Divisibility In Z & Euler Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Divisibility In Z & Euler Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

चूँकि a + b ≡ 0 (mod a + b) इसलिए, \(a^{2m-1}+b^{2m-1}≡ 0\) (mod a+b) जहाँ m कोई धनात्मक पूर्णांक है

व्याख्या:

139 + 239 + 339 + ... + 9839

यहाँ 1 + 98 ≡ 0 (mod 99), 2 + 97 ≡ 0 (mod 99), 3 + 96 ≡ 0 (mod 99), ....49 + 50 ≡ 0 (mod 99)

इसलिए, 1³⁹+ 98³⁹ ≡ 0 (mod 99), 239+ 9739 ≡ 0 (mod 99), 339+ 9639 ≡ 0 (mod 99), ...., 4939+ 5039 ≡ 0 (mod 9)

इन्हें जोड़ने पर हमें मिलता है

139 + 239 + 339 + ... + 9839 ≡ 0 (mod 99)

इसलिए, ℤ/99ℤ में 139 + 239 + 339 + ... + 9839, 0 के बराबर है। 

(3) सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, ऑयलर का टॉसेन्ट फलन इस प्रकार परिभाषित है:

\( \phi(n) = \text{number of positive integers } k \leq n \text{ such that } \text{gcd}(n, k) = 1\)

यहाँ, gcd(n, k) n और k के महत्तम समापवर्तक को दर्शाता है।

ऑयलर के टॉसेन्ट फलन के कुछ गुणों में शामिल हैं:

• ϕ(1) = 1, क्योंकि 1 के पास स्वयं से कम कोई धनात्मक पूर्णांक नहीं है।
• यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो ϕ(p) = p - 1, क्योंकि p से कम सभी धनात्मक पूर्णांक p के साथ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं।
• किन्हीं दो अलग-अलग अभाज्य संख्याओं p और q के लिए, ϕ(pq) = (p - 1)(q - 1), इस गुणधर्म के कारण कि टॉसेन्ट फलन अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के लिए गुणात्मक है।
• ϕ(n) n ≥ 3 के लिए सम है, 2 की घातों को छोड़कर, जहाँ ϕ(2^k) = 2^k-1 है।

व्याख्या:

गुणधर्मों का उपयोग करके, हम मानों की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

ϕ(10) = ϕ(2 × 5) = (2 -1)(5 - 1) = 1 × 4 = 4

ϕ(15) = ϕ(3 × 5) = (3 - 1)(5 - 1) = 2 × 4 = 8

ϕ(12) = ϕ(2² × 3) = (2^2-1)(3 - 1) = 2 × 2 = 4

n = 25 के लिए,

25 से कम या उसके बराबर धनात्मक पूर्णांक 1, 2, 3, ..., 25 हैं।

25 के साथ अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24 हैं।

इसलिए, ϕ(25)=20

इस प्रकार, विकल्प 1 और विकल्प 4 सही हैं।

अवधारणा:

d(n) = n के धनात्मक भाजकों की संख्या

v(n) = n के विभिन्न अभाज्य भाजकों की संख्या

ω(n) = n के बहुकता के साथ गिने गए अभाज्य भाजकों की संख्या

n = p1r1p2r2........pkrk

तब d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)

ω (n) = r1+ r2+........+ rk

v(n) = k

व्याख्या:

(1) n = (37)²

तब ω(n) = 2

d(n) = 3

और log n = log (37)² = 2log (37) > 3

इसलिए, विकल्प (1) सही नहीं है।

(2) n = p₁^r₁p₂^r₂........p_k^r_k

d(n) = (r₁+1)(r₂+1)........(r_k+k)

3√ n = 3^{\(p_1^{\frac{r_1}{2}}p_2^{\frac{r_2}{2}}........p_k^{\frac{r_k}{2}}\)}

स्पष्ट रूप से d(n) ≤ 3√ n ∀ n ∈ N

इसलिए, ऐसे किसी n ∈ N का अस्तित्व नहीं है; जिसके लिए d(n) > 3√ n हो। 

इसलिए, विकल्प (2) सही नहीं है।

(3) मान लीजिए n = p1r1p2r2........pkrk

d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)

v(n) = k

ω (n) = r₁+ r₂+........+ r_k

2^v(n) = 2^k, 2^{ω (n)}= 2^{r₁+r₂+.....+r_k}

⇒2^v(n) ≤ d(n) ≤ 2r1+r2+.....+rk

⇒2v(n) ≤ d(n) ≤ 2^ω(n)

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

(4) n = 9 = 3²

m = 3x7 = 21

ω(n) = ω(m) = 2

d(n) = 3

d(m) = 4

इसलिए, d(n) ≠ d(m)

इसलिए, विकल्प (4) सही नहीं है।

अवधारणा:

a ≡ b mod m का अर्थ है कि m, a - b को विभाजित करता है।

स्पष्टीकरण:

n ≡ 1 mod 7

तो 7/(n - 1)

n - 1 = 7k, k ∈ \(\mathbb Z\)

n ≡ 4 mod 15 

n - 4 = 15k ₁ , k 1 ∈

तो n = 64 है

64 - 1 = 63, 3 से विभाज्य है

अतः n, 1 mod 3 के समतुल्य है।

(1) सत्य है। 

64 - 1 = 63, 35 से विभाज्य नहीं है

अतः n, 1 mod 35 के समतुल्य नहीं है।

(2) असत्य है। 

64 - 1 = 63, 21 से विभाज्य नहीं

n, 1 mod 21 के समतुल्य है।

(3) सत्य है। 

64 - 1 = 63 5 से विभाज्य नहीं

n, 1 mod 5 के समतुल्य नहीं है।

(4) असत्य है। 

अवधारणा:

चूँकि a + b ≡ 0 (mod a + b) इसलिए, \(a^{2m-1}+b^{2m-1}≡ 0\) (mod a+b) जहाँ m कोई भी धनात्मक पूर्णांक है। 

स्पष्टीकरण:

 137 + 237 + 337 + ... + 8837 

यहाँ 1 + 88 ≡ 0 (mod 89), 2 + 87 ≡ 0 (mod 89), 3 + 86 ≡ 0 (mod 89), ....44 + 45 ≡ 0 (mod 89)

अतः 137+ 8837 ≡ 0 (mod 89), 237+ 8737 ≡ 0 (mod 89), 337+ 8637 ≡ 0 (mod 89), ...., 4437+ 4537 ≡ 0 (mod 89)

इन्हें जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,

137 + 237 + 337 + ... + 8837 ≡ 0 (mod 89)

अतः 137 + 237 + 337 + ... + 8837 = ℤ/89ℤ में 0

अतः (4) सही है। 

व्याख्या:

इस प्रकार की समस्याओं के लिए, उपयुक्त प्रति-उदाहरण लेकर दिए गए विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।

विकल्प (1) के लिए, मान लीजिए n = 16 तब

(n - 1)! + 3 = 15! + 3 = सम + विषम = विषम

⇒ कोई भी सम पूर्णांक इसे अर्थात (n - 1)! + 3 को विभाजित करता है। 

⇒ विकल्प (1) असत्य है। (क्योंकि सभी के लिए सत्य नहीं है)

विकल्प (2) के लिए, n = 17 लीजिए, तब

∵ (n - 1)! = 16! , यहाँ n = 17 अभाज्य है इसलिए यह कभी भी 16! को विभाजित नहीं करेगा।

⇒ विकल्प (2) असत्य है।

विकल्प (4) के लिए, n = 16 लीजिए, तब n² = 16² + n! + 1 = 16 ! + 1 यहाँ 16² सम है जबकि 16! + 1 विषम पूर्णांक है इसलिए 16² + 16! + 1 है। 

⇒ विकल्प (4) असत्य है।

विकल्प (3) सत्य है [किसी भी n ≥ 16 सम पर विचार करें]

नोट: इस विकल्प के लिए प्रमाण बहुत लंबा है, इसलिए केवल उदाहरण से समझने का प्रयास करें।

\(=\frac{p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_n^{r_n}}{p_1^{r_1-1} \cdot\left(p_1-1\right) \cdot p_2^{r_2-1}\left(p_2-1\right) \ldots p_n^{r_{n-1}}\left(p_{n-1}\right)}\)

\(=\frac{p_1 p_2 \cdots p_n}{\left(p_1-1\right)\left(p_2-1\right) \cdots\left(p_n-1\right)}\) = पूर्णांक (दिया गया) = p/n¹/n

∵ (p₁ - 1) x p₁ ⇒ ∃ कोई अन्य अभाज्य p₂ ऐसा है कि (p₁ - 1)|p₂

लेकिन ∵ p₂ भी एक अभाज्य है, इसलिए 1 को छोड़कर किसी भी पूर्णांक से विभाज्य नहीं है।

(एक अभाज्य गुणनखंड 2 है, तो n अधिकतम दो अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों के रूप में है अन्यथा एक।)

इस प्रकार, विकल्प (3) सत्य है। 

अवधारणा:

ϕ: \(\mathbb N\) → \(\mathbb N\) द्वारा परिभाषित एक प्रतिचित्रण जहाँ ϕ(n) = {x ∈ \(\mathbb N\) | 1 ≤ x < n और gcd(x, n) = 1} को ऑयलर का ϕ - फलन कहा जाता है।

ϕ (pⁿ) = pⁿ - p^n-1

यदि gcd(m, n) = 1 है, तो ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) है। 
व्याख्या:

ϕ(n) तालिका:

ϕ(n) की तालिका से हम देख सकते हैं कि यदि हम n को 3 से बड़ी अभाज्य संख्या मानते हैं, तो ϕ(n) > ϕ(n+1) और यदि हम n + 1 को 3 से बड़ी अभाज्य संख्या मानते हैं, तो ϕ(n) < ϕ(n+1) है। 

∴ विकल्प (1) और (2) सही हैं।

ϕ(n) तालिका:

इसलिए, यदि हम N = 6 लेते हैं, तो ∀ n > 6, हमारे पास ϕ(N) < ϕ(n) है। 

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

इसलिए, गलत विकल्प (4) है।

व्याख्या:

दिया गया है 1 ≤ n ≤ 999

ऐसे पूर्णांकों की संख्या n  जहाँ 1 ≤ n ≤ 999 और 3 से विभाज्य है \(\left[\frac{999}{3}\right]\) = 333

ऐसे पूर्णांकों की संख्या n जहाँ 1 ≤ n ≤ 999 और 37 से विभाज्य है

\(\left[\frac{999}{37}\right]\) = 27

3 और 37 का लघुत्तम समापवर्त्य = 3 x 37 = 111

इसलिए, ऐसे पूर्णांकों की संख्या n की संख्या, जहाँ 1 ≤ n ≤ 999 और 3 और 37 दोनों से विभाज्य है, \(\left[\frac{999}{111}\right]\) = 9

इसलिए समुच्चय S में पूर्णांक = 333 + 27 - 9 = 351

इसलिए समुच्चय S^c में पूर्णांक = 999 - 351 = 648

∴ समुच्चय S^c में पूर्णांकों की संख्या 648 है।

अवधारणा:

'n' कोटि के एक चक्रीय समूह में ϕ(n) जनक होते हैं।

n = \(p_1^{a_1}⋅ p_2^{a_2}⋅ p_3^{a_3}.....p_k^{a_k}\) के लिए

जहाँ, p1, p2, ......, pk भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, तब

ϕ(n) = \(ϕ(p_1^{a_1})⋅ ϕ(p_2^{a_2})⋅ ϕ(p_3^{a_3}).....ϕ(p_k^{a_k})\)

साथ ही \(ϕ(p^a) = p^a -p^{a-1}\)

व्याख्या:

इसलिए,

ϕ(36) = ϕ(6² ) = ϕ (2² ⋅ 3²) = ϕ (2²) ⋅ ϕ(3²) = (2² - 2) (3² - 3)

= (2) (6) = 12

अतः 12 जनक होंगे। 

(2) सही है। 

अवधारणा:

चूँकि a + b ≡ 0 (mod a + b) इसलिए, \(a^{2m-1}+b^{2m-1}≡ 0\) (mod a+b) जहाँ m कोई भी धनात्मक पूर्णांक है। 

स्पष्टीकरण:

 137 + 237 + 337 + ... + 8837 

यहाँ 1 + 88 ≡ 0 (mod 89), 2 + 87 ≡ 0 (mod 89), 3 + 86 ≡ 0 (mod 89), ....44 + 45 ≡ 0 (mod 89)

अतः 137+ 8837 ≡ 0 (mod 89), 237+ 8737 ≡ 0 (mod 89), 337+ 8637 ≡ 0 (mod 89), ...., 4437+ 4537 ≡ 0 (mod 89)

इन्हें जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,

137 + 237 + 337 + ... + 8837 ≡ 0 (mod 89)

अतः 137 + 237 + 337 + ... + 8837 = ℤ/89ℤ में 0

अतः (4) सही है। 

व्याख्या:

इस प्रकार की समस्याओं के लिए, उपयुक्त प्रति-उदाहरण लेकर दिए गए विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।

विकल्प (1) के लिए, मान लीजिए n = 16 तब

(n - 1)! + 3 = 15! + 3 = सम + विषम = विषम

⇒ कोई भी सम पूर्णांक इसे अर्थात (n - 1)! + 3 को विभाजित करता है। 

⇒ विकल्प (1) असत्य है। (क्योंकि सभी के लिए सत्य नहीं है)

विकल्प (2) के लिए, n = 17 लीजिए, तब

∵ (n - 1)! = 16! , यहाँ n = 17 अभाज्य है इसलिए यह कभी भी 16! को विभाजित नहीं करेगा।

⇒ विकल्प (2) असत्य है।

विकल्प (4) के लिए, n = 16 लीजिए, तब n² = 16² + n! + 1 = 16 ! + 1 यहाँ 16² सम है जबकि 16! + 1 विषम पूर्णांक है इसलिए 16² + 16! + 1 है। 

⇒ विकल्प (4) असत्य है।

विकल्प (3) सत्य है [किसी भी n ≥ 16 सम पर विचार करें]

नोट: इस विकल्प के लिए प्रमाण बहुत लंबा है, इसलिए केवल उदाहरण से समझने का प्रयास करें।

\(=\frac{p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_n^{r_n}}{p_1^{r_1-1} \cdot\left(p_1-1\right) \cdot p_2^{r_2-1}\left(p_2-1\right) \ldots p_n^{r_{n-1}}\left(p_{n-1}\right)}\)

\(=\frac{p_1 p_2 \cdots p_n}{\left(p_1-1\right)\left(p_2-1\right) \cdots\left(p_n-1\right)}\) = पूर्णांक (दिया गया) = p/n¹/n

∵ (p₁ - 1) x p₁ ⇒ ∃ कोई अन्य अभाज्य p₂ ऐसा है कि (p₁ - 1)|p₂

लेकिन ∵ p₂ भी एक अभाज्य है, इसलिए 1 को छोड़कर किसी भी पूर्णांक से विभाज्य नहीं है।

(एक अभाज्य गुणनखंड 2 है, तो n अधिकतम दो अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों के रूप में है अन्यथा एक।)

इस प्रकार, विकल्प (3) सत्य है। 

अवधारणा:

चूँकि a + b ≡ 0 (mod a + b) इसलिए, \(a^{2m-1}+b^{2m-1}≡ 0\) (mod a+b) जहाँ m कोई धनात्मक पूर्णांक है

व्याख्या:

139 + 239 + 339 + ... + 9839

यहाँ 1 + 98 ≡ 0 (mod 99), 2 + 97 ≡ 0 (mod 99), 3 + 96 ≡ 0 (mod 99), ....49 + 50 ≡ 0 (mod 99)

इसलिए, 1³⁹+ 98³⁹ ≡ 0 (mod 99), 239+ 9739 ≡ 0 (mod 99), 339+ 9639 ≡ 0 (mod 99), ...., 4939+ 5039 ≡ 0 (mod 9)

इन्हें जोड़ने पर हमें मिलता है

139 + 239 + 339 + ... + 9839 ≡ 0 (mod 99)

इसलिए, ℤ/99ℤ में 139 + 239 + 339 + ... + 9839, 0 के बराबर है। 

(3) सही है। 

अवधारणा:

d(n) = n के धनात्मक भाजकों की संख्या

v(n) = n के विभिन्न अभाज्य भाजकों की संख्या

ω(n) = n के बहुकता के साथ गिने गए अभाज्य भाजकों की संख्या

n = p1r1p2r2........pkrk

तब d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)

ω (n) = r1+ r2+........+ rk

v(n) = k

व्याख्या:

(1) n = (37)²

तब ω(n) = 2

d(n) = 3

और log n = log (37)² = 2log (37) > 3

इसलिए, विकल्प (1) सही नहीं है।

(2) n = p₁^r₁p₂^r₂........p_k^r_k

d(n) = (r₁+1)(r₂+1)........(r_k+k)

3√ n = 3^{\(p_1^{\frac{r_1}{2}}p_2^{\frac{r_2}{2}}........p_k^{\frac{r_k}{2}}\)}

स्पष्ट रूप से d(n) ≤ 3√ n ∀ n ∈ N

इसलिए, ऐसे किसी n ∈ N का अस्तित्व नहीं है; जिसके लिए d(n) > 3√ n हो। 

इसलिए, विकल्प (2) सही नहीं है।

(3) मान लीजिए n = p1r1p2r2........pkrk

d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)

v(n) = k

ω (n) = r₁+ r₂+........+ r_k

2^v(n) = 2^k, 2^{ω (n)}= 2^{r₁+r₂+.....+r_k}

⇒2^v(n) ≤ d(n) ≤ 2r1+r2+.....+rk

⇒2v(n) ≤ d(n) ≤ 2^ω(n)

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

(4) n = 9 = 3²

m = 3x7 = 21

ω(n) = ω(m) = 2

d(n) = 3

d(m) = 4

इसलिए, d(n) ≠ d(m)

इसलिए, विकल्प (4) सही नहीं है।