Transform Theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Transform Theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

F(s) = 1/s के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण को ज्ञात करने की समस्या को हल करने के लिए, लाप्लास रूपांतरण गुणों और उनके व्युत्क्रमों की स्पष्ट समझ होना आवश्यक है। लाप्लास रूपांतरण समय के फलन (आमतौर पर f(t) के रूप में दर्शाया जाता है) को एक जटिल चर s (आमतौर पर F(s) के रूप में दर्शाया जाता है) के फलन में बदलने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण है। व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण F(s) को वापस f(t) में बदलने की प्रक्रिया है।

लाप्लास डोमेन में दिया गया फलन F(s) = 1/s है। हमें संगत समय-डोमेन फलन f(t) ज्ञात करने की आवश्यकता है।

लाप्लास रूपांतरण और इसका व्युत्क्रम:

एक फलन f(t) का लाप्लास रूपांतरण समाकल द्वारा परिभाषित किया गया है:

F s = ∫ 0 + ∞ e - s t f ( t ) d t

व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण दिया गया है:

f t = ∫ - ∞ + ∞ F s e s t d s

जहाँ F(s), f(t) का लाप्लास रूपांतरण है।

लाप्लास रूपांतरण तालिका का उपयोग करना:

व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण ज्ञात करने के सबसे सरल तरीकों में से एक मानक लाप्लास रूपांतरण तालिका का उपयोग करना है। तालिका से, हम जानते हैं कि:

℞ ( u ( t ) ) = 1 / s

जहाँ u(t) इकाई चरण फलन है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

u ( t ) = { 1 , t ≥ 0 0 , t < 0

इस गुण के आधार पर, 1/s का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण इकाई चरण फलन u(t) है।

निष्कर्ष:

इसलिए, F(s) = 1/s का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण u(t) है, जो इकाई चरण फलन है।

सही विकल्प:

विकल्प 2: u(t)

महत्वपूर्ण जानकारी:

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: e^-at

यह विकल्प F(s) = 1/(s + a) के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक घातीय रूप से क्षयकारी फलन का वर्णन करता है, जो 1/s का सही व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण नहीं है।

विकल्प 3: sin(at)

यह विकल्प F(s) = a/(s² + a²) के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक ज्या फलन का वर्णन करता है, जो 1/s का सही व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण नहीं है।

विकल्प 4: cos(at)

यह विकल्प F(s) = s/(s² + a²) के व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक कोसाइन फलन का वर्णन करता है, जो 1/s का सही व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण नहीं है।

लाप्लास रूपांतरण और इसके व्युत्क्रम के सही अनुप्रयोग को समझना इंजीनियरिंग और भौतिकी में अवकल समीकरणों और प्रणाली विश्लेषण से संबंधित समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण है। इकाई चरण फलन u(t) नियंत्रण प्रणालियों, सिग्नल प्रसंस्करण और अन्य क्षेत्रों में एक मौलिक फलन है, जिससे इसकी पहचान और समझ छात्रों और पेशेवरों दोनों के लिए आवश्यक हो जाती है।

\(\frac{{dt}}{{dt}} + ay = {e^{ - bt}}\)

समाकलन कारक \(= {e^{\smallint pdt}} = {e^{at}}\)

y का हल निम्न है,

\(y\left( {{e^{at}}} \right) = \smallint {e^{at}}.{e^{ - bt}}dt + c\)

\(\Rightarrow y{e^{at}} = \frac{{{e^{\left( {a - b} \right)t}}}}{{a - b}} + c\)

दिया गया है कि, y(0) = 0

\(\Rightarrow 0 = \frac{1}{{a - b}} + c \Rightarrow c = - \frac{1}{{\left( {a - b} \right)}}\)

अब, हल निम्न हो जाता है, 

\(y{e^{at}} = \frac{{{e^{\left( {a - b} \right)t}}}}{{a - b}} - \frac{1}{{a - b}}\)

\(\Rightarrow y\left( t \right) = \frac{{{e^{ - bt}}}}{{a - b}} - \frac{{{e^{ - at}}}}{{a - b}}\)

 लाप्लास रूपांतरण लागू करने पर

\(\Rightarrow y\left( s \right) = \frac{1}{{a - b}}\left[ {\frac{1}{{s + b}} - \frac{1}{{s + a}}} \right]\)

प्रयुक्त अवधारणा:-

लाप्लास रूपांतरण विशेष समाकल सूत्र है और यह कुछ निश्चित स्थितियों में रैखिक अवकलज के समीकरणों को हल करने के लिए बहुत उपयोगी होता है।

लाप्लास रूपांतरण के कुछ उपयोगी सूत्र जिनका उपयोग हम दी गई समस्या में करेंगे वे निम्नवत हैं, 

\(\begin{aligned} & L^{-1}\left\{\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}\right\}=\quad e^{a t} \cos (b t) \\ & L^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^2+b^2}\right\}=\quad e^{a t} \sin (b t) \end{aligned}\)

व्याख्या:-

दिया गया फलन है, 

\(\rm\frac{6s−4}{s^2−4s+20}\)

यहाँ, प्राचल s मान वास्तविक है। इसका लाप्लास रूपांतरण \(L^{-1}\left\{\frac{6 s-4}{s^2-4 s+20}\right\}\) होगा। 

लाप्लास रूपांतरण के प्रत्यक्ष परिणाम का उपयोग करने के लिए व्यंजक को पुनः लिखने पर,​

\(\Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6 s-4}{s^2-4 s+20}\right\}= L^{-1}\left\{\dfrac{6s-12+8}{s^2-4s+4+16}\right\}\\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6 s-4}{s^2-4 s+20}\right\}= L^{-1}\left\{\dfrac{6(s-2)+8}{(s-2)^2+16}\right\}\\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6 s-4}{s^2-4 s+20}\right\}= L^{-1}\left\{\dfrac{6(s-2)}{(s-2)^2+16}+\dfrac{8}{(s-2)^2+16}\right\}\\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6 s-4}{s^2-4 s+20}\right\}=6 L^{-1}\left\{\dfrac{(s-2)}{(s-2)^2+16}\right\}+2L^{-1}\left\{\dfrac{4}{(s-2)^2+16}\right\}\\ \Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6 s-4}{s^2-4 s+20}\right\}=6 L^{-1}\left\{\dfrac{(s-2)}{(s-2)^2+4^2}\right\}+2L^{-1}\left\{\dfrac{4}{(s-2)^2+4^2}\right\}\\\)

अब उपरोक्त लाप्लास रूपांतरण के मानों से, हमें प्राप्त होगा,

\(\Rightarrow L^{-1}\left\{\frac{6 s-4}{s^2-4 s+20}\right\}=\) 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t

इसलिए, दिए गए फलन का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण 6e2t cos 4t + 2e2t sin 4t होगा। 

अत: सही विकल्प 2 है।

अवधारणा:

गणना: 

दिए गए फलन की प्रतीप लाप्लास परिणति:

\({L^{ - 1}}\left( {\frac{{a}}{{{(s-b)^2} - a^2}}} \right) \)

हम इन पदों के व्युत्क्रम के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

जहां α = b और ω = a

\({L^{ - 1}}\left( {\frac{{a}}{{{(s-b)^2} - a^2}}} \right) =e^{bt}sinh (at)\)

संकल्पना:

लाप्लास रूपांतरों के कुछ युग्म नीचे दिए गए हैं।

\({e^{ - at}} \leftrightarrow \frac{1}{{s + a}}\)

\({t^n}{e^{ - at}} \leftrightarrow \frac{{n!}}{{{{\left( {s + a} \right)}^{n + 1}}}}\)

गणना:

दिया गया है:

\(H\left( s \right) = \frac{{s + 3}}{{{s^2} + 2s + 1}}\)

\(= \frac{{s + 3}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{s + 1}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)

\(= \frac{1}{{\left( {s + 1} \right)}} + \frac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)

व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर लागू करने पर

Concept:

\(\rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} sX(s)\)

Calculation:

Using initial value theorem,

\(\rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} sX(s)\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} s. \frac{(3s + 5)}{(s^2 + 10s + 21)}\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} \frac{s^2( 3 + \frac{5}{s})}{s^2 \left( 1 + \frac{10}{S} + \frac{21}{S^2} \right)}\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} \frac{3 + \frac{5}{S}}{1 + \frac{10}{S} + \frac{21}{S^2}}\)

∴ x(0+) = 3

Alternate method:

using Inverse Laplace Transform method,

we have,

\(\rm X(s) = \frac{3S + 5}{S^2 + 10S + 21} = \frac{3S + 5}{S^2 + 10 S + 21 + 4 - 4}\)

\(\rm X(s) = \frac{3S + 5}{(S + 5)^2 - 2^2} = \frac{3S + 15 - 10}{(S + 5)^2 - 2^2}\)

\(\rm X(S) = \frac{3(S + 5)}{(S + 5)^2 - 2^2} - \frac{10}{(S + 5)^2 - 2^2}\)

Taking inverse Laplace transform

x(t) = 3e-5t cosh2t - 5e-5t sinh2t

x(t) = e-5t(3 cosh2t - 5 sinh2t)

At t = 0+,

x(0+) = e0(3cosh 0 - 5 sinh0)

x(0+) = 1(3 - 0)

x(0+) = 3

संकल्पना:

स्थानांतरण गुण:

L{e^atf(t)} = F(s - a) 

गणना:

दिया गया है:

eat cos ωt, ∴ f(t) = cos ωt

\(\cos\;ωt=\frac{s}{{{s}^{2}}\;+\;{{ω }^{2}}}\) का लाप्लास रूपांतरण 

सर्वप्रथम स्थानांतरण गुण से:

L{eatf(t)} = F(s - a)

संकल्पना:

एक सामान्य घातांकीय सिग्नल का लाप्लास रूपांतरण निम्न दिया गया है:

\(L[e^{-at}]\longleftrightarrow \frac{1}{s+a}\)

जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है। 

गणना:​

दिया गया है, लाप्लास रूपांतरण निम्न रूप में दिया गया है:

F(s) = \(\frac{1}{s+1}\)

प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण निम्न होगा:

\(\frac{1}{s+1}\longleftrightarrow e^{-t}\)

Important Points

कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर निम्नवत  हैं:

स्पष्टीकरण:

लाप्लास रूपांतर की मूल परिभाषा से:

\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty f\left( t \right){e^{ - st}}dt\;\)

f(t) = eat

\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - \left( {s - a} \right)t}}dt\;\)

\(F\left( s \right) = \; \frac{{e^{ - \left( {s - a} \right)t}}}{-(s-a)}|_0^\infty\;\)

\(F\left( s \right) = \frac{1}{{s - a}}\)

Important Points

लाप्लास रूपांतर के समय-स्थानांतरण गुण से:

\(L\left\{ f\left( t-a \right) \right\}={{e}^{-as}}F\left( s \right)\)

अनुप्रयोग:

g(t) का लाप्लास रूपांतर G (s) है

g(t - τ) का लाप्लास रूपांतर = e-sτ G(s)

संकल्पना:

हम जानते हैं कि

L{f(t)} = F(s) है, तो f(t) = L^-1F(s) है। 

गणना:

\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{at}}} \right) = \frac{{\rm{a}}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{a}}^2}}}\)

उसीप्रकार,

\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{\omega t}}} \right) = \frac{{\rm{\omega }}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{\omega }}^2}}}\)

∴ \({L^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{{s^2} + {\omega ^2}}}} \right) = \frac{{\sin\omega t}}{\omega } = f\left( t \right)\) 

संकल्पना:

लाप्लास रूपान्तरण निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:

\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - st}}f\left( t \right)dt\)

जहाँ, 

f(t) समय t के साथ परिवर्तित होने वाला फलन है

F(s) f(t) का लाप्लास रूपांतर है

विश्लेषण:

\(sin h(at) = \frac{ e^{at} - e^{-at}}{2}\)​​

\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - st}} [\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}]dt\)

उपरोक्त को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

​\(\frac{a}{s^2-a^2}\)​

कुछ सामान्य लाप्लास रूपांतर निम्नवत हैं:

संकल्पना:

एक सामान्य घातांकीय सिग्नल के लाप्लास रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(L[e^{-at}]\longleftrightarrow \frac{1}{s+a}\)

जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है। 

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}}\)

\(\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}} = \frac{A}{{\left( {s - 2} \right)}} + \frac{B}{{\left( {s + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\left\{ {\frac{1}{{s - 2}} + \frac{{ - 1}}{{s + 1}}} \right\}\)

\({L^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}}} \right) = {L^{ - 1}}\left\{ {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{s - 2}} - \frac{1}{{s + 1}}} \right)} \right\} = \frac{{{e^{2t}} - {e^{ - t}}}}{3}\)

Additional Information

कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण निम्न हैं:

संकल्पना:

यदि L{f(t)} = F(s) या L^-1 {f(s)} = f(t) है। 

तो \(L\left\{ {tf\left( t \right)} \right\} = - \frac{d}{{ds}}\left\{ {F\left( s \right)} \right\}\)

\(tf\left( t \right) = {L^{ - 1}}\left\{ { - \frac{d}{{ds}}F\left( s \right)} \right\}\)

\(f\left( t \right) = - \frac{1}{t}{L^{ - 1}}\left\{ {\frac{d}{{ds}}\left( {F\left( s \right)} \right)} \right\}\)

गणना:

दिया गया है:

\(Lf\left( t \right) = \log \left( {\frac{{s + a}}{{s + b}}} \right)\)

\(f\left( t \right) = {L^{ - 1}}\left[ {\log \left( {\frac{{s + a}}{{s + b}}} \right)} \right]={L^{ - 1}}\left\{ {\log \left( {s + a} \right) - \log \left( {s + b} \right)} \right\}\)

\(\Rightarrow - \frac{1}{t}{L^{ - 1}}\left\{ {\frac{d}{{ds}}\left( {\log \left( {s + a} \right) - \log \left( {s + b} \right)} \right)} \right\}\;= - \frac{1}{t}\left\{ {\frac{1}{{s + a}} - \frac{1}{{s + b}}} \right\}\)

\(\Rightarrow - \frac{1}{t}({e^{ - at}} - {e^{ - bt}})\;=\frac{1}{t}\left( {{e^{ - bt}} - {e^{ - at}}} \right)\)