Transform Theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Transform Theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 11, 2025

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Latest Transform Theory MCQ Objective Questions

Transform Theory Question 1:

F(s) = 1/s के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण का परिणाम क्या है?

  1. e(-at)
  2. u(t)
  3. sin(at)
  4. cos(at)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : u(t)

Transform Theory Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

F(s) = 1/s के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण को ज्ञात करने की समस्या को हल करने के लिए, लाप्लास रूपांतरण गुणों और उनके व्युत्क्रमों की स्पष्ट समझ होना आवश्यक है। लाप्लास रूपांतरण समय के फलन (आमतौर पर f(t) के रूप में दर्शाया जाता है) को एक जटिल चर s (आमतौर पर F(s) के रूप में दर्शाया जाता है) के फलन में बदलने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण है। व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण F(s) को वापस f(t) में बदलने की प्रक्रिया है।

लाप्लास डोमेन में दिया गया फलन F(s) = 1/s है। हमें संगत समय-डोमेन फलन f(t) ज्ञात करने की आवश्यकता है।

लाप्लास रूपांतरण और इसका व्युत्क्रम:

एक फलन f(t) का लाप्लास रूपांतरण समाकल द्वारा परिभाषित किया गया है:

Fs=0+e-stf(t)dt

व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण दिया गया है:

ft=-+Fsestds

जहाँ F(s), f(t) का लाप्लास रूपांतरण है।

लाप्लास रूपांतरण तालिका का उपयोग करना:

व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण ज्ञात करने के सबसे सरल तरीकों में से एक मानक लाप्लास रूपांतरण तालिका का उपयोग करना है। तालिका से, हम जानते हैं कि:

(u(t))=1/s

जहाँ u(t) इकाई चरण फलन है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

u(t)={1,t00,t<0

इस गुण के आधार पर, 1/s का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण इकाई चरण फलन u(t) है।

निष्कर्ष:

इसलिए, F(s) = 1/s का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण u(t) है, जो इकाई चरण फलन है।

सही विकल्प:

विकल्प 2: u(t)

महत्वपूर्ण जानकारी:

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: e-at

यह विकल्प F(s) = 1/(s + a) के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक घातीय रूप से क्षयकारी फलन का वर्णन करता है, जो 1/s का सही व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण नहीं है।

विकल्प 3: sin(at)

यह विकल्प F(s) = a/(s2 + a2) के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक ज्या फलन का वर्णन करता है, जो 1/s का सही व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण नहीं है।

विकल्प 4: cos(at)

यह विकल्प F(s) = s/(s2 + a2) के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक कोसाइन फलन का वर्णन करता है, जो 1/s का सही व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण नहीं है।

लाप्लास रूपांतरण और इसके व्युत्क्रम के सही अनुप्रयोग को समझना इंजीनियरिंग और भौतिकी में अवकल समीकरणों और प्रणाली विश्लेषण से संबंधित समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण है। इकाई चरण फलन u(t) नियंत्रण प्रणालियों, सिग्नल प्रसंस्करण और अन्य क्षेत्रों में एक मौलिक फलन है, जिससे इसकी पहचान और समझ छात्रों और पेशेवरों दोनों के लिए आवश्यक हो जाती है।

Transform Theory Question 2:

प्रारंभिक स्थिति y(0) = 0 वाला अवकल समीकरण dydt+ay=ebt लीजिए। तो हल y(t) का लाप्लास रूपांतरण Y(s) क्या है?

  1. 1(s+a)(s+b)
  2. 1b(s+a)
  3. 1a(s+b)
  4. eaebba
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1(s+a)(s+b)

Transform Theory Question 2 Detailed Solution

dtdt+ay=ebt

समाकलन कारक =epdt=eat

y का हल निम्न है,

y(eat)=eat.ebtdt+c

yeat=e(ab)tab+c

दिया गया है कि, y(0) = 0

0=1ab+cc=1(ab)

अब, हल निम्न हो जाता है, 

yeat=e(ab)tab1ab

y(t)=ebtabeatab

 लाप्लास रूपांतरण लागू करने पर

y(s)=1ab[1s+b1s+a]

y(s)=1(s+a)(s+b)

Transform Theory Question 3:

6s4s24s+20 का विपरीत लाप्लास रूपांतरण ज्ञात कीजिए, जहाँ प्राचल s वास्तविक होता है।

  1. 4e−4t − e−t sin2t
  2. 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t
  3. 5e3t − 2e−2t
  4. 3e−4t + 3 cos 3t

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t

Transform Theory Question 3 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:-

लाप्लास रूपांतरण विशेष समाकल सूत्र है और यह कुछ निश्चित स्थितियों में रैखिक अवकलज के समीकरणों को हल करने के लिए बहुत उपयोगी होता है।

लाप्लास रूपांतरण के कुछ उपयोगी सूत्र जिनका उपयोग हम दी गई समस्या में करेंगे वे निम्नवत हैं, 

L1{sa(sa)2+b2}=eatcos(bt)L1{1(sa)2+b2}=eatsin(bt)

व्याख्या:-

दिया गया फलन है, 

6s4s24s+20

यहाँ, प्राचल s मान वास्तविक है। इसका लाप्लास रूपांतरण L1{6s4s24s+20} होगा। 

लाप्लास रूपांतरण के प्रत्यक्ष परिणाम का उपयोग करने के लिए व्यंजक को पुनः लिखने पर,​

L1{6s4s24s+20}=L1{6s12+8s24s+4+16}L1{6s4s24s+20}=L1{6(s2)+8(s2)2+16}L1{6s4s24s+20}=L1{6(s2)(s2)2+16+8(s2)2+16}L1{6s4s24s+20}=6L1{(s2)(s2)2+16}+2L1{4(s2)2+16}L1{6s4s24s+20}=6L1{(s2)(s2)2+42}+2L1{4(s2)2+42}

अब उपरोक्त लाप्लास रूपांतरण के मानों से, हमें प्राप्त होगा,

L1{6s4s24s+20}= 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t

इसलिए, दिए गए फलन का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t होगा। 

अत: सही विकल्प 2 है।

Transform Theory Question 4:

फलन f(t) आवर्तकाल 2π का आवर्ती फलन है । ( -π, π) परिसर में, यह e-t के बराबर है। यदि f(t) = cneint इसका फूरिये श्रेणी विस्तार हो, तो योग |cn|2 है

  1. 1
  2. 12π
  3. 12π cosh (2π)
  4. 12π sinh (2π)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 12π sinh (2π)

Transform Theory Question 4 Detailed Solution

Transform Theory Question 5:

a(sb)2a2 के प्रतीप लाप्लास परिणति का चयन कीजिए।

  1. ebt sin at
  2. ebt sinh at
  3. eat sin bt
  4. e-bt cosh at

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : ebt sinh at

Transform Theory Question 5 Detailed Solution

अवधारणा:

फलन लाप्लास प्रतीप 
X(s + α) e-αt
X(s - α ) eαt 
ωs2ω2 sinh (ωt) 
ss2ω2 cosh (ωt) 

गणना: 

दिए गए फलन की प्रतीप लाप्लास परिणति:

L1(a(sb)2a2)

हम इन पदों के व्युत्क्रम के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

जहां α = b और ω = a

L1(a(sb)2a2)=ebtsinh(at)

Top Transform Theory MCQ Objective Questions

t ≥ 0 के लिए H(s)=s+3s2+2s+1 का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर क्या है?

  1. 3te-t + e-t
  2. 3e-t
  3. 2te-t + e-t
  4. 4te-t + e-t

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 2te-t + e-t

Transform Theory Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

लाप्लास रूपांतरों के कुछ युग्म नीचे दिए गए हैं।

eat1s+a

tneatn!(s+a)n+1

गणना:

दिया गया है:

H(s)=s+3s2+2s+1

=s+3(s+1)2

=s+1(s+1)2+2(s+1)2

=1(s+1)+2(s+1)2

व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर लागू करने पर

⇒ H(t) = e-t + 2t e-t

माना कि X(s)=3s+5s2+10s+21 सिग्नल x(t) का लाप्लास रूपांतर है। तो x(0+) क्या है?

  1. 0
  2. 3
  3. 5
  4. 21

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 3

Transform Theory Question 7 Detailed Solution

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Concept:

x(0+)=limxsX(s)

Calculation:

Using initial value theorem,

x(0+)=limxsX(s)

x(0+)=limss.(3s+5)(s2+10s+21)

x(0+)=limss2(3+5s)s2(1+10S+21S2)

x(0+)=lims3+5S1+10S+21S2

∴ x(0+) = 3

Alternate method:

using Inverse Laplace Transform method,

we have,

X(s)=3S+5S2+10S+21=3S+5S2+10S+21+44

X(s)=3S+5(S+5)222=3S+1510(S+5)222

X(S)=3(S+5)(S+5)22210(S+5)222

Taking inverse Laplace transform

x(t) = 3e-5t cosh2t - 5e-5t sinh2t

x(t) = e-5t(3 cosh2t - 5 sinh2t)

At t = 0+,

x(0+) = e0(3cosh 0 - 5 sinh0)

x(0+) = 1(3 - 0)

x(0+) = 3

eat cos ωt का लाप्लास रूपांतरण क्या है?

  1. (sa)(sa)2+ω2
  2. ω(sa)2+ω2
  3. a(sa)2+ω2
  4. s(sa)2+ω2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : (sa)(sa)2+ω2

Transform Theory Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

स्थानांतरण गुण:

L{eatf(t)} = F(s - a) 

गणना:

दिया गया है:

eat cos ωt, ∴ f(t) = cos ωt

cosωt=ss2+ω2 का लाप्लास रूपांतरण 

सर्वप्रथम स्थानांतरण गुण से:

L{eatf(t)} = F(s - a)

निम्न का लाप्लास रूपांतरण eatcosωt=(sa)(sa)2+ω2

(1s+1) का प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण क्या है?

  1. e-t
  2. et
  3. 1
  4. e1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : e-t

Transform Theory Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक सामान्य घातांकीय सिग्नल का लाप्लास रूपांतरण निम्न दिया गया है:

L[eat]1s+a

जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है। 

गणना:​

दिया गया है, लाप्लास रूपांतरण निम्न रूप में दिया गया है:

F(s) = 1s+1

प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण निम्न होगा:

1s+1et

Important Points

कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर निम्नवत  हैं:

F(s)

ROC

f(t)

1

All s

δ (t)

1s

Re (s) > 0

u(t)

1s2

Re (s) > 0

t

n!sn+1

Re (s) > 0

tn

1s+a

Re (s) > -a

e-at

1(s+a)2

Re (s) > -a

t e-at

n!(s+a)n

Re (s) > -a

tn e-at

as2+a2

Re (s) > 0

sin at

ss2+a2

Re (s) > 0

cos at

eat का लाप्लास रूपांतर किसके द्वारा दिया जाता है?

  1. s/(s - a)
  2. 1/(s - a)
  3. s/(s + a
  4. 1/(s + a)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1/(s - a)

Transform Theory Question 10 Detailed Solution

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स्पष्टीकरण:

लाप्लास रूपांतर की मूल परिभाषा से:

F(s)=0f(t)estdt

f(t) = eat

F(s)=0e(sa)tdt

F(s)=e(sa)t(sa)|0

F(s)=1sa

Important Points

लाप्लास रूपांतर के समय-स्थानांतरण गुण से:

L{f(ta)}=easF(s)

अनुप्रयोग:

g(t) का लाप्लास रूपांतर G (s) है

g(t - τ) का लाप्लास रूपांतर = e-sτ G(s)

फलन f(t) का लाप्लास रूपांतरण L(t) =1(s2+ω2) है। तो f(t) का मान क्या है?

  1. f(t)=1ω2(1cosωt)
  2. f(t)=1ωcosωt
  3. f(t)=1ωsinωt
  4. f(t)=1ω2(1sinωt)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : f(t)=1ωsinωt

Transform Theory Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

हम जानते हैं कि

L{f(t)} = F(s) है, तो f(t) = L-1F(s) है। 

गणना:

L(sinat)=as2+a2

उसीप्रकार,

L(sinωt)=ωs2+ω2

L1(1s2+ω2)=sinωtω=f(t) 

sin h (at) का लाप्लास रूपान्तरण निम्न में से क्या है ?

  1. ss2a2
  2. ss2+a2
  3. as2a2
  4. as2+a2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : as2a2

Transform Theory Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

लाप्लास रूपान्तरण निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:

F(s)=0estf(t)dt

जहाँ, 

f(t) समय t के साथ परिवर्तित होने वाला फलन है

F(s) f(t) का लाप्लास रूपांतर है

विश्लेषण:

sinh(at)=eateat2

F(s)=0est[eateat2]dt

उपरोक्त को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

as2a2

e-at का लाप्लास रूपांतर ___________ है।

  1. 1/as
  2. 1/(s+1)
  3. 1/(s+a)
  4. a/(s+1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1/(s+a)

Transform Theory Question 13 Detailed Solution

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कुछ सामान्य लाप्लास रूपांतर निम्नवत हैं:

f(t)

F(s)

ROC

δ (t)

1

All s

u(t)

1s

Re (s) > 0

t

1s2

Re (s) > 0

tn

n!sn+1

Re (s) > 0

e-at

1s+a

Re (s) > -a

t e-at

1(s+a)2

Re (s) > -a

tn e-at

n!(s+a)n

Re (s) > -a

Sin at

as2+a2

Re (s) > 0

Cos at

ss2+a2

Re (s) > 0

1(s+1)(s2) का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण क्या है?

  1. e2t+et3
  2. e2t+et3
  3. e2tet3
  4. e2tet

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : e2tet3

Transform Theory Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक सामान्य घातांकीय सिग्नल के लाप्लास रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

L[eat]1s+a

जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है। 

गणना:

दिया गया है:

1(s+1)(s2)

1(s+1)(s2)=A(s2)+B(s+1)=13{1s2+1s+1}

L1(1(s+1)(s2))=L1{13(1s21s+1)}=e2tet3

Additional Information

कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण निम्न हैं:

F(s)

ROC

f(t)

1

All s

δ (t)

1s

Re (s) > 0

u(t)

1s2

Re (s) > 0

t

n!sn+1

Re (s) > 0

tn

1s+a

Re (s) > -a

e-at

1(s+a)2

Re (s) > -a

t e-at

n!(s+a)n

Re (s) > -a

tn e-at

as2+a2

Re (s) > 0

sin at

ss2+a2

Re (s) > 0

cos at

यदि लाप्लास रूपांतरण Lf(t)=log(s+as+b) है, तो f(t) किसके बराबर है?

  1. 1t(ebteat)
  2. 1t(ebteat)
  3. ebteat
  4. ebteat

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1t(ebteat)

Transform Theory Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि L{f(t)} = F(s) या L-1 {f(s)} = f(t) है। 

तो L{tf(t)}=dds{F(s)}

tf(t)=L1{ddsF(s)}

f(t)=1tL1{dds(F(s))}

गणना:

दिया गया है:

Lf(t)=log(s+as+b)

f(t)=L1[log(s+as+b)]=L1{log(s+a)log(s+b)}

1tL1{dds(log(s+a)log(s+b))}=1t{1s+a1s+b}

 

1t(eatebt)=1t(ebteat)

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