Equilibrium Geometry of Cables, Bars and Springs MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Equilibrium Geometry of Cables, Bars and Springs - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

इस प्रकार के प्रश्न के लिए FBD बनाइये और क्रमशः X और Y - अक्ष में बलों को बराबर कीजिए।

गणना:

दिया गया है:

जब लिफ्ट ऊपर की ओर गतिमान है:

माना कि केबल का तनाव R1 है और लिफ्ट का वजन W है। 

∴ R₁ - W = ma

\(∴\;{R_1} = W + ma = W + \frac{W}{g}a = W\left( {1 + \frac{a}{g}} \right)\)

Additional Information 

जब लिफ्ट नीचे की ओर गतिमान होती है:

माना कि केबल का तनाव R2 है और लिफ्ट का वजन W है। 

∴ W - R₂ = ma

\(\therefore\;{R_2} = W - ma = W - \frac{W}{g}a = W\left( {1 - \frac{a}{g}} \right)\)

संकल्पना:

अनुनाद: जब बाह्य निकास की आवृत्ति किसी कंपमान निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है, तो कंपन का आयाम अत्यधिक बड़ा हो जाता है। इस अवधारणा को अनुनाद के रूप में जाना जाता है।

प्रणोदित कंपन: तब होता है जब बल के आवधिक इनपुट द्वारा वस्तु को एक विशेष आवृत्ति पर कंपन करने के लिए मजबूर किया जाता है। यदि किसी वस्तु को अपनी प्राकृतिक आवृत्ति पर कंपन करने के लिए मजबूर किया जा रहा है, तो प्रतिध्वनि उत्पन्न होगी और बड़े आयाम कंपन देखे जा सकते हैं।

मुक्त कंपन: शब्द मुक्त कंपन का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि गति के कारण कोई बाहरी बल नहीं है, और यह गति प्राथमिक रूप से प्रारंभिक स्थितियों का परिणाम है, जैसे कि संतुलन की स्थिति से प्रणाली के द्रव्यमान तत्व का प्रारंभिक विस्थापन और/या एक प्रारंभिक वेग।

अवमंदन: यह एक कंपन संरचना से ऊर्जा का अपव्यय है।

संकल्पना:

AC = BC = 1 m;

\(CD = \sqrt {{1^2} - {{\left( {0.8} \right)}^2}} = 0.6m\)

Sin α = 0.8, और cos α = 0.6, T₁ = T₂ = T

चूँकि तीन बल W, T और T समतुल्यता में हैं,

\(\frac{W}{{\sin 2\alpha }} = \frac{T}{{\sin \left( {180 - \alpha } \right)}}\)

⇒\(\frac{W}{{2\sin \alpha \;cos\;\alpha }} = \frac{T}{{\sin\;\alpha}}\)

⇒ \(T = \frac{{W}}{{2cos\;\alpha}}=\frac{{60}}{{2\times0.6}}=50\;N\)

संकल्पना:

लामी का प्रमेय: यह वह समीकरण है जो तीन समतलीय, समवर्ती और गैर-संरेखीय बलों के परिमाण को जोड़ता है जो निकाय को समतुल्यता में रखता है। यह बताता है कि प्रत्येक बल अन्य दो बलों के बीच कोण के साइन के समानुपाती है।

गणना:

\(\frac{{{{\rm{T}}_1}}}{{\sin 120^\circ }} = \frac{{{{\rm{T}}_2}}}{{\sin 150^\circ }} = \frac{{500}}{{\sin 90^\circ }}\)

T₁ = 500 × sin 120° और T₂ = 500 sin 150°

T₁ = 433 N और T₂ = 250 N

संकल्पना:

इस प्रकार के प्रश्न के लिए FBD बनाइये और क्रमशः X और Y - अक्ष में बलों को बराबर कीजिए।

गणना:

दिया गया है:

जब लिफ्ट ऊपर की ओर गतिमान है:

माना कि केबल का तनाव R1 है और लिफ्ट का वजन W है। 

∴ R₁ - W = ma

\(∴\;{R_1} = W + ma = W + \frac{W}{g}a = W\left( {1 + \frac{a}{g}} \right)\)

Additional Information 

जब लिफ्ट नीचे की ओर गतिमान होती है:

माना कि केबल का तनाव R2 है और लिफ्ट का वजन W है। 

∴ W - R₂ = ma

\(\therefore\;{R_2} = W - ma = W - \frac{W}{g}a = W\left( {1 - \frac{a}{g}} \right)\)

अवधारणा:

ट्रस के किसी सदस्य में तनाव का पता लगाने के लिए, हम लामी के प्रमेय या जोड़ों की विधि का उपयोग कर सकते हैं। जोड़ P पर, तीन बल संतुलन में कार्य करते हैं: ऊर्ध्वाधर भार F, सदस्य PQ में बल (45°), और सदस्य PR में बल (30°)। चूँकि PR और QR संरेख हैं, इसलिए PR में बल QR में तनाव के समान है।

गणना:

संयुक्त P पर लामी प्रमेय का उपयोग करते हुए:

बलों के बीच कोण हैं:

• PQ और PR के बीच: 45° + 30° = 75°
• F और PR के बीच: 60°
• F और PQ के बीच: 45°

लामी प्रमेय लागू करें:

\( \frac{T_{PQ}}{\sin(60^\circ)} = \frac{T_{PR}}{\sin(45^\circ)} = \frac{F}{\sin(75^\circ)} \)

हम इसमें रुचि रखते हैं:

\( T_{QR} = T_{PR} = \frac{F \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(75^\circ)} \)

अब, मान रखने पर:

• \( \sin(45^\circ) = 0.7071 \)
• \( \sin(75^\circ) = 0.9659 \)

\( T_{QR} = \frac{F \cdot 0.7071}{0.9659} \approx 0.732 F \)

वैकल्पिक विधि (जोड़ों की विधि):

मान लीजिए T_1, PQ में बल है (45° पर), और T_2, PR में बल है (30° पर):

ऊर्ध्वाधर संतुलन:

\( T_1 \sin(45^\circ) + T_2 \sin(30^\circ) = F \)

क्षैतिज संतुलन:

\( T_2 \cos(30^\circ) = T_1 \cos(45^\circ) \)

\( T_1 = \frac{0.866}{0.7071} T_2 \approx 1.2247 T_2 \)

ऊर्ध्वाधर समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

\( 1.2247 T_2 \cdot 0.7071 + T_2 \cdot 0.5 = F \)

\( T_2 (0.866 + 0.5) = F \Rightarrow T_2 = \frac{F}{1.366} \approx 0.732 F \)

संकल्पना:

साम्यावस्था पर

T - mg = m × a

जहाँ T = रस्सी में तनाव, m =द्रव्यमान

गणना:

दिया गया है:

a = 0.5 m/s² (ऊर्ध्वमुखी), g = 10 m/s²(अधोमुखी), m = 50 kg

साम्यावस्था पर

T - mg = m × a

T - 50 × 10 = 50 × 0.5

T = 525 N

संकल्पना:

\({T_1}\sin {30^0}\; = \;{T_2}\sin \theta \Rightarrow {T_1}\; = \;\frac{{{{\rm{T}}_2}{\rm{\;sin}}\theta }}{{\sin {{30}^0}}}\)

\({T_1}\cos {30^0} + {T_2}\cos \theta + 1000\; = \;0 \Rightarrow {T_2}(\sqrt 3 \sin \theta + \cos \theta)\; = \;-1000\)

\({T_2}\; = \;1000{\left( {\sqrt 3 \sin \theta + \cos \theta } \right)^{ - 1}}\)

\(\frac{{\partial {T_2}}}{{\partial \theta }}\; = \;0 \Rightarrow \frac{{1000}}{{{{\left( {\sqrt 3 \sin \theta + \cos \theta } \right)}^2}}}\left( {\sqrt 3 \cos \theta - \sin \theta } \right)\; = \;0 \Rightarrow \sqrt 3 \cos \theta - \sin \theta \; = \;0\)

\(\tan \theta \; = \;\sqrt 3 \Rightarrow \theta \; = \;{60^0}\)

या,

\({T_2}\; = \;\frac{{1000}}{{\sqrt 3 \sin \theta + \cos \theta }}\;\)

विकल्पों में दिए गए θ के मान रखने पर हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि θ = 60⁰

लैमी के प्रमेय द्वारा,

\(\begin{array}{l} \frac{{{T_{AB}}}}{{Sin120}} = \frac{{{T_{AC}}}}{{Sin150}} = \frac{{600}}{{Sin90}}\\ \therefore {T_{AB}} = 600\sin 120 \end{array}\)

= 519.61 ≈ 520 N

और TAC = 600 sin 150

TAC = 300 N

संकल्पना:

अनुनाद: जब बाह्य निकास की आवृत्ति किसी कंपमान निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है, तो कंपन का आयाम अत्यधिक बड़ा हो जाता है। इस अवधारणा को अनुनाद के रूप में जाना जाता है।

प्रणोदित कंपन: तब होता है जब बल के आवधिक इनपुट द्वारा वस्तु को एक विशेष आवृत्ति पर कंपन करने के लिए मजबूर किया जाता है। यदि किसी वस्तु को अपनी प्राकृतिक आवृत्ति पर कंपन करने के लिए मजबूर किया जा रहा है, तो प्रतिध्वनि उत्पन्न होगी और बड़े आयाम कंपन देखे जा सकते हैं।

मुक्त कंपन: शब्द मुक्त कंपन का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि गति के कारण कोई बाहरी बल नहीं है, और यह गति प्राथमिक रूप से प्रारंभिक स्थितियों का परिणाम है, जैसे कि संतुलन की स्थिति से प्रणाली के द्रव्यमान तत्व का प्रारंभिक विस्थापन और/या एक प्रारंभिक वेग।

अवमंदन: यह एक कंपन संरचना से ऊर्जा का अपव्यय है।

संकल्पना:

कठोरता: इसे स्प्रिंग में इकाई विक्षेपण के लिए आवश्यक भार के रूप में परिभाषित किया जाता है। 

स्प्रिंग में F = k × Δ

जहाँ, k = स्प्रिंग स्थिरांक/कठोरता, Δ = विक्षेपण, और F = बल। 

गणना:

दिया गया है:

F = 100 N, k = 1000 N/m

\(\Delta=\frac{F}{k} =\frac{100}{1000}=0.1~m\)

Additional Information

लचीलापन: इसे इकाई भार के कारण उत्पादित विस्थापन/विरूपण के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह कठोरता (k) का व्युत्क्रम होता है। 

गणितीय रूप से, f = 1/k

संकल्पना:

छड़ के संतुलन के लिए, इसे निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना चाहिए:

ΣFy = 0

ΣFx = 0

ΣM = 0

गणना:

ΣMS1 = 0

T2 × L/2 = W × L/2

T2 = W = 100 N

ΣFy = 0 ⇒ T1 + T2 = W ⇒ T1 = 0

संकल्पना:

लामी का प्रमेय: यह वह समीकरण है जो तीन समतलीय, समवर्ती और गैर-संरेखीय बलों के परिमाण को जोड़ता है जो निकाय को समतुल्यता में रखता है। यह बताता है कि प्रत्येक बल अन्य दो बलों के बीच कोण के साइन के समानुपाती है।

गणना:

\(\frac{{{{\rm{T}}_1}}}{{\sin 120^\circ }} = \frac{{{{\rm{T}}_2}}}{{\sin 150^\circ }} = \frac{{500}}{{\sin 90^\circ }}\)

T₁ = 500 × sin 120° और T₂ = 500 sin 150°

T₁ = 433 N और T₂ = 250 N