, A ∈ P(x) के लिए, A-1 = A.
∴ P(x) Δ के अंतर्गत समूह है।
अब * संक्रिया के लिए, A * B = A ∩ B, A, B ∈ P(x)
मान लीजिये x = {1, 2, 3} तब P(x) = {ϕ, x, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}
यहाँ, यदि हम लेते हैं, e = x
(∵ x ∩ A = A, A ∈ P(x))
लेकिन e = x के लिए, किसी भी A का प्रतिलोम, A ∈ P(x)
∵ A ∩ B ≠ x (किसी भी A, B ∈ P(x)A, B ≠ x के लिए)
इसलिए, P(x) (*) के अंतर्गत समूह नहीं है।
विकल्प (3) सही है।
Group & Subgroups Question 8:
क्रम 50 के चक्रीय समूह के उपसमूहों की संख्या ज्ञात कीजिए?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 8 Detailed Solution
अवधारणा - चक्रीय समूह के क्रम n के उपसमूहों की संख्या \(\tau(n)\) है।
व्याख्या- क्रम 50 के चक्रीय समूह के उपसमूह की संख्या \(\tau (50) \) है।
\(\tau (50) = \tau(5^2.2)\) = (2+1)(1+1) = 6
इसलिए, सही विकल्प विकल्प 1 है।
Group & Subgroups Question 9:
माना कि G कोटि 2020 का एक समूह है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन अनिवार्यतः सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 9 Detailed Solution
Group & Subgroups Question 10:
मान लीजिए कि G एक परिमित समूह है और G के केवल दो प्रसामान्य उपसमूह {e} और G स्वयं हैं तो यह एक ______________ होता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 10 Detailed Solution
व्याख्या:
G एक सरल समूह है।
एक सरल समूह एक अतुच्छ समूह होता है, जिसका एकमात्र प्रसामान्य उपसमूह तुच्छ समूह और स्वयं समूह होता है।
इस परिभाषा के अनुसार, मान लीजिए कि G एक परिमित समूह है और G के केवल दो प्रसामान्य उपसमूह {e} और G स्वयं हैं, तो यह एक सरल समूह होता है।
Group & Subgroups Question 11:
यदि समूह O(G) की कोटि = 45 है, तब निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सत्य नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 11 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
O(G) = 45 = 9.5 = 32.5
स्पष्टत: 3 - SSG और 5 - SSG अद्वितीय है, अतः, प्रसामान्य है।
इसलिए, विकल्प (1) और (2) सत्य है।
कोटि 45 का प्रत्येक समूह, समूह \(\mathbb{Z}_{45} \ \ और \ \ \mathbb{Z}_{5} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{3}\) में से एक के समरूपी है
अतः, सदैव आबेली है लेकिन चक्रीय नहीं है।
इसलिए, विकल्प (3) सत्य है और विकल्प (4) सत्य नहीं है।
Group & Subgroups Question 12:
माना कि G एक परिमित समूह है। तो G अनिवार्यतः एक चक्रीय समूह है यदि G की कोटि है:
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 12 Detailed Solution
अवधारणा:
अभाज्य क्रम का प्रत्येक समूह चक्रीय है
अर्थात यदि G, p कोटि का एक समूह है, जहाँ p अभाज्य है तो G चक्रीय है।
स्पष्टीकरण:
दिए गए विकल्पों में,
7 अभाज्य संख्या है
इसलिए, यदि O(G) = 7 है तो G चक्रीय है।
अतः सही विकल्प, विकल्प (2) है।
Group & Subgroups Question 13:
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 13 Detailed Solution
अवधारणा -
यदि \(p| q-1\) है तब तुल्याकारिता तक कोटि p.q के दो समूह विद्यमान हैं, एक चक्रीय है और दूसरा अचक्रीय समूह है।
स्पष्टीकरण -
विकल्प (1) -
O(G) = 21 = 3.7 = 3 | 7-1
अतः, यह सत्य है।
विकल्प (2) -
O(G) = 22 = 2.11 = 2 | 11-1
अतः, यह सत्य है।
विकल्प (3) -
O(G) = 55 = 5.11 = 5 | 11-1
अतः, यह सत्य है।
अतः, सही विकल्प (4) है।
Group & Subgroups Question 14:
प्रत्येक चक्रीय समूह है
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 14 Detailed Solution
संकल्पना:
एक समूह (G, ∘) को एबेलियन समूह कहा जाता है यदि सभी a, b ∈ G के लिए a ∘ b = b ∘ a
स्पष्टीकरण:
माना G उत्पाद g ∈ G वाला एक चक्रीय समूह है अर्थात,, G = 〈g〉
माना a, b ∈ G है तब m, n ∈ \(\mathbb Z\) का अस्तित्व है
a = gm, b = gn
अब,
ab = gmgn = gm+n = gn+m = gngm = ba
इसलिए, G एक एबेलियन समूह है।
विकल्प (2) सत्य है
Group & Subgroups Question 15:
(1 2 3) और (5 6 4 1) को गुणा कीजिए?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 15 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
किसी भी समुच्चय पर परिभाषित सममित समूह वह समूह होता है जिसके अवयव समुच्चय से लेकर स्वयं तक सभी पर एकैकी आच्छादक होते हैं और जिसकी समूह संक्रिया फलनों का संयोजन है। विशेष रूप से, प्रतीकों के एक परिमित समुच्चय पर परिभाषित परिमित सममित समूह में वे क्रमचय शामिल होते हैं जिन्हें प्रतीकों पर निष्पादित किया जा सकता है।
ऐसी क्रमचय संक्रिया, सममित समूह की कोटि (अवयवों की संख्या)। है
सममित समूह का गुणन:
(1 2 3)
पहले क्रमचय अवयव के प्रतिबिम्ब
1 --> 2, 2 --> 3, 3 --> 1, 4 --> 4, 5 --> 5, 6 --> 6
(5 6 4 1)
दूसरे क्रमचय अवयव के प्रतिबिम्ब
1 --> 5, 2 --> 2, 3 --> 3, 4 --> 1, 5 --> 6, 6 --> 4
समूह के अवयव को गुणा करने के लिए
हमें पीछे से आगे की ओर प्रक्रिया करनी होगी
1 --> 5, 5 --> 5 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 1 का प्रतिबिम्ब 5 है।
2 --> 2, 2 --> 3 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 2 का प्रतिबिम्ब 3 है।
3 --> 3, 3 --> 1 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 3 का प्रतिबिम्ब 1 है।
4 --> 1, 1 --> 2 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 4 का प्रतिबिम्ब 2 है।
5 --> 6, 6 --> 6 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 5 का प्रतिबिम्ब 6 है।
6 --> 4, 4 --> 4 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 6 का प्रतिबिम्ब 4 है।
इसलिए, (1 2 3)(5 6 4 1) का गुणन = (1 5 6 4 2 3)